椭圆的标准方程及其几何性质学案


高中数学椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义: (1)第一定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和为常数 2a(2a ?| F2 F2 |) 的动点 P 的 轨迹叫椭圆,其中两个定点 F1、F2 叫椭圆的焦点. 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹为椭圆 ; 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹不存在; 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹为 以 F1、F2 为端点的线段 (2) 椭圆的第二定义:平面内到定点 F 与定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距离之比是常 数 e ( 0 ? e ? 1 )的点的轨迹为椭圆 (利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化). 2.椭圆的方程与几何性质: 标准方程 参数关系 性 焦点 质 焦距 范围 顶点 对称性 离心率 准线
(c,0), (?c,0)

;

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

a 2 ? b2 ? c 2
(0, c), (0,?c)

2c

| x |? a, | y |? b (?a,0),(a,0),(0,?b),(0, b)

| y |? a, | x |? b (0,?a),(0, a),(?b,0),(b,0)
c ? (0,1) a

关于 x 轴、y 轴和原点对称

e?

a2 x?? c

a2 y?? c

2 2 3.点 P( x0 , y0 ) 与椭圆 x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的位置关系:

a

b

2 2 2 2 当 x 2 ? y 2 ? 1 时,点 P 在椭圆外; 当 x 2 ? y 2 ? 1 时,点 P 在椭圆内; 当 x 2 ? y 2 ? 1 时,点 P 在

2

2

a

b

a

b

a

b

椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交 ? ? ? 0 ;直线与椭圆相切 ? ? ? 0 ;直线与椭圆相离 ? ? ? 0 例题分析: 题 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、 (4,0) ,椭圆上一点 P 到两焦点的距离

之和等于 10; ⑵两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2)且过( ?

3 5 , ) 2 2

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(3)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0). (4)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26. (5)焦点在 y 轴上,与 y 轴的一个交点为 P(0,-10),P 到它较近的一个焦点的距离等 于 2. 解: (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a ? b ? 0)

? 2a ? 10,2c ? 8 ? a ? 5, c ? 4 ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 52 ? 4 2 ? 9
所以所求椭圆标准方程为

x2 y2 ? ?1 25 9

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⑵ 因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为

y2 x2 ? ?1 a2 b2
由椭圆的定义知,

(a ? b ? 0)

3 5 3 5 2a ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 + (? ) 2 ? ( ? 2) 2 2 2 2 2
? 3 1 10 ? 10 ? 2 10 2 2
又c ? 2

? a ? 10

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6
所以所求标准方程为

y2 x2 ? ?1 10 6
2

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另法:∵ b ? a ? c ? a ? 4
2 2 2

3 5 y2 x2 ? 1,后将点( ? , )的坐标代入可求出 a ,从而求 ∴可设所求方程 2 ? 2 2 2 a a ?4
出椭圆方程 (3)∵椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为:
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x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
∵ 2a ?

(5 ? 3) 2 ? 0 ? (5 ? 3) 2 ? 0 ? 10 ,2c=6.

∴ a ? 5, c ? 3 ∴ b ? a ? c ? 5 ? 3 ? 16
2 2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1. ∴所求椭圆的方程为: 25 16
(4)∵椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a2 b2
∴ b ? a ? c ? 144.
2 2 2

y2 x2 ? ?1 ∴所求椭圆方程为: 169 144
(5)∵椭圆的焦点在 y 轴上,所以可设它的标准方程为:

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
∵P(0,-10)在椭圆上,∴ a =10. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于 2, ∴-c-(-10)=2,故 c=8. ∴ b ? a ? c ? 36 .
2 2 2

∴所求椭圆的标准方程是

y2 x2 ? ?1. 100 36

题 2。已知 B,C 是两个定点,|BC|=6,且 ?ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方 程 y 解:以 BC 所在直线为 x 轴,BC 中垂线为 y 轴建立直角
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A

坐标系, 设顶点 A( x, y) , 根据已知条件得|AB|+|AC|=10 再根据椭圆定义得 a ? 5, c ? 3, b ? 4 所以顶点 A 的轨迹方程为

