高中数学第二章圆锥曲线与方程232双曲线的几何性质课后训练新人教B版选修21

2.3.2 双曲线的几何性质 课后训练 1.双曲线的实轴长,虚轴长,焦距成等差数列,那么它的离心率为( A. ) 4 3 B. 5 3 C.2 D.3 2.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2 倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则 双曲线的标准方程为( A. ) B. x2 y 2 ? =1 4 4 y 2 x2 ? =1 4 8 y 2 x2 ? =1 4 4 x2 y 2 ? =1 8 4 ) C. D. 3.过点(2,-2)且与 x2 ? y 2 =1 有公共渐近线的双曲线方程为( 2 x2 y 2 ? =1 B. 4 2 D. x2 y 2 ? =1 A. ? 4 2 C. ? x2 y 2 ? =1 2 4 x2 y 2 ? =1 2 4 4.F1,F2 是双曲线 C 的两个焦点,P 是双曲线右支上一点,且△F1PF2 是等腰直角三角 形,则双曲线 C 的离心率为( ) A. 1+ 2 C. 3 ? 2 B. 2+ 2 D. 3+ 2 2 2 2 5.已知双曲线 9y -m x =1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ( ) A.1 C.3 1 ,则 m= 5 B.2 D.4 6.已知双曲线 x2 y2 x2 y 2 ? =1 ? =1的焦点相同,那么双 的离心率为 2 ,焦点与椭圆 a 2 b2 25 9 曲线的焦点坐标为__________;渐近线方程为__________. 7.双曲线 y 2 x2 ? =1 的渐近线方程为__________. 25 16 1 8.若双曲线 x2 y2 ? =1 的离心率为 2,则 k 的值是__________. k ?4 9 9.根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程. (1)过点 P (3, ? 2) ,离心率 e ? 5 ; 2 (2)焦点在 x 轴上,F1,F2 是双曲线的左,右焦点,P 是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°, S?PF1F2 =12 3 ,且离心率为 2. 10.如图所示,已知 F1,F2 为双曲线 x2 y 2 ? =1(a ? 0,b ? 0) 的焦点,过 F2 作垂直于 x a 2 b2 轴的直线交双曲线于点 P,且∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程. 2 参考答案 1. 答案:B 因为双曲线的实轴长,虚轴长,焦距成等差数列,所以 4b=2a+2c,即 a +c=2b,再由 a +b =c 即可求得离心率 e ? 2 2 2 5 . 3 ? a ? 2, ? 2. 答案:B 由方程组 ? 2a ? 2b ? 2 2c, 得 a=2,b=2. ?a 2 ? b2 ? c 2 , ? ∵双曲线的焦点在 y 轴上, ∴双曲线的标准方程为 y 2 x2 ? =1 . 4 4 3. 答案:A 由题意可设双曲线方程为 x2 ? y 2 =k ,又双曲线过点(2,-2),代入即 2 可求得 k,从而求出双曲线方程为 ? x2 y 2 ? =1 . 4 2 4. 答案:A 由△PF1F2 为等腰直角三角形,又|PF1|≠|PF2|,故必有|F1F2|=|PF2|, 即 2c ? b2 2 2 ,从而得 c -2ac-a =0, a 即 e -2e-1=0,解之,得 e ? 1 ? 2 , 2 ∵e>1,∴ e ? 1+ 2 . 5. 答案:D 双曲线 9y -m x =1(m>0),一个顶点 ? 0, ? ,一条渐近线 3y-mx=0, 2 2 2 ? ? 1? 3? 由题意知, 1 3 ?m 2 2 ? 1 ? m ? 4. 5 6. 答案:(±4,0) 3x ? y ? 0 ∵椭圆 x2 y 2 ? =1的焦点坐标为(±4,0), 25 9 ∴双曲线的焦点坐标为(±4,0), ∴c=4, c =2 ,c2=a2+b2,∴a=2,b2=12, a x2 y 2 ? =1 , ∴双曲线方程为 4 12 ∴渐近线方程为 y ? ? b x ? ? 3 x ,即 3x ? y ? 0 . a 3 7. 答案: y ? ? 5 x 4 利用公式 y ? ? a 5 x 可得渐近线方程为 y ? ? x . b 4 8. 答案:-31 利用双曲线的定义及离心率公式即可求得 k=-31. 9. 答案: 解: (1)若双曲线的焦点在 x 轴上, 设 ① x2 y2 c2 5 5 ? =1 ? . 为所求. 由 , 得 e ? a 2 b2 a2 4 2 9 2 ? 2 =1 .② 2 a b 1 2 2 2 2 2 又 a +b =c ,由①②得 a =1, b ? . 4 由点 P (3, ? 2) 在双曲线上,得 若双曲线的焦点在 y 轴上,设 2 9 y 2 x2 c2 5 ? =1 ? , 2 ? 2 =1 ,a2+ 为所求.同理有 2 2 2 a b a 4 a b b2=c2.解之,得 b 2 ? ? 17 y2 2 =1 . (舍去).故所求双曲线的标准方程为 x ? 1 2 4 c x2 y2 (2)设双曲线的标准方程为 2 ? 2 =1 ,因|F1F2|=2c,而 e= =2 ,由双曲线的定义, a a b 得||PF1|-|PF2||=2a=c. 2 2 2 2 由余弦定理,得(2c) =|PF1| +|PF2| -2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=(|PF1|-|PF2|) + 2 2 2|PF1|·|PF2|·(1-cos 60°),∴4c =c +|PF1|·|PF2|. 又∵ S ?PF1F2 ? 1 PF1 ? PF2 ? sin 60?=12 3 , 2 ∴|PF1|·|PF2|=48. 2 2 2 2 ∴3c =48,c =16,由此得 a =4,b =12. x2 y 2 ? =1 . 故所求双曲线的标准方程为 4 12 10

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