2017版高考数学人教版(鲁、京、津专版理)一轮复习课件第三章 导数及其应用 3.2.1_图文

§3.2 导数的应用 课时1 导数与函数的单调性 内容 索引 题型一 不含参数的函数的单调性 题型二 含参数的函数的单调性 题型三 利用函数单调性求参数 思想与方法系列 思想方法 感悟提高 练出高分 题型一 不含参数的函数的 单调性 例1 求函数 f(x)=ln x 的单调区间. x 函数f(x)的定义域为(0,+∞). 1-ln x ln x 因为 f(x)= x ,所以 f′(x)= x2 . 解 当f ′(x)>0,即0<x<e时,函数f(x)单调递增; 当f ′(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减. 故函数f(x)的单调递增区间为(0,e), 单调递减区间为(e,+∞). 思维升华 解析答案 跟踪训练1 1 2 函数 y= x -ln x 的单调递减区间为( B ) 2 A.(-1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) 解析 1 2 y= x -ln x, 2 D.(0,+∞) 2 x -1 ?x-1??x+1? 1 y′=x- = = (x>0). x x x 令y′≤0,得0<x≤1,∴递减区间为(0,1]. 解析答案 返回 题型二 含参数的函数的 单调性 例2 已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0). (1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求a的值; 函数f(x)的定义域为R. ex 由已知得 f′(x)= x -a. e +1 解 ∵函数y=f(x)的导函数是奇函数, ∴f ′(-x)=-f ′(x), e-x ex 1 即 -x -a=- x +a,解得 a= . 2 e +1 e +1 解析答案 (2)求函数y=f(x)的单调区间. 思维升华 解析答案 跟踪训练2 讨论函数f(x)=(a-1)ln x+ax2+1的单调性. 解析答案 返回 题型三 利用函数单调性 求参数 例3 1 3 a 2 设函数 f(x)= x - x +bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方 3 2 程为 y=1. (1)求b,c的值; 解 f′(x)=x2-ax+b, ? ?f?0?=1, 由题意得? ? ?f′?0?=0, ? ?c=1, 即? ? ?b=0. 解析答案 (2)若a>0,求函数f(x)的单调区间; 解 由(1)得,f′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0), 当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0; 当x∈(0,a)时,f′(x)<0; 当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减 区间为(0,a). 解析答案 (3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间, 求实数a的取值范围. 解 g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在x∈(-2,-1), 使不等式g′(x)=x2-ax+2<0成立, 2 即 x∈(-2,-1)时,a<(x+x)max=-2 2, 2 当且仅当 x=x 即 x=- 2时等号成立. 所以满足要求的 a 的取值范围是(-∞,-2 2). 解析答案 引申探究:在本例3(3)中, 1.若g(x)在(-2,-1)内为减函数,如何求解? 解析答案 2.若g(x)的单调减区间为(-2,-1),求a的值. 解 ∵g(x)的单调减区间为(-2,-1), ∴x1=-2,x2=-1是g′(x)=0的两个根, ∴(-2)+(-1)=a,即a=-3. 解析答案 3.若g(x)在(-2,-1)上不单调,求a的取值范围. 思维升华 解析答案 跟踪训练3 已知函数f(x)=exln x-aex(a∈R). 1 (1)若 f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 y=ex+1 垂直,求 a 的值; 1 x x 1 x x 解 f′(x)=e ln x+e · - a e = ( - a + ln x )e , x x 1 f′(1)=(1-a)e,由(1-a)e· =- 1 ,得 a = 2. e 解析答案 返回 (2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围. 解析答案 返回 思想与方法系列 思想与方法系列 5.分类讨论思想研究函数的单调性 典例 已知函数f(x)=ln x, g(x)=f(x) +ax2 +bx,其中函数g(x) 的图象在点 (1,g(1)) 处的切线平行 于x轴. (1)确定a与b的关系; (2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性. 思维点拨 依据g(x)的切线条件可得g′(1)=0得a,b关系,代g(x)后 消去b,对a进行分类讨论确定g′(x)的符号. 思维点拨 温馨提醒 解析答案 返回 思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.已知函数解析式求单调区间,实质上是求 f′(x)>0 , f′(x)<0 的解区 间,并注意定义域. 2.含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单 调性. 3.已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转 化为恒成立问题两种思路解决. 失误与防范 1.f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b) 内的任一非空子区间上 f′(x) 不恒为零,应注意此时式子中的等号不能 省略,否则漏解. 2.注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为 (a,b)”的区别. 3.讨论函数单调性要在定义域内进行,不要忽略函数的间断点. 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( D ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) 解析 D.(2,+∞) 函数f(x)=(x-3

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