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B

O

C

x

x2 y2 ? ? 1 ( y ≠0) (特别强调检验) 25 16

因为 A 为△ABC 的顶点,故点 A 不在 x 轴上,所以方程中要注明 y ≠0 的条件

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题 3。在△ABC 中,BC=24,AC、AB 的两条中线之和为 39,求△ABC 的重心轨迹方程. 分析:以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的中垂线为 y 轴建立如图 y 所示的平面直角坐标系, M 为重心,则 |MB|+|MC|=

2 ? 3

A
E F M B O C

39=26. 根据椭圆定义可知,点 M 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭

x2 y2 ? ? 1 ( y ≠0) 圆,故所求椭圆方程为 169 25
题 4。已知 x 轴上的一定点 A(1,0) ,Q 为椭圆
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x

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x2 ? y 2 ? 1 上的动点,求 AQ 中点 M 的轨迹方程 4

解:设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 Q 的坐标为 (2 x ? 1,2 y)

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x2 ? y 2 ? 1 上的点, 因为点 Q 为椭圆 4
所以有

y

Q
-2

M O A 2 x

1 (2 x ? 1) 2 ? (2 y ) 2 ? 1 ,即 ( x ? ) 2 ? 4 y 2 ? 1 2 4

所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4 y ? 1
2 2

1 2

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题 5。长度为 2 的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动,点 M 分 AB 的比为 求点 M 的轨迹方程
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2 , 3

解:设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 A 的坐标为 ( x,0) 因为 | AB |? 2 ,

5 3

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B 的坐标为 (0,
y

5 y) 2

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5 5 25 25 2 ( x) 2 ? ( y ) 2 ? 4 ,即 x 2 ? y ?4 3 2 9 4 25 2 25 2 x ? y ?4 所以点 M 的轨迹方程是 9 4
所以有
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B
M O A x

题 6。已知定圆 x ? y ? 6x ? 55 ? 0 ,动圆 M 和已知圆内切且过
2

y
M P O Q r=8

点 P(-3,0),求圆心 M 的轨迹及其方程 分析:由两圆内切,圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形,
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用数学符号表示此结论: MQ ? 8 ? MP

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x

上式可以变形为 MQ ? MP ? 8 ,又因为 PQ ? 6 ? 8 ,所以圆 心 M 的轨迹是以 P,Q 为焦点的椭圆
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解 已知圆可化为: ?x ? 3? ? y 2 ? 64
2

圆心 Q(3,0), r ? 8 ,所以 P 在定圆内 设动圆圆心为 M ( x, y ) ,则 MP 为半径 又圆 M
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和圆 Q 内切,所以 MQ ? 8 ? MP , 即 MQ ? MP ? 8 ,故 M 的轨迹是以 P,Q 为焦点的椭圆,且 PQ 中点为原点,所以 2a ? 8 ,

x2 y2 b ? 7 ,故动圆圆心 M 的轨迹方程是: ? ?1 16 7
2

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题 7。 △ABC 的两个顶点坐标分别是 B(0, 6)和 C(0, -6), 另两边 AB、 AC 的斜率的乘积是-

4 , 9

求顶点 A 的轨迹方程. 选题意图:巩固求曲线方程的一般方法,建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思,训 练根据条件对一些点进行取舍. 解:设顶点 A 的坐标为 ( x, y ) . 依题意得

y?6 y?6 4 ? ?? , x x 9

∴顶点 A 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1( y ? ?6) . 81 36

说明:方程 (0,6)应舍去. 题 8.P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 对应的椭圆与 y 轴有两个交点,而此两交点为(0,-6)与 81 36

x2 y2 ? ? 1 上的点,且 P 与 F1 , F2 的连线互相垂直,求 P 25 9
4 4 7 ? 25 81 2 2 x0 ) 2 ? (5 ? x 0 ) 2 =64 ? x 0 ? ,y ? 5 5 16 16
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解:由题意,得 (5 ?

