2019学年人教A版高中数学必修一同步辅导与检测第一章1.3-1.3.2奇偶性

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第一章 集合与函数概念

1.3

函数的基本性质 1.3.2
A级

奇偶性
基础巩固

一、选择题 1.函数 f(x)=x2+ x( A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 解析:函数的定义域为 [0,+∞),不关于原点对称,所以函数 f(x)是非奇非偶函数. 答案:C 2.下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是( A.y=x3 C.y=-x2+1 B.y=|x|+1 D.y=2x+1 ) )

解析:四个选项中的函数的定义域都是 R.对于选项 A,y=x3 是 奇函数;对于选项 B,y=|x|+1 是偶函数,且在(0,+∞)上是增函 数;对于选项 C,y=-x2+1 是偶函数,但是它在(0,+∞)上是减 函数;对于选项 D,y=2x+1 是非奇非偶函数.故选 B. 答案:B

3. 已知 y=f(x), x∈(-a, a), F(x)=f(x)+f(-x), 则 F(x)是( A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.偶函数 D.非奇非偶函数

)

解析:F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x). 又因为 x∈(-a,a)关于原点对称,所以 F(x)是偶函数. 答案:B 4.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结 论恒成立的是( )

A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数

解析:由 f(x)是偶函数,可得 f(-x)=f(x),由 g(x)是奇函数,可 得 g(-x)=-g(x),故|g(x)|为偶函数,所以 f(x)+|g(x)|为偶函数. 答案:A x 5.若函数 f(x)= 为奇函数,则 a 等于( (2x+1)(x-a) 1 A. 2 3 C. 4 2 B. 3 D.1 )

? 1 ? 解析:函数 f(x)的定义域为?x|x≠2,且x≠a?. ? ?

1 又 f(x)为奇函数,定义域应关于原点对称,所以 a= . 2 答案:A 二、填空题 6.偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上的图象如图,则函数 f(x)的增区 间为______________.

解析: 偶函数的图象关于 y 轴对称, 可知函数 f(x)的增区间为[- 1,0]∪[1,+∞). 答案:[-1,0]∪[1,+∞) 7. 已知函数 y=f(x)是 R 上的奇函数, 且当 x>0 时, f(x)=x-x2, 则 f(-2)=________. 解析:因为当 x>0 时,f(x)=x-x2, 所以 f(2)=2-22=-2,又 f(x)是奇函数, 所以 f(-2)=-f(2)=2. 答案:2 8.已知奇函数 f(x)在区间[3,6]上是增函数,且在区间[3,6]上 的最大值为 8,最小值为-1,则 f(6)+f(-3)的值为________. 解析:由已知得,f(6)=8,f(3)=-1, 因为 f(x)是奇函数,所以 f(6)+f(-3)=f(6)-f(3)=8-(-1)=9. 答案:9 三、解答题 9.已知 f(x)是 R 上的偶函数,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+x -1,求 x∈(-∞,0)时,f(x)的解析式. 解:设 x<0,则-x >0. 所以 f(-x)=(-x)2+(-x)-1. 所以 f(-x)=x2-x-1. 因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x). 所以 f(x)=x2-x-1. 所以当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-x-1.

2 10.已知函数 f(x)=1- . x (1)若 g(x)=f(x)-a 为奇函数,求 a 的值; (2)试判断 f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明. 2 解:(1)由已知 g(x)=f(x)-a 得:g(x)=1-a- , x 因为 g(x)是奇函数,所以 g(-x)=-g(x),即 1-a-
? 2? 2 =-?1-a-x?,解得 a=1. ? ? (-x)

(2)函数 f(x)在(0,+∞)内是单调增函数,下面证明: 设 0<x1<x2,且 x1,x2∈(0,+∞), 2 ? 2(x1-x2) 2 ? 则 f(x1)-f(x2)=1- -?1-x ?= . x1 ? x1x2 2? 因为 0<x1<x2,所以 x1-x2<0,x1x2>0, 从而 2(x1-x2) <0,即 f(x1)<f(x2). x1x2

所以函数 f(x)在(0,+∞)内是单调增函数. B级 能力提升

1.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上是减 函数,若 f(a)≥f(-2),则 a 的取值范围是( A.a≤-2 C.a≤-2 或 a≥2 B.a≥2 D.-2≤a≤2 )

解析:由已知,函数 y=f(x)在(-∞,0)上是增函数,若 a<0, 由 f(a)≥f(-2)得 a≥-2;若 a≥0,由已知可得 f(a)≥f(-2)=f(2),a ≤2.综上知-2≤a≤2. 答案:D 2.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上是增

函数.若 f(-3)=0,则

f(x) <0 的解集为______________________. x

解析:因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上 是增函数,所以 f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,所以 f(3)=f(-3) =0.当 x>0 时,f(x)<0,解得 x>3;当 x<0 时,f(x)>0,解得-3<x<0. 故-3<x<0 或 x>3. 答案:{x|-3<x<0 或 x>3} 3.已知函数 y=f(x)(x≠0)对于任意的 x,y∈R 且 x,y≠0 都满 足 f(xy)=f(x)+f(y). (1)求 f(1),f(-1)的值; (2)判断函数 y=f(x)(x≠0)的奇偶性. 解:(1)因为对于任意的 x,y∈R 且 x,y≠0 都满足 f(xy)=f(x) +f(y), 所以令 x=y=1,得到 f(1)=f(1)+f(1), 所以 f(1)=0, 令 x=y=-1,得到 f(1)=f(-1)+f(-1), 所以 f(-1)=0. (2)由题意可知,函数 y=f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 关于原点对称, 令 y=-1,得 f(xy)=f(-x)=f(x)+f(-1), 因为 f(-1)=0, 所以 f(-x)=f(x), 所以 y=f(x)(x≠0)为偶函数.


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