四川省眉山市高中数学基本初等函数Ⅰ2.1.2指数函数及其性质2课件新人教A版_图文

2.1.2 指数函数及其性质(2)

2、指数函数的图象与性质

y ? ax

a ?1
y

0? a ?1
y

图象

1

1

O

x

O

x

定义域

R

值域

(0,+?)

性 恒过定点(0,1) 即x=0时,恒有y ? a0 ? 1



在R上是增函数 在R上是减函数 当x ? 0时,0 ? y ? 1 当x ? 0时,y>1

当x>0时,y>1 当x>0时,0<y<1

P35【例 2】若函数 y=ax+b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、

四象限,则一定有( )

A.0<a<1,b>0

B.a>1,b>0

C.0<a<1,b<0

D.a<1,b>0

【解析】根据题意画出函数 y=ax+b-1(a>0,且 a≠1)的大致图象,

如图所示.所以 0<a<1,

且 f(0)=1+b-1<0,

即 0<a<1,且 b<0.故选 C.

P36 变式 2.如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx 的 图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系是( ) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c
【解析】作直线 x=1,与四个图象分别交于 A,B,C,D 四点, 由于 x=1 代入各个函数 可得函数值等于底数的大小, 所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,
由图可知 b<a<1<d<C.故选 B.
结论:底大图高(在第一象限部分)

1、求下列函数的定义域

(1) y= 1 ? 2x __(_?__?__,0__]_

(2) y=

1

?

? ??

1 2

? ??

x

_[_0_,_?__?__)__

2、若指数函数f ( x) ? (2a ? 1)x 是R上的减函数,则a的 取值范围是 ( ? 1 ,0) .
2

3、求函数f ( x) ? 3x 在区间[2, 3]上的最值及函数值域.

解:(1) f ( x) ? 3x 在区间[2, 3]上单调递增, ?当x ? 2时,函数有最小值为f ( x)min ? f (2) ? 9,
当x ? 3时,函数有最大值为f ( x)max ? f (3) ? 27.

3、求函数f ( x) ? 3x 在区间[2, 3]上的最值及函数值域.
(2) 函数f ( x) ? 3x 在R上是单调增函数,且2 ? x ? 3, ? 32 ? 3x ? 33,即9 ? 3x ? 27,
?函数值域为[9, 27]. 换元 ? 化为指数函数问题 变式1、函数y ? 3x2?1的值域是 ____________
解:令t ? x2 ? 1,则t ? 1,且y ? 3t (t ? 1), 函数y ? 3t 在R上单调递增, ? 3t ? 31 ? 3,即y ? 3,
?函数y ? 3x2 ?1的值域是[3, ??)
变式2、函数y ? 3x2?1( x ?[?1, 2) )的值域是[_1_,_2_4_3_)_

4、求y ? 9x ? 4? 3x ? 2,x ??1, 2?的值域.

? ? 解:y ? (3x )2 ? 4 ? 3x ? 2 ? 3x ? 2 2 ? 6,x ?[1, 2],

令t ? 3x,

换元 ? 化为二次函数问题

1 ? x ? 2, ?3 ? t ? 9,

设y ? (t ? 2)2 ? 6,t ??3,9?

y ? (t ? 2)2 ? 6在t ??3,9?时是增函数,

?当3 ? t ? 9时,? 5 ? (t ? 1)2 ? 3 ? 43,即? 5 ? y ? 43,

?函数y ? 9x ? 4 ? 3x ? 2( x ?[0,1])的值域是[?5, 43].

变式、求y ? 9x ? 4 ? 3x ? 2的值域.

变式、求y ? 9x ? 4 ? 3x ? 2的值域.
? ? 解:y ? (3x )2 ? 4 ? 3x ? 2 ? 3x ? 2 2 ? 6,
令t ? 3x,则t ? (0, ??),
设y ? (t ? 2)2 ? 6,t ? (0, ??),
y ? (t ? 2)2 ? 6在t ? (0, 2]时是减函数,t ? (2, +?)时是增函数,
?当t ? (0, ??)时,(t ? 1)2 ? 6 ? ?6,即y ? ?6, ?函数y ? 9x ? 4 ? 3x ? 2的值域是[?6, ??).

5、(1)函数y ? a x恒过定点____(0_,_1_)_____ (2)函数y ? a x?2恒过定点____(_2_,_1_)___ (3)函数y ? a x?2 +3恒过定点__(_2_,_4_)_____
a0 ? 1

6、若函数f ( x) ? ax (a ? 0且a ? 1)在区间[1, 2]上的最大值

比最小值大 a ,则a ? ___ . 2
解:(1)若a ? 1,则f ( x) ? a x在区间[1, 2]上是增函数

此时ymin ? f (1) ? a,ymax ? f (2) ? a2

? a2 ? a ? a ,解得a ? 3 或a ? 0(不合,舍去)

2

2

(2)若0 ? a ? 1,则f ( x) ? a x在区间[1, 2]上是减函数

? ymin ? f (2) ? a2,ymax ? f (1) ? a

? a ? a2 ? a ,解得 a ? 1 或a ? 0(不合,舍去).