?P 的坐标为 (

5 7 9 5 7 9 5 7 9 5 7 9 , ) , (? , ) , (? ,? ) , ( ,? ) 4 4 4 4 4 4 4 4

题 9.椭圆

9 x2 y2 ? ? 1 上不同三点 A( x1 , y1 ), B(4, ), C ( x 2 , y 2 ) 与焦点 F(4,0)的距离成 5 25 9
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等差数列,求证 x1 ? x2 ? 8 证明:由题意,得 (5 ?

4 4 4 x1 ) ? (5 ? x 2 ) =2 (5 ? ? 4) ? x1 ? x2 ? 8 5 5 5
y
P

题 10.设 P 是以 0 为中心的椭圆上任意一点, F2 为右

O1 A1
F1 O F2

A2

x

焦点,求证:以线段 F2 P 为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切

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证明:设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,( a ? b ? 0 ), a2 b2

焦半径 F2 P 是圆 O1 的直径,

则由 a ?

PF2 2

?

2a ? PF2 2

?

PF1 2

? OO1 知,两圆半径之差等于圆心距,

所以,以线段 F2 P 为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切

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题 11。 已知椭圆的焦点是 F1 (?1,0), F2 (1,0) , P为椭圆上一点, 且| F1 F2 |是| PF 1 |和|

PF2 |的等差中项.
(1)求椭圆的方程; (2)若点 P 在第三象限,且∠ PF1 F2 =120°,求 tan F1 PF2 . 选题意图:综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识,灵活运用等比定理进行解题. 解:(1)由题设| PF 2 |=2| F1 F2 |=4 1 |+| PF ∴ 2a ? 4 , 2c=2, ∴b= 3
P y

x2 y2 ? ? 1. ∴椭圆的方程为 4 3
(2)设∠ F1 PF2 ? ? ,则∠ PF2 F1 =60°-θ 由正弦定理得:

F1

O

F2

x

F1 F2 sin ? F1 F2 sin ?
4

?

PF2 sin 120?

?

PF1 sin(60? ? ? )

由等比定理得:

?

PF1 ? PF2 sin 120? ? sin(60? ? ? )

?

2 ? sin ?

3 ? sin(60? ? ? ) 2

整理得: 5 sin ? ? 3(1 ? cos? )

?

sin ? 3 ? 3 故 tan ? ? 2 2 1 ? cos? 5

题 12. 已知椭圆的中心在坐标原点 O, 焦点在坐标轴上, 直线 y=x+1 与椭圆相交于点 P 和点 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=

10 ,求椭圆方程. 2 解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0) , 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,解方程组

y=x+1, mx2+ny2=1. 消去 y,整理得(m+n)x2+2nx+n-1=0. Δ =4n2-4(m+n) (n-1)>0,即 m+n-mn>0,OP⊥OQ ? x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(x1+1) (x2+1)=0,2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴ m+n=2. 由弦长公式得 2? ①

2(n ? 1) 2n - +1=0. m?n m?n

10 2 4(m ? n ? mn) 3 =( ) ,将 m+n=2 代入,得 m?n= . 2 2 4 ( m ? n)



1 3 , m= , 2 2 解①②得 或 3 1 n= n= . 2 2 2 y2 x 3 3 ∴椭圆方程为 + y2=1 或 x2+ =1.. 2 2 2 2 x2 y2 题 13. 直线 l 过点 M(1,1) ,与椭圆 + =1 相交于 A、B 两点,若 AB 的中点为 4 3
m= M,试求直线 l 的方程. 解:设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 则 ①
2 x2 y2 + 2 =1. 4 3

x12 y12 + =1, 4 3

② ①-②,得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) + =0. 4 3


y1 ? y 2 x ? x2 3 =- ? 1 . x1 ? x 2 y1 ? y 2 4

又∵M 为 AB 中点, ∴x1+x2=2,y1+y2=2.

∴直线 l 的斜率为-

3 . 4 3 (x-1) , 4

∴直线 l 的方程为 y-1=- 即 3x+4y-7=0.

