2019高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换学案新人教A版必修4

3.2 简单的三角恒等变换 学习目标: 1.能用二倍角公式导出半角公式, 体会其中的三角恒等变换的基本思想方法, 以及进行简单的应用.(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的 基本思想方法, 能利用三角恒等变换对三角函数式化简、 求值以及三角恒等式的证明和一些 简单的应用.(难点、易错点) [自 主 预 习·探 新 知] 半角公式 α (1)sin =± 2 α (2)cos =± 2 α (3)tan =± 2 1-cos α , 2 1+cos α , 2 1-cos α , 1+cos α α α α sin sin ·2cos 2 2 2 α sin α (4)tan = = = , 2 α α α 1+cos α cos cos ·2cos 2 2 2 α α α sin sin ·2sin 2 2 2 1-cos α α tan = = = . 2 α α α sin α cos cos ·2sin 2 2 2 [基础自测] 1.思考辨析 (1)cos α = 2 1+cos α .( 2 ) ) ) ) (2)存在 α ∈R,使得 cos (3)对于任意 α ∈R,sin α 1 = cos α .( 2 2 α 1 = sin α 都不成立.( 2 2 α = 2 1-cos α .( 1+cos α (4)若 α 是第一象限角,则 tan [解析] (1)×.只有当- α = 2 π α π +2kπ ≤ ≤ +2kπ (k∈Z),即-π +4kπ ≤α ≤π + 2 2 2 4kπ (k∈Z)时,cos 1+cos α . 2 (2)√.当 cos α =- 3+1 时,上式成立,但一般情况下不成立. (3)×.当 α =2kπ (k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立. 1 α α (4)√.若 α 是第一象限角, 则 是第一、 三象限角, 此时 tan = 2 2 [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ α 2.已知 180°<α <360°,则 cos 的值等于( 2 A.- C.- C 1-cos α 2 1+cos α 2 B. D. ) 1-cos α 成立. 1+cos α 1-cos α 2 1+cos α 2 α [∵180°<α <360°,∴90°< <180°, 2 2 又 cos α 1+cos α = ,∴cos α =- 2 2 1+cos α .] 2 3 θ 3.已知 2π <θ <4π ,且 sin θ =- ,cos θ <0,则 tan 的值等于________. 5 2 -3 3 4 [由 sin θ =- ,cos θ <0 得 cos θ =- , 5 5 θ θ θ sin 2sin cos 2 2 2 θ sin θ ∴tan = = = 2 θ θ 1 + cos θ 2 cos 2cos 2 2 3 - 5 = =-3.] ? 4? 1+?- ? ? 5? [合 作 探 究·攻 重 难] 化简求值问题 θ θ (1)设 5π <θ <6π ,cos =a,则 sin 等于( 2 4 ) A. 1+a 2 1+a 2 B. 1-a 2 1-a 2 C.- D.- 3π (2)已知 π <α < ,化简: 2 1+sin α 1+cos α - 1-cos α + 1-sin α 1+cos α + 1-cos α . 【导学号:84352339】 2 θ 1-cos 2 θ 2θ [思路探究] (1)先确定 的范围,再由 sin = 得算式求值. 4 4 2 (2)1+cos θ =2cos (1)D 2 α α 2α ,1-cos α =2sin ,去根号,确定 的范围,化简. 2 2 2 θ ?5π ? θ ?5π ,3π ?. [(1)∵5π <θ <6π ,∴ ∈? ,3π ?, ∈? ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ? 4 θ 又 cos =a, 2 θ 1-cos 2 =- 2 θ ∴sin =- 4 1-a . 2 ?sinα +cosα ?2 ?sinα -cosα ?2 ? ? ? ? 2 2 2 2? ? ? ? (2)原式= + . α ? α ? α ? α ? ? ? ? ? 2?cos ?- 2?sin ? 2?cos ?+ 2?sin ? 2? 2? 2? 2? ? ? ? ? 3π π α 3π α α ∵π <α < ,∴ < < ,∴cos <0,sin >0, 2 2 2 4 2 2 ?sinα +cosα ?2 ? ? 2 2? ? ∴原式= + α α ? ? - 2?sin +cos ? 2 2? ? ?sinα -cosα ?2 ? ? 2 2? ? α ? ? α 2?sin -cos ? 2 2? ? α α α α sin +cos sin -cos 2 2 2 2 α =- + =- 2cos .] 2 2 2 [规律方法] 1.化简问题中的“三变” (1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之 间的差异,合理选择联系它们的公式. (2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切. (3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、 开方等. 2.利用半角公式求值的思路 (1)看角:看已知角与待求角的 2 倍关系. (2)明范围:求出相应半角的范围为定符号作准备. α sin α 1-cos α (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用 tan = = ,涉及半 2 1+cos α sin α 角公式的正、余弦值时,常利用 sin (4)下结论:结合(2)求值. 3 2 α 1-cos α 1+cos α 2α = ,cos = 计算. 2 2 2 2 α 提醒:已

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