4.3.2《空间两点间的距离公式》


1、掌握空间距离公式并会应用

它解决简单的距离问题;
2、掌握空间中点坐标公式并会 简单应用。

长a,宽b,高c的长方体的对角线,怎么求?

d a
2 2

c b
2

d ? a ?b ?c

在空间直角坐标系中点O(0,0,0)到 点P(x0,y0,z0)的距离,怎么求?

z d y0
P z0 x0

O x

y

d?

x ? y ?z
2 0 2 0

2 0

在空间直角坐标系中,点P(x,y,z)到 点xOy平面的距离,怎么求?

z

d xOy ? z
O y x P z x y

d yOz ? x d xOz ? y

在空间直角坐标系中,点P(x0,y0,z0)到 坐标轴的距离,怎么求? z
d y0 P z0 x0

dx ?
y

y ?z
2 0

2 0 2 0 2 0

O x

dy ? dz ?

x ?z
2 0 2 0

x ?y

两点间距离公式
平面: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) 1 2 |?
2 2

类比

猜想

空间: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 ) 1 2 |?
2 2

2

一、空间两点间的距离公式:
在空间直角坐标系中,点P(x1,y1,z1)
和点Q(x2,y2,z2)的距离公式:

d ? ( x 2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z 2 ? z1 )
2 2

2

二、空间中点坐标公式:
在空间直角坐标系中,点P(x1,y1,z1)和 点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):

x1 ? x2 ? x3 ? x ? ? 2 ? y1 ? y 2 ? y3 ? ?y ? 2 ? z ? z ? z 1 2 3 ?z? ? 2 ?

例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2), B(2,3,4),C(3,1,5),求: (1)三角形三边的边长; 解: AB ?

?1 ? 2? ? ?5 ? 3? ? ?2 ? 4?
2 2

2

?3

BC ? AC ?

?2 ? 3? ? ?3 ? 1? ? ?4 ? 5?
2 2

2

? 6 ? 29

?1 ? 3? ? ?5 ? 1? ? ?2 ? 5?
2 2

2

例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2), B(2,3,4),C(3,1,5),求: (2)BC边上中线AM的长。
1? 2 ? 3 ? x? ?3 ? 解: 2 ? 5 ? 3 ?1 9 ? ? 9 11? ? ? M ? 3, , ? ?y? 2 2 ? 2 2? ? ? z ? 2 ? 4 ? 5 ? 11 ? 2 2 ?

9 ? ? 11? 66 ? AC ? ?1 ? 3? ? ? 5 ? ? ? ? 2 ? ? ? 2? ? 2? 2 ?
2

2

2

例2:求证以 M1 (4,3,1) , M 2 (7,1,2) , M 3 (5,2,3),
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解: M1 M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? (2 ? 1)2 ? 14,
M 2 M 3 ? (5 ? 7)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 2)2 ? 6, M 3 M1 ? (4 ? 5)2 ? (3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,
2 2

2

? M 2 M 3 ? M 3 M1 , 原结论成立.

例3:设P在x轴上,它到 P1 (0, 2,3) 的距离为
到点 P2 (0,1,?1)的距离的两倍,求点P的坐标。 解: 因为 P 在 x 轴上, 设P点坐标为( x ,0,0),

PP1 ? x 2 ? ? 2 ?2 ? 32 ?
PP2 ? x ? ?? 1? ? 1 ?
2 2 2

x ? 11,
2

x ? 2,
2

? PP1 ? 2 PP2 , ? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2
? x ? ?1, 所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

例4:已知 A( 3,3,3 2 ), B( 3,1, 2 ) ,在平面
Oyz上是否存在一点C,使 ?ABC为等边三角 形,如果存在求C坐标,不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z),满足条件:

? AB ? AC ? BC
? ? ?

? ? ?

3 ? 3 ? ?3 ? 1? ? 3 2 ? 2
2 2

?

?

?

2

? ? ? 3 ? 0? ? ?1 ? y ? ? ? 2 ? z ?
3 ? 0 ? ?3 ? y ? ? 3 2 ? z
2 2 2 2 2

2

例4:已知 A( 3,3,3 2 ), B( 3,1, 2 ) ,在平面
Oyz上是否存在一点C,使 ?ABC为等边三角 形,如果存在求C坐标,不存在说明理由。
? y?4 ? y?0 ?? 或? ?z ? 2 ?z ? 3 2 ? C 0,4, 2 或 0,0,3 2

?

? ?

?

所以存在一点C,满足条件.

【总一总★成竹在胸】
一、空间两点间的距离公式:

d ? ( x 2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z 2 ? z1 )
2 2

2

二、空间中点坐标公式:
x1 ? x2 ? x3 ? ?x ? 2 ? y1 ? y 2 ? y3 ? ?y ? 2 ? ? z ? z1 ? z 2 ? z3 ? 2 ?


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