题 14。 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,一个长轴端点为 ? 0 ,1? ,短轴端点和焦点所组成的四 边形为正方形, 直线 l 与 y 轴交于点 P (0, m) , 与椭圆 C 交于相异两点 A、 B, 且 AP ? 3PB . (1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围. 【解题思路】通过 AP ? 3PB ,沟通 A、B 两点的坐标关系,再利用判别式和根与系数关系 得到一个关于 m 的不等式 [解析](1)由题意可知椭圆 C 为焦点在 y 轴上的椭圆,可设 C :

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

2 2 2 由条件知 a ? 1 且 b ? c ,又有 a ? b ? c ,解得 a ? 1 , b ? c ?

2 2

故椭圆 C 的离心率为 e ?

x2 c 2 2 ?1 ,其标准方程为: y ? ? 1 a 2 2

(2)设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2)
? ?y=kx+m ? 2 2 ?2x +y =1 ?

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0

Δ=(2km)2-4(k2+2) (m2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) -2km m 2- 1 x1+x2= 2 , x1x2= 2 k +2 k +2
? ?x1+x2=-2x2 ∵ AP =3 PB ∴-x1=3x2 ∴? 2 ?x1x2=-3x2 ?

-2km 2 m2-1 消去 x2,得 3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0 2-2m2 1 1 m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2= 2 , 4 4 4m -1 2-2m2 1 1 因 λ=3 ∴k≠0 ∴k2= 2 >0,∴-1<m<- 或 <m<1 2 2 4m -1 容易验证 k2>2m2-2 成立,所以(*)成立

1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪( ,1) 2 2

题 15。设 x、y∈R,i、j 为直角坐标平面内 x、y 轴正方向上的单位向量,若向量 a=xi+ (y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8. (1)求点 M(x,y)的轨迹 C 的方程. (2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 OP = OA + OB ,是否存在这 样的直线 l,使得四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理 由. (1)解法一:∵a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8, ∴点 M(x,y)到两个定点 F1(0,-2) ,F2(0,2)的距离之和为 8. ∴轨迹 C 为以 F1、F2 为焦点的椭圆,方程为

x2 y2 + =1. 12 16

解法二:由题知, x 2 ? ( y ? 2) 2 + x 2 ? ( y ? 2) 2 =8, 移项,得 x 2 ? ( y ? 2) 2 =8- x 2 ? ( y ? 2) 2 , 两边平方,得 x2+(y+2)2=x2+(y-2)2-16 x 2 ? ( y ? 2) 2 +64, 整理,得 2 x 2 ? ( y ? 2) 2 =8-y, 两边平方,得 4[x2+(y-2)2]=(8-y)2,

x2 y2 + =1. 12 16 (2)∵l 过 y 轴上的点(0,3) , 若直线 l 是 y 轴,则 A、B 两点是椭圆的顶点.
展开,整理得 ∵ OP = OA + OB =0, ∴P 与 O 重合,与四边形 OAPB 是矩形矛盾. ∴直线 l 的斜率存在.设 l 方程为 y=kx+3,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , y=kx+3, 消 y 得(4+3k2)x2+18kx-21=0.此时,Δ =(18k2)-4(4+3k2) 由 x2 y2 + =1, 12 16 18k 21 (-21)>0 恒成立,且 x1+x2=- ,x1x2=- . 2 4 ? 3k 4 ? 3k 2 ∵ OP = OA + OB ,∴四边形 OAPB 是平行四边形.若存在直线 l,使得四边形 OAPB 是 矩形,则 OA⊥OB,即 OA ? OB =0. ∵ OA =(x1,y1) , OB =(x2,y2) ,

∴ OA ? OB =x1x2+y1y2=0, 即(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0, 即(1+k2) ? (-

