2018版高中数学第一章计数原理第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用课件新人教B版选修2_3_图文

目标导航 能根据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计 数原理解决一些简单的实际问题. 1 新知识· 预习探究 知识点一 分类加法原理与分步乘法计数原理的共同点与不同 点 1.共同点是,它们都是研究完成一件事情共有多少种不同的方 法. 2.不同点是,它们研究完成一件事情的方式不同,加法原理 是“分类完成”,即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件 事.乘法原理是“分步完成”,即这些方法需要分步,各个步骤顺 次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情. 知识点二 分类加法原理与分步乘法计数原理的选择 1.完成一件事情有 n 类办法,若每一类办法中的任何一种方法 均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用 分类加法原理. 2.完成一件事情有 n 个步骤,若每一步的任何一种方法只能 完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这 n 步后, 才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用分步乘法计数原 理. 3.正确区分完成一件事情是分类还是分步. 2 新视点· 名师博客 类型一 选(抽)取与分配问题 【例 1】 (1)8 本不同的书,任选了 3 本分给 3 个同学,每人 1 本,有多少种不同的分法? (2)将 4 封信投入 3 个邮筒,有多少种不同的投法? (3)3 位旅客到 4 个旅馆住宿,有多少种不同的住宿方法? 解析:(1)分三步,每位同学取书一本,第1,2,3个同学分别有 8,7,6种取法,因而由分步乘法计数原理,不同分法共有N= 8×7×6=336(种). (2)完成这件事情可以分作四步,第一步投第一封信,可以在3 个邮筒中任选一个,因此有3种投法;第二步投第二封信,同样有 3种投法;第三步投第三封信,也同样有3种投法;第四步,投第 四封信,仍然有3种投法.由分步乘法计数原理,可得出不同的投 法共有N=3×3×3×3=81(种). (3)分三步,每位旅客都有4种不同的住宿方法,因而不同的方 法共有N=4×4×4=64(种). 点评 应用两个计数原理解题的注意点:在运用分类加法计数原理和 分步乘法计原理解决一些简单的实际问题时,首先必须认清是“分 类 ” 还是 “ 分步 ” ,其次要搞清 “ 分类 ” 或 “ 分步 ” 的标准是什 么,选择合理简捷的标准处理事件,可以避免计数的重复或遗漏. 变式训练 1 (1)4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每 人报一项,共有多少种报名方法? (2)4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,共有多少种可能 的结果? 解析: (1) 要完成的是 “4 名同学每人从三个项目中选一项报 名”这件事,因为每人必报一项,四人都报完才算完成,于是按人 分步,且分为四步,又每人可在三项中选一项,选法为 3 种,所以 共有 3×3×3×3=81 种报名方法. (2)完成的是“三个项目冠军的获取”这件事, 因为每项冠军只 能有一人获得, 三项冠军都有得主, 这件事才算完成, 于是应以“确 定三项冠军得主 ” 为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一 人,有 4 种可能情况,于是共有 4×4×4=64 种可能的情况. 类型二 组数问题 【例 2】 用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的比 2 000 大的 4 位偶数? 解析:法一:按末位是 0,2,4 分为三类: 第一类:末位是 0 的有 4×4×3=48(个); 第二类:末位是 2 的有 3×4×3=36(个); 第三类:末位是 4 的有 3×4×3=36(个). 则由分类计数原理有 N=48+36+36=120(个). 法二:按千位是 2,3,4,5 分四类: 第一类:千位是 2 的有 2×4×3=24(个); 第二类:千位是 3 的有 3×4×3=36(个); 第三类:千位是 4 的有 2×4×3=24(个); 第四类:千位是 5 的有 3×4×3=36(个). 则由分类计数原理有 N=24+36+24+36=120(个). 法三:间接法. 用 0,1,2,3,4,5 可以组成的无重复数字的四位偶数分两类: 第一类:末位是 0 的有 5×4×3=60(个); 第二类:末位是 2 或 4 的有 2×4×4×3=96(个). 共有 60+96=156(个). 其中比 2 000 小的有: 千位是 1 的共有 3×4×3=36(个). 所以符合条件的四位偶数共有 156-36=120(个). 点评 对于组数问题的计数,一般按特殊位置 (末位或首位)由谁占领 分类,每类中再分步来计数;但当分类较多时,可用间接法先求出 总数,再减去不符合条件的数去计数. 变式训练 2 用 0,1,2,3,4 这五个数字可以组成多少个无重复数 字的:(1)四位密码?(2)四位数?(3)四位奇数? (1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事,可以分为四 步:第一步:选取左边第一个位置上的数字,有 5 种选取方法;第 二步:选取左边第二个位置上的数字,有 4 种选取方法;第三步: 选取左边第三个位置上的数字,有 3 种选取方法;第四步:选取左 边第四个位置上的数字,有 2 种选取方法.由分步乘法计数原理, 可以组成不同的四位密码共有 N=5×4×3×2=120(个). (2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事,可以分四步: 第一步:从 1,2,3,4 中选取一个数字作千位数字,有 4 种不同的 选取方法; 第二步: 从 1,2,3,4 中剩余的三个数字和 0 共四个数字中选取一 个数字作百位数字,有 4 种不同的选取方法; 第三步:从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字,有 3 种不同的选取方法; 第四步:从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字,有 2 种不同的选取方法. 由分步乘法计数原理,可以组成不同的四位数共有 N= 4×4×3×2=96(个). (3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步: 第一步定个位,只能从 1,3 中

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