山东省济宁市鱼台一中2013届高三上学期期中考试数学文科

山东省济宁市鱼台一中 2013 届高三上学期期中考试

数学(文)试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
x 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 0 ? 2 ? 1 , B ? x log 3 x ? 0 , 则A ? ? CU B ? ? (

?

?

?

?



A. x x ? 1

?

?

B. x x ? 0

?

?

C. x 0 ? x ? 1

?

?

D. x x ? 0

?

?

2. ? 是第四象限角, tan ? ? ? A.

1 5

5 ,则 sin ? ? ( ) 12 12 5 B. y ? ? C. 13 13


D. ?

5 13

3.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为( A.15 B.16
?

C.49

D.64 )

120 ,则 a 在 b 方向上的投影为( 4.已知 a ? 3, b ? 4, a与b的夹角为
3 2

A.-

B.-

3 3 2

C.-2

D.- 2 3

5.函数 y ? cos x 在点 (

?
6

,

3 ) 处的切线斜率为( 2
3 2
1 4



A. ?

3 2

B.

C. ?

2 2


D. ?

1 2

6.设向量 a ? (cos ? ,2), b ? ( ,1) 且 a // b ,则 cos 2? 等于( A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

1 2


D.

1 2

7.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S13 ?

13 ? ,则 tana7 ? ( 3
C. ?

A.

3 3

B. 3

3 3

D. ? 3

1

8.在等比数列 ?an ? , a3 ? 2, a7 ? 8, 则a5 ? ( A. ?4 B.4

) C. ?4 D.5

9.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2c 2 ? 2a 2 ? 2b2 ? ab ,则△ABC 是( ) A.钝角三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.等边三角形

? 2 x ? y ? 4, ? 10.设 x, y 满足 ? x ? y ? ?1, ? x ? 2 y ? 2, ?
A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最大值

则z ? x? y(



B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

11.将函数 y ? sin x 的图象向左平移 ? ?0 ? ? ? 2? ?个单位后,得到函数 y ? sin( x ? 图象,则 ? 等于( A. ) B.

?
6

)的

? 6

5? 6

C.

7? 6

D.

11? 6

12.已知函数 f ? x ? 是定义域为 R 的偶函数,且 f ? x ? 1? ? ? f ? x ? , 若f ? x ? 在??1,0? 上是 增函数,那么 f ? x ? 在?1,3? 上是( )

A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 二、填空题: (本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.函数 f ( x) ? 2
| x ?1|

的递增区间为

14.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边为 a,b,c,若 a ? 3, b ? 2, B ? 45? ,则角 A= 15. a ? 2 是函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 3 在区间 ?1, 2? 上单调的
2

条件

(在“必要而不充分”,“充分而不必要”, “充要”,“既不充分也不必要”中选择填写) 16.若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 .

2

三、解答题: (本大题共有 6 个小题, 70 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 共 17. (本小题满分 10 分) 已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数 f ( x) ? m ? n. (1)求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间; (2)在△ABC 中 a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, △ABC 的面积 为

3 ,求 a 的值. 2

18. (本小题满分 12 分) 在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,AC=4,CB=2,AA1=2,

A1

E

C1 B1

?ACB ? 60? ,E、F 分别是 A1C1 , BC 的中点。
(1)证明:平面 AEB ? 平面 BB1C1C ; (2)证明: C1 F // 平面 ABE; A F B P

C

(3)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积。

(本小题满分 12 分) 19. △ ABC 中 , D 为 BC 边 上 一 点 , BD ? 33 , sin B ? D.

5 3 , cos ?ADC ? , 求 A 13 5

20. 本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1 , ?a ? R ?.
x

(1)当 a ? 2 时,求 f (x) 的单调区间与最值;

3

(2)若 f (x) 在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 (a, b ? R) (1)若函数 f ( x)在x ? 1 处有极值 10,求 b 的值; (2)若对任意 a ???4, ??? , f ( x)在x ?[0,2] 上单调递增,求 b 的取值范围。

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | , g ( x) ? ? | x ? 3 | ? m . (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 ( a ? R ) ; (2)若函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,求 m 的取值范围.