21 18k 5 5 )+3k? (- )+9=0,即 k2= ,得 k=± . 2 2 4 4 ? 3k 4 ? 3k 16

∴存在直线 l:y=±

5 x+3,使得四边形 OAPB 是矩形. 4

椭圆作业 班级:______________姓名:____________ 题 16。选择题

x2 y2 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆交于 M、N 两点, 16 9 则△MNF2 的周长为 A.8 B.16 C.25 D.32 解析:利用椭圆的定义易知 B 正确. 答案:B
1. 已知 F1、F2 是椭圆 2. 椭圆

x2 2 +y =1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个 4

交点为 P,则| PF2 |等于

3 7 B. 3 C. D.4 2 2 解法一: (如下图)设椭圆的右焦点为 F1,左焦点为 F2,过 F1 垂直于 x 轴的直线与椭 圆在第一象限的交点为 P.
A.
y P F2 O F1 x



x2 2 +y =1,∴a=2,b=1,c= 3 . 4 x2 2 1 +y =1,得 yP= , 4 2

∴F1( 3 ,0).设 P( 3 ,yP)代入 ∴P( 3 ,

1 1 ) ,|PF1|= . 2 2 1 7 = . 2 2

又∵|PF2|+|PF1|=2a=4, ∴|PF2|=4-|PF1|=4- 3.

设 F1、F2 为椭圆的两个焦点,以 F2 为圆心作圆 F2,已知圆 F2 经过椭圆的中心, 且与椭圆相交于 M 点,若直线 MF1 恰与圆 F2 相切,则该椭圆的离心率 e 为

A.

3 -1

B.2- 3

C.

2 2

D.

3 2

解析:易知圆 F2 的半径为 c, (2a-c)2+c2=4c2, ( 答案:A 4. 已知 P 为椭圆

c 2 c c ) +2( )-2=0, = 3 -1. a a a

x2 y2 ? ? 1 上 的 一 点 , M , N 分 别 为 圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 和 圆 25 16


( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 上的点,则 PM ? PN 的最小值为(
A. 5 [解析]B. B. 7 C .13 D. 15

两圆心 C、D 恰为椭圆的焦点,? | PC | ? | PD |? 10 , PM ? PN 的最小值为

10-1-2=7 5. 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线 经过椭圆的另一个焦点, 今有一个水平放置的椭圆形台球盘, 点 A、 B 是它的焦点, 长轴长为 2a,焦距为 2c,静放在点 A 的小球(小球的半径不计) ,从点 A 沿直线 出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 A.4a B.2(a-c) C.2(a+c) D.以上答案均有可能
y

[解析]按小球的运行路径分三种情况: (1) A ? C ? A ,此时小球经过的路程为 2(a-c); (2) A ? B ? D ? B ? A , 此时小球经过的路程为 2(a+c); (3) A ? P ? B ? Q ? A 此时小球经过的路程为 4a,故选 D C A
O

P D B Q
x

题 17、填空题 1. 已知 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点若 25 9

F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB =______________。
[解析] ?ABF 2 的周长为 4a ? 20 ,? AB =8 2. 如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴的椭圆, 那么实数 k 的取值范围是____________.

解析:椭圆方程化为

x2 y2 + =1. 2 2 k

焦点在 y 轴上,则 又 k>0,∴0<k<1. 答案:0<k<1 3. 椭圆

2 >2,即 k<1. k

x2 y2 + =1 的离心率是____________,准线方程是____________. 25 9

解析:由椭圆方程可得 a=5,b=3,c=4,e= 答案:

52 4 25 ,准线方程为 x=± =± . 4 5 4

4 5

x=±

25 4
y2 x2 + =1(a>b>0)上任意一点,P 与两焦点连线互相垂直, a2 b2

4.

