1.7.3球的表面积和体积 教案 (高中数学必修二北师大版)

7.3 球的表面积和体积 (教师用书独具) ●三维目标 1.知识与技能 (1)了解球的体积和表面积公式. (2)会用公式求球的表面积和体积及解决与球有关的简单组合体的表面积和体积问题. 2.过程与方法 通过球的表面积和体积公式的应用,提高学生的计算能力. 3.情感、态度与价值观 提高学生的思维能力和空间想象能力,增强探索问题和解决问题的信心. ●重点难点 重点:球的表面积和体积公式. 难点:与球有关的组合体的表面积和体积问题. 解决与球有关的接、切问题时,一般作一个适当的截面,将问题转化为平面问题解决, 从而化解难点. (教师用书独具) ●教学建议 球的体积是球体所占空间的大小的度量,由球的几何特征可知,它是球半径的函数,而 球的表面积是对球的表面大小的度量, 它也是球半径的函数, 教学时对球的体积公式和表面 积公式可以采用教材中的方法,直接给出其公式即可. ●教学流程 创设问题情境, 提出问题?通过引导学生回答问题, 掌握球的表面积和体积公式?通过 例 1 及互动探究, 使学生掌握球的表面积和体积的计算?通过例 2 及变式训练使学生掌握球 的表面积和体积的应用?通过例 3 及变式训练使学生掌握有关球的切接问题的解法?归纳 整理,进行课堂小结,整体认识所学知识?完成当堂双基达标,巩固所学知识 课标解读 2.会用公式求球的表面积和体积(重点). 3.会用公式解决与球有关的简单组合体的表 面积和体积问题(难点). 1.了解球的体积和表面积公式. 球的表面积和体积公式 【问题导思】 球是最常见的几何体之一.从小学到初中,教材就介绍了球的表面积和体积,而且关于 球的表面积和体积的计算在社会生活中有着重要的作用. (1)球能象多面体和圆柱、圆锥、圆台一样展开在一个平面上吗? (2)两个半径不相等的球,体积会相等吗? 【提示】 (1)不能.(2)不相等. 1.球的表面积公式:S 球面=4πR2(R 为球半径) 4 3 2 径 . 球 的 体 积 公 式 : V 球 = πR3(R 为 球 半 ) 球的表面积和体积的计算 过球的半径的中点,作一垂直于这条半径的截面,已知此截面的面积为 12π cm ,试求此球的表面积. 【思路探究】 利用球的截面性质求球的半径. 2 【自主解答】 如图,设截面圆的圆心为 O1,OA 为球的半径, ∵12π=π· O1A2,∴O1A2=12, 在 Rt△OO1A 中, 2 OA2=OO2 1+O1A , 1 即 R2=( R)2+12, 2 ∴R=4(cm), ∴S 球=4πR2=4π×16=64π(cm2). 1.用一个平面去截球,截面总是圆面. 2.球的截面圆的半径、圆心到球心的距离和球的半径构成直角三角形.此性质是解决 球的表面积和体积问题的重要工具. 本例中,若截面不过球的半径的中点,而是过半径上与球心距离为 1 的点,且截面与 此半径垂直,若此截面的面积为 π,试求此球的表面积和体积. 【解】 如图,由题意可知: OO1=1. 设截面圆的半径为 r,则 π=πr2, ∴r=1, 即 O1A=1. 在 Rt△OO1A 中, 球半径 R=OA= = 12+12= 2. O1O2+O1A2 ∴球的表面积 S 球=4πR2=8π, 4 8 2 球的体积 V 球= πR3= π. 3 3 球的表面积及体积的应用 一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在此容器内注入水并且放入一 个半径为 r 的铁球,这时水面恰好和球面相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是 多少? 【思路探究】 先设球未取出时的水面高度和取出后的水面高度,则水面下降,减少的 体积就是球的体积,建立一个关系式来解决. 【自主解答】 设△PAB 所在平面为轴截面,AB 为水平面,设球未取出时,水面高 PC =h,球取出后水面高 PH=x,如图所示. ∵AC= 3r,PC=3r, ∴以 AB 为底面直径的圆锥的容积为 1 V 圆锥= πAC2· PC 3 1 4 = π( 3r)2· 3r=3πr3,V 球= πr3. 3 3 球取出后水面下降到 EF,水的体积为 1 V 水= πEH2· PH 3 1 = π(PH· tan 30° )2· PH 3 1 = πx3. 9 而 V 水=V 圆锥-V 球, 1 4 3 即 πx3=3πr3- πr3,∴x= 15r. 9 3 3 故球取出后水面的高为 15r. 1.画出截面图是解答本题的关键. 2.球的体积和表面积有着非常重要的应用.在具体问题中,要分清是涉及体积问题还 是涉及表面积问题,然后再利用等量关系进行计算. 圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm,两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水 中,若取出这两个小球,则容器的水面将下降多少? 【解】 设取出小球后,容器中水面下降 h cm,两个小球的体积为 V 球=2× 4 5 π×( )3 3 2 125π 125π = ,此体积即等于它们在容器中排开水的体积 V=π×52×h,所以 =π×52×h,所 3 3 5 以 h= (cm). 3 5 即若取出这两个小球,则容器的水面将下降 cm. 3 有关球的切、接问题 求棱长为 a 的正四面体 P—ABC 的内切球的体积. 【思路探究】 欲求正四面体 P—ABC 的内切球的体积, 首先必须求出内切球的半径 r, 显然半径在正四面体的高 h 上,因由正四面体中心 O 至各个顶点的连线与正四面体各面围 成四个体积相等的正三棱锥,这些棱锥的底是正四面体的面,高是 O 到各面的距离(即 r), 1 它们的体积各为正四面体体积的 ,于是可以求得 r 与 h 的关系,然后在正四面体中,由棱 4 长 a 求得高,进而得到内切球的半径. 【自主解答】 如图(1)所示,设 O 为内切球的球心,连接 OA、OB、OC、OP,则正四 面体的体积可以化为四个三棱锥的体积之和. 即 VP—ABC=VO

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