(北师大版选修2-2)2018年数学同步练习:第1章 4 数学归纳法 活页作业4 Word版含解析

活页作业(四) 数学归纳法 1.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的自然数 n 都成立”时,第一步证明中的 起始值 n0 应取( A.2 C.5 ) B.3 D.6 解析:当 n 取 1,2,3,4 时 2n>n2+1 不成立,当 n=5 时,25=32>52+1=26,第一个能使 2n>n2+1 的 n 值为 5. 答案:C 1 1 1 2.用数学归纳法证明 1+ + +…+ n <n(n∈N+,n>1)时,第一步应验证不等式 2 3 2 -1 ( ) 1 A.1+ <2 2 1 1 C.1+ + <3 2 3 1 1 B.1+ + <2 2 3 1 1 1 D.1+ + + <3 2 3 4 解析:∵n>1 且 n∈N+,∴n 取的第一个值 n0=2. 1 1 ∴第一步应验证:1+ + <2. 2 3 答案:B 3.设 Sk= 1 1 1 1 + + +…+ ,则 Sk+1 为( k+1 k+2 k+3 2k ) 1 A.Sk+ 2k+2 1 1 C.Sk+ - 2k+1 2k+2 解析: Sk+1= 1 - . 2k+2 答案:C 1 1 B.Sk+ + 2k+1 2k+2 1 1 D.Sk+ - 2k+2 2k+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +…+ + + =Sk+ + - =Sk+ k+2 k+3 2k 2k+1 2k+2 2k+1 2k+2 k+1 2k+1 1 1 1 1 4.若 f(n)=1+ + +…+ (n∈N+),则 n=1 时 f(n)是( 2 3 2n+1 A.1 1 1 C.1+ + 2 3 解析:∵f(n)共有 2n+1 项, 1 1 ∴当 n=1 时有 2+1=3 项,即 f(1)=1+ + . 2 3 答案:C 1 1 1 1 5.已知 f(n)= + + +…+ 2,则( n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 C.f(n)中共有 n2-n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 D.f(n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 ) 1 B. 3 ) D.以上答案均不正确 解析:观察分母的首项为 n,最后一项为 n2,公差为 1,∴项数为 n2-n+1. 答案:D 6.用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(n+3)= 步验证当 n=1 时,左边应取的项为________. 解析:当 n=1 时,左边要从 1 加到 n+3,即 1+2+3+4. 答案:1+2+3+4 7.已知每项都大于零的数列{an}中,首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足 Sn Sn-1-Sn-1 Sn= 2 SnSn-1(n≥2),则 a81=________. 解析:∵Sn Sn-1-Sn-1 Sn=2 SnSn-1, n+ 2 n+ (n∈N+)时,第一 S1=a1=1, ∴S2=9,S3=25,…,Sn=(2n-1)2. 利用数学归纳法可证明 Sn=(2n-1)2. 2 ∴a81=S81-S80=640. 答案:640 1 1 1 n 8.已知 f(n)=1+ + +…+ ,n∈N+,用数学归纳法证明 f(2n)> 时,f(2n+1)-f(2n)= 2 3 n 2 _____________. 1 解析:f(n)有 n 项,最后一项为 , n f(2n)有 2n 项,最后一项为 n, f(2n+1)有 2n+1 项,最后一项为 n+1, 1 2 1 2 1 1 1 ∴f(2n+1)比 f(2n)多出的项为 n + n +…+ n+1. 2 +1 2 +2 2 1 1 1 答案: n + n +…+ n+1 2 +1 2 +2 2 9.设 a>0,f(x)= ax a+x ,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N+. (1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. (1)解:因为 a1=1,所以 a2=f(a1)=f(1)= , 1+a a a3=f(a2)= a4=f(a3)= 猜想 an= , 2+a . 3+a a a a n- (n∈N+). +a (2)证明:①易知,当 n=1 时,由猜想知正确. ②假设当 n=k 时正确,即 ak= a k- a +a +a , +a 则 ak+1=f(ak)= a·ak = a+ak a· k- a a+ k- 3 = a k- = +a+1 a k+ . -1]+a 这说明,当 n=k+1 时也正确. 由①②,可知对于任何 n∈N+,都有 an= a n- . +a 10.试比较 2n+2 与 n2 的大小(n∈N+),并用数学归纳法证明你的结论. 解:当 n=1 时,21+2=4>12, 当 n=2 时,22+2=6>22, 当 n=3 时,23+2=10>32, 当 n=4 时,24+2=18>42, 由此可以猜想,2n+2>n2(n∈N+)成立. 用数学归纳法证明如下: (1)当 n=1 时,左边=21+2=4,右边=1, ∴左边>右边,不等式成立. 当 n=2 时,左边=22+2=6,右边=22=4, ∴左边>右边,不等式成立. 当 n=3 时,左边=23+2=10,右边=32=9, ∴左边>右边,不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥3 且 k∈N+)时,不等式成立, 即 2k+2>k2, 那么当 n=k+1 时,2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2. 要证当 n=k+1 时结论成立,只需证 2k2-2≥(k+1)2, 即证 k2-2k-3≥0, 即证(k+1)(k-3)≥0. 又∵k+1>0,k-3≥0, ∴(

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