已知 P 是椭圆

且 P 到两准线距离分别为 6、12,则椭圆方程为____________. 解析:利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求. 答案:

y2 x2 + =1 45 20

x2 y2 + =1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 25 9 的横坐标是____________. 解析:利用第二定义. 25 答案: 12 6. 已知 F1 为椭圆的左焦点,A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,P 为椭圆上的点, 当 PF1⊥F1A,PO∥AB(O 为椭圆中心)时,求椭圆的离心率____________.. c 剖析:求椭圆的离心率,即求 ,只需求 a、c 的值或 a、c 用同一个量表示.本题没有 a
5. 点 P 在椭圆 具体数值,因此只需把 a、c 用同一量表示,由 PF1⊥F1A,PO∥AB 易得 b=c,a= 2 b. 解:设椭圆方程为

x2 y2 + =1(a>b>0) ,F1(-c,0) ,c2=a2-b2, a2 b2
b2 c2 ) ,即 P (- c , ). a a2

则 P(-c,b 1 ?

∵AB∥PO,∴kAB=kOP, 即-

b ? b2 = .∴b=c. ac a

又∵a= b 2 ? c 2 = 2 b, ∴e=

2 b c = = . a 2b 2

7. 如图,把椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴 25 16 F 的垂线交椭圆的上半部分于 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点, 是椭圆
的一个焦点

则 PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7 F ? ________________ [解析]由椭圆的对称性知:

P 1F ? P 7F ? P 2F ? P 6F ? P 3F ? P 5 F ? 2a ? 35 .
题 18. 求椭圆的标准方程 1. 设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直, 且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4 2 -4,求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数 a, b, c 的式子“描述”出来

x2 y2 x2 y 2 [解析]设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b b a b?c ? ? 则 ?a ? c ? 4( 2 ? 1) , ? a 2 ? b2 ? c2 ?
解之得: a ? 4 2 ,b=c=4.则所求的椭圆的方程为

x2 y2 x2 y 2 ? ?1或 ? ? 1. 32 16 16 32

2. 已知方程 x2 cos? ? y 2 sin ? ? 1,? ? (0,? ) ,讨论方程表示的曲线的形状 [解析]当 ? ? (0, 当? ?

?
4

) 时, sin ? ? cos ? ,方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,

?
4

时, sin ? ? cos ? ,方程表示圆心在原点的圆,

当? ? ( 3.

? ?

, ) 时, sin ? ? cos ? ,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆 4 2
椭圆对称轴在坐标轴上, 短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形, 焦点到椭 圆上的点的最短距离是 3 ,求这个椭圆方程.

[解析] ? 4.

?a ? c ? 3 ?a ? 2c

2 ? x2 y x2 y2 ?a ? 2 3 ?? ,? b ? 3 ,所求方程为 + =1 或 + =1. 12 9 9 12 ? c ? 3 ?

椭圆对称轴在坐标轴上, 短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形, 焦点到椭 圆上的点的最短距离是 3 ,求这个椭圆方程.

解:由题设条件可知 a=2c,b= 3 c,又 a-c= 3 ,解得 a2=12,b2=9.∴所求椭圆的方 程是

x2 y2 x2 y2 + =1 或 + =1. 12 9 9 12

题 19。已知实数 x, y 满足
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,求 x2 ? y 2 ? x 的最大值与最小值 4 2

【解题思路】 把 x ? y ? x 看作 x 的函数

[解析] 由

1 x2 y 2 ? ? 1得 y2 ? 2 ? x2 , 2 4 2

?2 ?

1 2 x ? 0 ? ?2 ? x ? 2 2 1 1 3 ? x 2 ? y 2 ? x ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? , x ? [?2,2] 2 2 2 3 当 x ? 1 时, x2 ? y 2 ? x 取得最小值 ,当 x ? ?2 时, x2 ? y 2 ? x 取得最大值 6 2

题 20。椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 l: x ? y ? 9 ? 0 的距离的最小值. 16 9

【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 [解析]在椭圆上任取一点 P,设 P( 4 cos? ,3sin ? ). 那么点 P 到直线 l 的距离为:

| 4 cos? ? 3sin ? ? 12 | 12 ? 12
题 21。已知椭圆
x2 a2 ? y2 b2

?

2 | 5 sin(? ? ? ) ? 9 | ? 2 2. 2

? 1 (a ? b ? 0) 与过点 A(2,0),B(0,1)的直线 l 有且只有一个公 3 .求椭圆方程 2

共点 T,且椭圆的离心率 e ?

