椭圆第三课(标准方程与简单几何性质习题课)


椭圆第三课

(标准方程与简单几何性质习题课) (椭圆轨迹的其他形成方式)

思考:方程Ax2+By2=C何时表示椭圆?
答:A、B、C同号且A、B不相等时。

题型一:利用椭圆的几何性质求标准方程

例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成2:1的两部分,且经过点 P ?3 2, 4

?

?

解: ⑴方法一: 将点的坐标代入方程, 求出m=1/9,n=1/4。
x y \ 所求椭圆方程为: + = 1 9 4
2 2

设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),

注:待定系数法求椭圆标准方程的步骤:
⑴定位; ⑵定量

解:(1)方法二:利用椭圆的几何性质 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点 就是椭圆的顶点, 于是焦点在x轴上,且点P、Q分别是 椭圆长轴与短轴的一个端点, 故a=3,b=2,

x y 所以椭圆的标准方程为 + =1 9 4

2

2

题型一:利用椭圆的几何性质求标准方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成2:1的两部分,且经过点 P ?3 2, 4

?

?

c 3 解(2): = 20, e = = ? a ? 10, c ? 6 2a a 5
2 2

? b ? 8.
2 2

x y y x ? 椭圆方程为: ? ? 1或 ? ?1 100 64 100 64

注:待定系数法求椭圆标准方程的步骤: ⑴定位; ⑵定量

题型一:利用椭圆的几何性质求标准方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成2:1的两部分,且经过点 P ?3 2, 4

?

?

解:(3)一焦点将长轴分成2:1的两部分 ? (a ? c) : (a ? c) ? 2 :1 ? a ? 3c ? b2 ? 8c 2
x2 y2 x2 y2 ? 椭圆方程可设为: 2 ? 2 ? 1或 2 ? 2 ? 1 9c 8c 8c 9c
(?3 2)2 42 (?3 2) 2 42 椭圆过P ?3 2, 4 , ? ? 2 ? 1或 ? 2 ?1 2 2 9c 8c 8c 9c 145 ? c 2 ? 4或c 2 ? x2 y2 y2 x2 ? 1或 ? ?1 36 ? 椭圆方程为: ? 145 290 36 32 4 9

?

?

题型二:椭圆的离心率问题 x2 y 2 例2:(1)椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)

的左焦

点 F1 (?c,0),

A(?a, 0), B(0, b) 是两个顶点,
b 7

如果F1到直线AB的距 离为 1 的离心率e= .
2

,则椭圆

题型二:椭圆的离心率问题

例2:(2)已知椭圆的两个焦点为F1、F2,A为

椭圆上一点,且AF1⊥AF2,∠AF2F1=60°, 求该椭圆的离心率.

x2 y 2 F 变式:设M为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点, 1、F2 a b ? ?

为椭圆的焦点,如果 ?MF1F2 ? 45 , ?MF2 F1 ? 60 ,求 椭圆的离心率。

解: ?MF1F2 ? 45? , ?MF2 F1 ? 60?, F1MF2 ? 750 ? ??
MF1 MF2 F1 F2 由正弦定理: ? ? ? ? sin 60 sin 45 sin 75?
2a 2c MF1 ? MF2 F1 F2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin 45 ? sin 60 sin 75? sin 60 ? sin 45 sin 75

c sin 75? 6? 2 ?e ? ? ? ? ? a sin 45 ? sin 60 2 2? 3

?

?

2 例3(3) :已知F为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶 1

点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1 ? F1A,,PO ? AB(O为 椭圆中心)时,求椭圆的离心率.

x y 解 : 设椭圆方程为 : 2 ? 2 ? 1 a b b2 ?PF1 ? FA ? P(?c, ) ? A(a,0), B(0, b) 1 a b2 / a b ? PO ? AB ? ? ?kPO ? k AB ?c ?a c c 2 ?b ? c ?e ? ? ? . a 2 2c2

2

2

? 小结 ? (1)求离心率e时,除用关系式a 2 =b 2 +c 2 外, 还要注意e=c/a的代换,通过方程思想求离 心率. ? (2)在椭圆中涉及三角形问题时,要充分利 用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全 等三角形、相似三角形等知识.

练习2:

1.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的 垂线交椭圆于点P,若? F1PF2为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率为 2 2 ?1 A. ,B. 2 2 C.2- 2, (     D ) D. 2 ? 1

例3 如图,已知一个圆的圆心为坐标 原点,半径为2,从这个圆上任意一点 P向x轴作垂线段PD,D为垂足,当点 P在圆上运动时,线段PD的中点M的 轨迹是什么? y
P

?M
O
D

x

例4

如图,设点A、B的坐标分别为(-

5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M,且
4 它们的斜率之积为 ? ,求M的轨迹方程. 9 y
M
x B

A

O

作业

1.《活页规范训练》P92 2.课本P50 B组1.2.


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