高中数学第四章导数及其应用4-3导数在研究函数中的应用4-3-3三次函数的性质:单调区间和极值分层训练湘教版

this course w ill help you ga in the ideas , know ledge and skills you need to w rite fundrais ing copy that produces more impressive and pro fita ble results. 4.3.3 三次函数的性质:单调区间和极值 一、基础达标 1.函数 y=f(x)在[a,b]上 ( A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值 答案 D 解析 由函数的最值与极值的概念可知,y=f(x)在[a,b]上的最大值一定大于极小值. 2.函数 y=xe ,x∈[0,4]的最大值是 ( A.0 答案 B 解析 y′=e -x·e =e (1-x),令 y′=0,∴x=1, 4 1 -1 ∴f(0)=0,f(4)= 4,f(1)=e = ,∴f(1)为最大值,故选 B. e e ln x 3.函数 y= 的最大值为 -x -x -x -x ) ) 1 B. e 4 C. 4 e D. 2 2 e x ( A.e -1 ) B.e C.e 2 10 D. 3 答案 A 解析 令 y′= x x-ln x·x′ 1-ln x = =0.(x>0) x2 x2 解得 x=e.当 x>e 时,y′<0;当 0<x<e 时,y′>0. y 极大值=f(e)= ,在定义域(0,+∞)内只有一个极值, 1 所以 ymax= . e 4.函数 y= 4x 在定义域内 x +1 2 1 e ( ) 1 this course w ill help you ga in the ideas , know ledge and skills you need to w rite fundrais ing copy that produces more impressive and pro fita ble results. A.有最大值 2,无最小值 C.有最大值 2,最小值-2 答案 C 解析 令 y′= B.无最大值,有最小值-2 D.无最值 x2+ -4x·2x -4x2+4 = 2 =0, x2+ 2 x+ 2 得 x=±1.当 x 变化时,y′,y 随 x 的变化如下表: x y′ y (-∞,-1) - -1 0 极小值 (-1,1) + 1 0 极大值 (1,+∞) - 由上表可知 x=-1 时,y 取极小值也是最小值-2;x=1 时,y 取极大值也是最大值 2. 5.已知函数 f(x)=e -2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,2ln 2-2] 解析 函数 f(x)=e -2x+a 有零点,即方程 e -2x+a=0 有实根,即函数 x x x g(x)=2x-ex,y=a 有交点,而 g′(x)=2-ex,易知函数 g(x)=2x-ex 在 (-∞,ln 2)上递增,在(ln 2,+∞)上递减,因而 g(x)=2x-e 的值域为 (-∞,2ln 2-2],所以要使函数 g(x)=2x-e ,y=a 有交点,只需 x x a≤2ln 2-2 即可. ? π? 6.函数 y=x+2cos x 在区间?0, ?上的最大值是________. 2? ? 答案 π + 3 6 π π π π 解析 y′=1-2sin x=0,x= ,比较 0, , 处的函数值,得 ymax= + 3. 6 6 2 6 7.已知函数 f(x)=2x -6x +a 在[-2,2]上有最小值-37,求 a 的值及 f(x)在 [-2,2]上的最大值. 解 3 2 f′(x)=6x2-12x=6x(x-2), 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) -2 (-2,0) + 0 0 极大值 a (0,2) - 2 0 -8+a -40+a ∴当 x=-2 时,f(x)min=-40+a=-37,得 a=3. 当 x=0 时,f(x)的最大值为 3. 2 this course w ill help you ga in the ideas , know ledge and skills you need to w rite fundrais ing copy that produces more impressive and pro fita ble results. 二、能力提升 8.设直线 x=t 与函数 f(x)=x ,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小 时 t 的值为 ( A.1 答案 D 解析 由题意画出函数图象如图所示,由图可以看出|MN|=y=t -ln t(t>0). 2?? 2? ? 2?t+ ??t- ? 2 2 ?? 2? 1 2t -1 ? y′=2t- = = . 2 2 ) 1 B. 2 C. 5 2 D. 2 2 t t t 当 0<t< 当 t> 2 2? ? 时,y′<0,可知 y 在?0, ?上单调递减; 2 2? ? 2 ? 2 ? 时,y′>0,可知 y 在? ,+∞?上单调递增. 2 2 ? ? 2 时,|MN|有最小值. 2 3 2 故当 t= 9.(2014·湖北重点中学检测)已知函数 f(x)=x -tx +3x,若对于任意的 a∈[1,2],b∈ (2,3],函数 f(x)在区间[a,b]上单调递减,则实数 t 的取值范围是 ( A.(-∞,3] 答案 D 解析 ∵f(x)=x -tx +3x,∴f′(x)=3x -2tx+3,由于函数 f(x)在(a,b)上单调 2 3 2 2 ) B.(-∞,5] C.[3,+∞) D.[5,+

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