第11课时导数与函数的单调性

第 11 课时 导数与函数的单调性、极值学案 一、学习目标: 1.知道函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间. 2.知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值,会 求闭区间上函数的最大值、最小值.会利用导数解决某些实际问题. 二、学习过程: 1.基础自测 (1)函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则实数 a 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)函数 f(x)=x2-2lnx 的单调减区间是( A.(0,1) B.(1,+∞) ) C.(-∞,1) D.(-1,1)

(3)已知 a>0,函数 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是单调递增函数,则 a 的取值范围是 ________. . (4)函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值. 2.尝试学习 (1)(2011· 高考天津卷节选)已知函数 f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中 t∈R.,当 t =1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;当 t≠0 时,求 f(x)的单调区间.

(2)(2012 年高考新课标全国卷理科 21)
x ?1 已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e ? f (0) x ?

1 2 x ;求 f ( x) 的解 析式及单调区间; 2

1

3.巩固练习: (1)已知 f(x)=ex-ax-1.求 f(x)的单调增区间;若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范 围.

(2)(2012 年高考北京卷理科 18)(本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1? a ? 0? ,
2

g ( x) ? x3 ? bx .若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 ?1,c ? 处具有公共切线,求

a , b 的值;当 a2 ? 4b 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间,并求其在区间 ? ??, ?1? 上的
最大值.

4.总结反思: (1)函数的单调区间、极值、最值定义域优先的原则, (2) f′(x)>0(或 f′(x)<0)” “ 是 “函数 f(x)在某一区间上为增函数(或减函数)” 的充分不必要条件; f′(x0)=0” “函 “ 是 数 f(x)在 x=x0 处取得极值”的必要不充分条件.解体后需验证。函数的单调区间、极值、 最值时,由字母需分类讨论。 (2)由函数的单调性求参数的取值范围,这类问题一般已知 f(x)在区间 I 上单调递增(递 减),等价于不等式 f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间 I 上恒成立,然后可借助分离参数等方法 求出参数的取值范围. 三、当堂检测 1 1.已知函数 f(x)=x+lnx.求函数 f(x)的极值和单调区间.

2.(2012 年高考陕西卷理科 7)设函数 f ( x) ? xe ,则(
x



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(A) x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点 (C) x ? ?1 为 f ( x ) 的极大 值点 四、作业:课时闯关(今晚交)

(B) x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点 (D) x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点 .

2

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