【步步高】(浙江专用)2017年高考数学 专题九 复数与导数 第74练 函数的极值与最值练习

【步步高】 (浙江专用)2017 年高考数学 专题九 复数与导数 第 74 练 函数的极值与最值练习
训练目标 训练题型 (1)函数极值、最值的概念、求法;(2)函数极值、最值的应用. (1)求函数的极值;(2)求函数的最值;(3)恒成立的问题;(4)零点问题. (1)f′(x)=0 是函数 f(x)存在极值点的必要条件,f(x)的极值可用列表法求 解题策略 解;(2)利用最值研究恒成立问题,可分离参数后构造函数,转化为函数的最值 问题;(3)零点问题可借助于函数的图象解决.

一、选择题 1. “可导函数 y=f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y=f(x)在这点取得极值”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ln x 2.函数 y= 的最大值为( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

x

)

A.

1 2 B.e C.e e

10 D. 3

3.设三次函数 f(x)的导函数为 f′(x),函数 y=x·f′(x)的图象的一部分如图所示,则下 列说法正确的是( )

A.f(x)的极大值为 f( 3),极小值为 f(- 3) B.f(x)的极大值为 f(- 3),极小值为 f( 3) C.f(x)的极大值为 f(-3),极小值为 f(3) D.f(x)的极大值为 f(3),极小值为 f(-3) 4.设函数 g(x)=x(x -1),则 g(x)在区间[0,1]上的最小值为( 2 3 A.-1 B.0 C.- 9 D. 3 3
2

)

1 5.(2015·宜昌模拟)已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax(a> ),当 x 2 ∈(-2,0)时,f(x)的最小值为 1,则 a 的值等于( A. 1 1 B. 4 3 1 C. 2 D.1
3 2

)

6. (2015·河北保定第一中学模拟)已知 f(x)=ax , g(x)=9x +3x-1, 当 x∈[1,2]时, f(x) ≥g(x)恒成立,则 a 的取值范围为( A.a≥11 ) B.a≤11

1

41 C.a≥ 8

41 D.a≤ 8

7.(2015·唐山一模)直线 y=a 分别与曲线 y=2(x+1),y=x+ln x 交于点 A,B,则|AB| 的最小值为( A.3 C. 3 2 4 ) B.2 D. 3 2 )

8.已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,0) C.(0,1) 二、填空题 1 B.(0, ) 2 D.(0,+∞)

9.已知直线 y=a 与函数 y=x -3x 的图象有三个相异的交点,则 a 的取值范围是________. 1 2 10.(2014·温州十校联考)若 f(x)=- x +bln(x+2)在[-1,+∞)上是减函数,则 b 的 2 取值范围是________. 11.已知 f(x)=x +aln x(a∈R).若存在 x∈[1,e],使得 f(x)≤(a+2)x 成立,则实数 a 的取值范围是______. 12.定义在 D 上的函数 f(x),如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M>0,都有|f(x)|≤M 成立, 1 x 则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界,已知函数 f(x)=1+a·( ) + 2 1 x ( ) ,若函数 f(x)在[0,+∞)上是以 3 为上界的有界函数,则实数 a 的取值范围是______. 4
2

3

2

答案解析 1.B [对于 f(x)=x ,f′(x)=3x ,f′(0)=0, 不能推出 f(x)在 x=0 处取极值,反之成立.故选 B.] 1-ln x 2.A [令 y′= =0(x>0),解得 x=e.当 x>e 时,y′<0;当 0<x<e 时,y′>0,所以 2
3 2

x

y 极大值=f(e)= ,在定义域内只有一个极值,所以 ymax= .]
3.D [观察图象知,当 x<-3 时,y=x·f′(x)>0, ∴f′(x)<0;当-3<x<0 时,y=x·f′(x)<0,∴f′(x)>0,∴f(x)的极小值为 f(-3).当 0<x<3 时,y=x·f′(x)>0,∴f′(x)>0;当 x>3 时,y=x·f′(x)<0, ∴f′(x)<0.∴f(x)的极大值为 f(3).] 4.C [g(x)=x -x;g′(x)=3x -1, 令 g′(x)=0,即 3x -1=0, 得 x= 3 3 或 x=- (舍去), 3 3 3 2 3 )=- . 3 9
2 3 2

1 e

1 e

又 g(0)=0,g(1)=0,g(

2 3 所以 g(x)的最小值为- .故选 C.] 9 5.D [由题意知,当 x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 1 1 令 f′(x)= -a=0,得 x= ,

x

a

1 当 0<x< 时,f′(x)>0;

a

1 当 x> 时,f′(x)<0.

a

1 ∴f(x)max=f( )=-ln a-1=-1,解得 a=1.]

a

6.A [f(x)≥g(x)恒成立,即 ax ≥9x +3x-1. 9 3 1 ∵x∈[1,2],∴a≥ + 2- 3.