[解析]直线 l 的方程为: y ? ?

1 x ?1 2


由已知

a2 ? b2 3 ? ? a 2 ? 4b 2 a 2

? x2 y2 ? ?1 ? ? 2 b2 由?a ?y ? ? 1 x ?1 ? 2 ?

得: (b 2 ?

1 2 2 a )x ? a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 4


∴ ? ? a 4 ? (4b 2 ? a 2 )(a 2 ? a 2 b 2 ) ? 0 ,即 a 2 ? 4 ? 4b 2 由①②得: a 2 ? 2 , b2 ? 故椭圆 E 方程为

1 2

y2 x2 ? ?1 1 2 2

题 22。已知 A、B 分别是椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1 的左右两个焦点,O 为坐标原点,点 P (?1, ) 2 2 a b

在椭圆上,线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC,求

sin A ? sin B 的值。 sin C

[解析](1)∵点 M 是线段 PB 的中点 ∴ OM 是△ PAB 的中位线 又 OM ? AB ∴ PA ? AB

?c ? 1 ?1 1 ? ∴ ? 2 ? 2 ?1 ? a 2b 2 2 2 ? ?a ? b ? c
∴椭圆的标准方程为

解得a 2 ? 2, b2 ? 1, c 2 ? 1
A

C

B

x ? y 2 =1 2

2

(2)∵点 C 在椭圆上,A、B 是椭圆的两个焦点 ∴AC+BC=2a= 2 2 ,AB=2c=2

在△ABC 中,由正弦定理,

BC AC AB ? ? sin A sin B sin C



sin A ? sin B BC ? AC 2 2 ? ? 2 = sin C AB 2

题 23。 已知长方形 ABCD, AB=2 2 ,BC=1.以 AB 的中点 O 为原点建立如图 8 所示的平面直 角坐标系 xoy . (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的圆 恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. D

y
C

A [解析] (Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 ? 2,0 , 设椭圆的标准方程是

O

B

x

?

??

2,0 ,

? ? 2,1?.

图8

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? . a2 b2
2

则2a ? AC ? BC ?

?

2? ? 2

?

?? ? ?1 ? 0?
2

?

?

2 ? 2 ? ?1 ? 0?
2

?

2

?4?2 2 ?a ? 2 ?b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2 ? 2 . x2 y2 ? 1. ? 椭圆的标准方程是 ? 4 2

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2?k ? 0? . 设 M,N 两点的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ?. 联立方程: ?

? y ? kx ? 2
2 2 ?x ? 2 y ? 4

消去 y 整理得, 1 ? 2k 2 x 2 ? 8kx ? 4 ? 0 有 x1 ? x 2 ? ?

?

?

8k 4 , x1 x 2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , 所以, x1 x2 ? ?kx1 ? 2??kx2 ? 2? ? 0 , 即 1 ? k 2 x1 x2 ? 2k ?x1 ? x2 ? ? 4 ? 0

?

?

4 1? k 2 16k 2 ? ?4?0 所以, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 8 ? 4k 2 ? 0, 即 1 ? 2k 2 得 k 2 ? 2, k ? ? 2.
所以直线 l 的方程为 y ?

?

?

2 x ? 2 ,或 y ? ? 2x ? 2 .

所以存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点.

题 24。如图,在 Rt△ABC 中,∠CAB=90°,AB=2,AC=

2 。一曲线 E 过点 C,动点 P 2

在曲线 E 上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变,直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。 (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程; (2)设直线 l 的斜率为 k,若∠MBN 为钝角,求 k 的取值范围。 解: (1)以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系,则 A(-1,0) ,B (1,0) 由题设可得

| PA | ? | PB |?| CA | ? | CB |?

2 2 2 3 2 ? 22 ? ( ) 2 ? ? ?2 2 2 2 2 2

∴动点 P 的轨迹方程为 则a ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

2 , c ? 1.b ? a 2 ? c 2 ? 1
x2 ? y2 ? 1 2

∴曲线 E 方程为

(2)直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1),设M ( x1 , y1 ),设M ( x1 , y1 , ), N ( x2 , y2 ) 由?

