排列组合方法归纳大全

排列组合方法归纳大全
解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少 类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有 多少不同的种法?

二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

练习题:某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为

三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多 少种?

练习题:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个 新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为

四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法

1

练习题:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?

五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法

练习题: 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插 入原节目单中,那么不同插法的种数为 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法

六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法?

练习题:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈

七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

练习题:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不 能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是

八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

练习题: 一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任 务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种

九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,5在两个奇数之间,这样的五位 数有多少个?

2

练习题: 1 . 计划展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅水彩画 , 4幅油画 , 5幅国画 , 排成一行陈列 , 要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为______ 2. 5 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种______

十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案?

练习题: 1. 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法?_____ 2 . x ? y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数_____

十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种?

练习题:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法?

练习题: 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法? 2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安 排 2 名,则不同的安排方案种数为______

十三. 合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞 的节目,有多少选派方法 练习题: 1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,则不 同的选法共有______ 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船
3

或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共有多少乘船方法. 本题还有如下分类标准:

十四.构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种?

练习题: 某排共有 10 个座位, 若 4 人就坐, 每人左右两边都有空位, 那么不同的坐法有多少种? (120)

十五.实际操作穷举策略 例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要 求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

练习题: 4 1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡, 则四张贺年卡不同的 3 2 分配方式有多少种? 5 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有 72 种

1

十七.化归策略 例 17.:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路, 从 A 走到 B 的最短路径有多少种?

B

A
十八.数字排序问题查字典策略 例 18.由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数?

练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数 是

4

解决排列类应用题的主要方法 (1)直接法:把符合条件的排列数直接列式计算; (2)特殊元素(或位置)优先安排的方法,即先排特殊元素或特殊位置; (3)捆绑法:相邻问题捆绑处理的方法,即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列,同 时注意捆绑元素的内部排列; (4)插空法:不相邻问题插空处理的方法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素 插在前面元素排列的空当中; (5)分排问题直排处理的方法; (6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法; (7)定序问题除法处理的方法,即可以先不考虑顺序限制,排列后再除以定序元素的全排列.

1.一位老师和 5 位同学站成一排照相,老师不站在两端的排法( A.450 B.460 C.480 D.500

)

2.排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单. (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?

[例 2] 要从 5 名女生,7 名男生中选出 5 名代表,按下列要求,分别有多少种不同的选法? (1)至少有 1 名女生入选; (2)至多有 2 名女生入选; (3)男生甲和女生乙入选; (4)男生甲和女生乙不能同时入选; (5)男生甲、女生乙至少有一个人入选. 组合两类问题的解法 (1)“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”, 则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”、“最多”的问题:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含 义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解.通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用 间接法处理. 3.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中选 3 门.若要求两类课程中各至 少选一门,则不同的选法共有( A.30 种 B.35 种 ) C.42 种 D.48 种

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[例 3] 有 5 个男生和 3 个女生,从中选出 5 人担任 5 门不同学科的科代表,求分别符合下列 的选法数: (1)有女生但人数必须少于男生; (2)某女生一定担任语文科代表; (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表; (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表.

求解排列、组合综合题的一般思路 排列、组合的综合问题,一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组,再对取出的元素或分 好的组进行排列.其中分组时,要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.

4.4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法?

1.(2012·辽宁高考)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数 为( ) A.3×3! B.3×(3!)
3

C.(3!)

4

D.9!

2.(2012·新课标全国卷)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社 会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( A.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种 )

3.在“神九”航天员进行的一项太空实验中,先后要实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第 一步或最后一步,程序 B 和 C 实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有( A.24 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种
6

)

4.如图所示 2×2 方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是 1、2、3、4 中 任何一个, 允许重复. 若填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字, 则不同的填法共有( A.192 种 B.128 种 C.96 种 D.12 种 )

A C

B D

5.两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局 次的不同视为不同情形)共有( A.10 种 B.15 种 ) C.20 种 D.30 种

6.(2012·山东高考)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任 取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为( A.232 B.252 C.472 D.484 )

7.12 名选手参加校园歌手大奖赛,大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名,每人最多获得一种 奖项,则不同的获奖种数是( A.12
3

) D.12+11+10 )

B.3

12

C.A12

3

8.异面直线 a,b 上分别有 4 个点和 5 个点,由这 9 个点可以确定的平面个数是( A.20 B.9 C.C
3 9

D.C C +C C

2 1 4 5

2 1 5 4

9.将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排两名学生,那么互不相同的分配方 案共有( ) B.112 种 C.20 种 D.56 种

A.252 种

10.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人担任奥运志愿者,若选出的 4 人中既有男生又有女生,则 不同的选法共有_种. 11.如图 M,N,P,Q 为海上四个小岛,现要建造三座桥,将这四个小岛连接起 来,则不同的建桥方法有________种. 12.某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市 投资的项目不超过 2 个,则该公司不同的投资方案种数是________(用数字作答). 13.(2013·武汉模拟)某车队有 7 辆车,现要调出 4 辆按一定顺序出去执行任务.要求甲、乙两 车必须参加,且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字). 14.(2013·宜昌模拟)某省高中学校自实施素质教育以来,学生社团得到迅猛发展.某校高一新 生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社 团.若每个社团至少有一名同学参加,每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团,且同学甲不 参加“围棋苑”,则不同的参加方法的种数为________(用数字作答). 15.已知 10 件不同的产品中有 4 件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出所有 4 件次品为 止.(1)若恰在第 5 次测试,才测试到第一件次品,第十次才找到最后一件次品,则这样的不同测试 方法数是多少?(2)若恰在第 5 次测试后, 就找出了所有 4 件次品, 则这样的不同测试方法数是多少?

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16.从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的有几个? (3)(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个?

17.编号为 A,B,C,D,E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一个小 球,且 A 球不能放在 1,2 号,B 球必须放在与 A 球相邻的盒子中,不同的放法有多少种?

18.3 名男生,4 名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数: (1)选其中 5 人排成一排; (2)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人; (3)全体站成一排,男、女各站在一起; (4)全体站成一排,男生不能站在一起; (5)全体站成一排,甲不站排头也不站排尾.

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