3

2

x x

x

1 1 2 3 令 =t,则当 t∈[ ,1]时,a≥9t+3t -t . x 2 令 h(t)=9t+3t -t ,h′(t)=9+6t-3t =-3(t-1) +12.
2 3 2 2

3

1 ∴h′(t)在[ ,1]上是增函数. 2 1 3 ∴h′(x)min=h′( )=- +12>0. 2 4 1 ∴h(t)在[ ,1]上是增函数. 2 ∴a≥h(1)=11,故选 A.] 7.D [令 2(x+1)=a,解得 x= -1.设方程 x+ln x=a 的根为 t(x≥0,t>0),即 t+ln t 2 =a,则|AB|=|t- +1|=|t- 2

a

a

t+ln t
2

t ln t t ln t +1|=| - +1|.设 g(t)= - +1(t>0), 2 2 2 2

1 1 t- 1 则 g′(t)= - = ,令 g′(t)=0,得 t=1,当 t∈(0,1)时,g′(t)<0;当 t∈(1, 2 2t 2 t 3 3 3 +∞)时,g′(t)>0,所以 g(t)min=g(1)= ,所以|AB|≥ ,所以|AB|的最小值为 .] 2 2 2 1 8.B [函数 f(x)=x(ln x-ax)(x>0),则 f′(x)=ln x-ax+x( -a)=ln x-2ax+1.令

x

f′(x)=ln x-2ax+1=0,得 ln x=2ax-1.函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,等价
于 f′(x)=ln x-2ax+1 有两个零点,等价于函数 y=ln x 与 y=2ax-1 的图象有两个交 点.在同一个坐标系中作出它们的图象(如图).

1 当 a= 时,直线 y=2ax-1 与 y=ln x 的图象相切, 2 1 由图可知,当 0<a< 时,y=ln x 与 y=2ax-1 的图象有两个交点. 2 1 则实数 a 的取值范围是(0, ).] 2 9.-2<a<2 解析 f′(x)=3x -3. 令 f′(x)=0 可以得到 x=1 或 x=-1, ∵f(1)=-2,f(-1)=2,∴-2<a<2. 10.(-∞,-1] 解析 转化为 f′(x)=-x+
2

b

x+2

≤0 在[-1,+∞)上恒成立,

4

即 b≤x(x+2)在[-1,+∞)上恒成立, 令 g(x)=x(x+2)=(x+1) -1, 所以 g(x)min=-1,则 b 的取值范围是(-∞,-1]. 11.[-1,+∞) 解析 不等式 f(x)≤(a+2)x, 可化为 a(x-ln x)≥x -2x. 因为 x∈[1,e],所以 ln x≤1≤x 且等号不能同时取到, 所以 ln x<x,即 x-ln x>0, 因而 a≥
2 2

x2-2x (x∈[1,e]). x-ln x

x2-2x 令 g(x)= (x∈[1,e]), x-ln x
(x-1)(x+2-2ln x) 又 g′(x)= , 2 (x-ln x) 当 x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0, 从而 g′(x)≥0(仅当 x=1 时取等号), 所以 g(x)在[1,e]上为增函数, 故 g(x)的最小值为 g(1)=-1, 所以 a 的取值范围是[-1,+∞). 12.[-5,1] 解析 由题意知,|f(x)|≤3 在[0,+∞)上恒成立, 即-3≤f(x)≤3, 1 x 1 x x x 所以-4·2 -( ) ≤a≤2·2 -( ) 在[0,+∞)上恒成立, 2 2 1 x 1 x x x 所以[-4·2 -( ) ]max≤a≤[2·2 -( ) ]min. 2 2 1 x 设 2 =t,h(t)=-4t- ,

t

p(t)=2t- , t
由 x∈[0,+∞)得 t≥1. 1 1 因为 h′(t)=-4+ 2,p′(t)=2+ 2.

1

t

t

1 1 又由 2-4<0 知 t> , t 2 故 t≥1 时,h′(t)<0, 所以 h(t)在[1,+∞)上单调递减,又 p(t)在[1,+∞)上单调递增,故 h(t)在[1,+∞)上
5

的最大值为 h(1)=-5, p(t)在[1, +∞)上的最小值为 p(1)=1, 所以实数 a 的取值范围为[- 5,1].

6


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