2

2

综上所述,a ? 1 或a ? 3 .

分类讨论

2

2

例7 比较下列各题中两个值的大小
(1) 1.72.5 和 1.73 ; (2) 0.8–0.1 和 0.8–0.2 ;

(3) 21.5 和 0.53

(4) 1.70.3 和 0.93.1

提示: 1.72.5和1.73可以看成是函数y ? 1.7 x的两个

函数值,故可利用函数单调性比较大小.

解:(1) 底数 1.7>1, ?函数 y ? 1.7 x 在R上是增函数
2.5<3, ? 1.72.5 <1.73

(2) 底数 0.8<1, ?函数 y ? 0.8x 在R上是减函数

?0.1> ? 0.2, ? 0.8?0.1 <0.8?0.2

例7 比较下列各题中两个值的大小

(1) 1.72.5 和 1.73 ; (2) 0.8–0.1 和 0.8–0.2 ;

(3) 21.5 和 0.53

(4) 1.70.3 和 0.93.1

解:(1) 底数 1.7>1, ?函数 y ? 1.7 x 在R上是增函数
2.5<3, ? 1.72.5 <1.73 (2) 底数 0.8<1, ?函数 y ? 0.8x 在R上是减函数
?0.1> ? 0.2, ? 0.8?0.1 <0.8?0.2
指数幂比较大小 1、 同 底 数 不 同 指 数 :利 用 对 应 的 指 数 函 数 的 单 调 性

例7 比较下列各题中两个值的大小
(1) 1.72.5 和 1.73 ; (2) 0.8–0.1 和 0.8–0.2 ;

(3) 21.5 和 0.53

(4) 1.70.3 和 0.93.1

(3) 0.53 ? 2?3
底数2 ? 1,?函数 y ? 2x 在R上是增函数,
?3 ? 1.5, ? 2?3 <21.5,即0.53 <21.5

(4) 函数y ? 1.7x 在R上是增函数,y ? 0.93.1在R上是减函数,

?1.70.3 >1.70 =1, 0.93.1 <0.90 =1 ? 1.70.3 >0.93.1

1=a0

2、不同底数不同指数:

(1)化为同底数幂;(2)借助中间量 (例如:1 即a0 )

补充例1 解不等式 6 x2 ?1 ? 1.
解: 1=60
? 原不等式等价于 6x2?1 ? 60
函数 y ? 6x在R上是增函数
? x2 ? 1 ? 0, 解得 ? 1 ? x ? 1
?原不等式的解集是( ? 1,1)

化成同底 指数幂

利用指数函数 的单调性化成 熟悉的不等式

解不等式

练习1: ( 1 )x2?8 ? 2?2x的解集是 2
解:原不等式可化为 28? x2 ? 2?2 x
底数2 ? 1, ?函数y ? 2x 在R上是增函数
?原不等式等价于 8 ? x2 ? ?2x,即x2 ? 2x ? 8>0 解得 x< ? 2,或x>4 ∴原不等式的解集为 { x | x ? ?2或x ? 4}

法2:化为

? ??

1 2

x2?8
? ??

?

? ??

1 2

2x
? ??

练习2、若a?5x ? ax?7(a ? 0,且a ? 1),求x的取值范围.

解:(1)若a ? 1,

综上所述,

则函数y ? ax在R上是增函数,当a>1时,x的取值范围

a?5x ? ax?7 ??5x>x+7,解得x< ? 7

是( ? ?, ? 7 ) 6

6 当0<a<1时,x的取值范围

(2)若0<a<1,

是( ? 7 ,+?)

则函数y ? a x在R上是减函数, 6

a?5x ? ax?7

??5x<x+7,解得x> ? 7 6

指数函数的应用
例8 截止到1999年底,我国人口约13亿,如果今后, 能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后我 国人口数最多为多少(精确到亿)?
解:设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后 我国人口数为y亿,则
y=13 ? (1+1%)x =13?1.01x (亿)
当x=20时,y=13 ? (1+1%)20 ? 16(亿)
答:经过20年后,我国人口数最多为16亿.
形如f ( x) ? k ? a x (k ? R,且k ? 0;a ? 0,a ? 1)
的函数称为指数型函数.

1、作业本:课本P59 第5题(2)(4) 第7题(3)(4) 第8题(2)(4)
2、《练习册》1.3函数的基本性质及限时规范训练


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