? y ? k ( x ? 1)
2 2

得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

? ? ? 8k 2 ? 8 ? 0
∴方程有两个不等的实数根

4k 2 2(k 2 ? 1) ? x 1 ? x2 ? ? , x1 ? x 2 ? 2 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? BM ? ( x1 ? 1, y1 ), BN ? ( x2 ? 1, y2 )
BM ? BN ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? k 2 ( x1 ? 1)(x1 ? 1)
? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2
? (1 ? k 2 ) 2(k 2 ? 1) 4k 2 7k 2 ? 1 2 2 ? ( k ? 1 )( ? ) ? 1 ? k ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∵∠MBN 是钝角

? BM ? BN ? 0


7k 2 ? 1 ?0 1 ? 2k 2

解得: ?

7 7 ?k? 7 7

又 M、B、N 三点不共线

?k ? 0
综上所述,k 的取值范围是 (?

7 7 ,0) ? (0, ) 7 7

题 22。

1 椭圆
王新敞
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x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离为( 25 9
B.6 C.4 ) D.(±12,0) ) D.10



A.5

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是( 2.椭圆 25 169
A.(±5,0) 3.已知椭圆的方程为 A.2 8 ? m 2 C.2 m 2 ? 8 B.(0,±5)

C.(0,±12)

x2 y2 ? ? 1 ,焦点在 x 轴上,则其焦距为( 8 m2
B.2 2 2 ? m D. 2 m ? 2 2
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4. a ? 6, c ? 1 ,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是

5.方程

x2 ? 3
?

y2 sin(2? ?

?
4

? 1 表示椭圆,则 ? 的取值范围是( )



. C.

3? 8 8 ? 3? ? ?? ? 8 8 ?? ?

?

3? (k ∈Z) 8 8 ? 3? (k ∈Z) D. 2k? ? ? ? ? 2k? ? 8 8
B.

k? ?

?

? ? ? k? ?

参考答案: 1.A 2.C 3.A 4.

y2 x2 ? ? 1 5. B 36 35

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1.判断下列方程是否表上椭圆,若是,求出 a, b, c 的值

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x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ;② ? ? 1 ;③ ? ? 1 ;④ 4 y 2 ? 9 x 2 ? 36 2 2 4 2 4 2

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答案:①表示园;②是椭圆 a ? 2, b ?
2

2, c ? 2 ;
2

③不是椭圆(是双曲线) ; ④ 4 y ? 9 x ? 36 可 以 表 示 为

x2 y2 ? ? 1 ,是椭圆, 2 2 32

a ? 3, b ? 2, c ? 5

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2 椭圆
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x2 y2 ? ? 1 的焦距是 16 9
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, 焦点坐标为

; 若 CD 为过左焦点 F1 的弦,

则 ?F2 CD 的周长为

答案: 2c ? 2 7; F1 (? 7 ,0), F2 ( 7 ,0);4a ? 16

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3. 方程 4 x 2 ? ky 2 ? 1 的曲线是焦点在 y 上的椭圆 ,求 k 的取值范围 答案: 0 ? k ? 4
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2 2 4 化简方程: x ? ( y ? 3) ?

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10

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答案:

x2 y2 ? ?1 16 25

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5 椭圆
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x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 100 36

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答案:4
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6 动点 P 到两定点 F1 (-4,0), F2 (4,0)的距离的和是 8,则动点 P 的轨迹为 _______ 答案:是线段 F1 F2 ,即 y ? 0(?4 ? x ? 4)
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(1) 已知三角形Δ ABC的一边?长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程 解:以BC边为x轴,BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系,则A点的轨迹是椭圆,其方程
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为:

x 2 y2 ? ?1 25 16

若以BC边为y轴,BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系,则A点的轨迹是椭圆, 其方程为:

x 2 y2 ? ?1 16 25

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