4

参考答案
1-5 DDAAD 13. ?1 ? ? ? , 6-10 CBBAB 11-12 DC 14. 60? 或120? 15.充分而不必要 16. (-2,2)

17.解: (1)? m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x),

?? ? ? f ( x) ? m ? n ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? 2 ? 2 sin( 2 x ? ) ? 3 6 2? ?T ? ?? 2 ? 2? ] (k ? Z ) f ( x) 的单调减区间为 [k? ? , k? ? 6 3 ? ? 1 (2)由 f ( A) ? 4 得 f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ? 3 ? 4 , sin(2 A ? ) ? 6 6 2 ? 又? A为?ABC的内角 ? A ? 3
? S? ABC ? 3 , b ? 1 ?c ? 2 3
1 ? 3 ?a ? 3 2
0

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ?

18. (1)证明:在 ?ABC 中,∵AC=2BC=4, ?ACB ? 60 ∴ AB ? 2 3
2 2 2 ∴ AB ? BC ? AC ∴ AB ? BC

由已知 AB ? BB1 BB1 ? BC ? B

∴ AB ? 面BB1C1C

故 又∵ AB ? 面ABE, ABE ? 面BB1C1C
, (2)证明:取 AC 的中点 M,连结 C1M , FM 在 ?ABC 中 FM // AB ,
∴ 直线 FM//面 ABE 在矩形 ACC1 A1 中,E、M 都是中点 ∴ C1 M // AE ∴直线 C1 M // 面ABE 又∵ C1 M ? FM ? M 故 C1F // 面AEB (3)在棱 AC 上取中点 G,连结 EG、BG,在 BG 上取中点 O, 连结 PO,则 PO// BB1 , ? 点 P 到面 BB1C1C 的距离等于点 O 到平面 BB1C1C 的距离。 过 O 作 OH//AB 交 BC 与 H,则 OH ? 平面 BB1C1C 在等边 ?BCG 中可知 ∴ 面ABE // 面FMC1

5

CO ? BG,? BO ? 1 在 Rt?BOC 中,可得 OH ?

3 3 ?VP ? B1C1F ? 2 3

3 ? ? 0知B ? 5 2 12 4 ,sin ?ADC ? , 由已知得 cos B ? 13 5
19. 由 cos ?ADC ? 从而 sin ?BAD ? sin(?ADC ? B)

= sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B 4 12 3 5 33 ? ? ? ? ? . 5 13 5 13 65
由正弦定理得

AD BD ? , sin B sin ?BAD
所以 AD ?

BD ? sin B = sin ?BAD

33 ?

5 13 =25 . 33 65

20.解:(1) 当 a ? 2 时, f ( x) ? e x ? 2x ? 1 ,∴ f ?( x) ? e x ? 2 .
x 令 f ?( x) ? 0 ,即 e ? 2 ? 0 ,解得: x ? ln 2 ; x 令 f ?( x) ? 0 ,即 e ? 2 ? 0 ,解得: x ? ln 2 ;

∴ f (x) 在 x ? ln 2 时取得极小值,亦为最小值,即 f (ln 2) ? 1 ? 2 ln 2 . ∴当 a ? 2 时,函数 f (x) 的单调增区间是 ?ln 2,???,递减区间为 ?? ?, ln 2?

f (x) 的最小值为:1 ? 2 ln 2
(2)∵ f ( x) ? e ? ax ? 1 , ∴ f ?( x) ? e ? a . ∵ f (x) 在 R 上单调递增,
x x

∴ f ?( x) ? e ? a ? 0 恒成立,
x
x x 即 a ? e ,x ? R 恒成立. x ? R 时,e ? ?0,??? , a ? 0 . a 的取值范围为 ?? ?,0? . ∵ ∴ 即

21.解: (1) f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? b
2



f (x) 在

x ? 1 处有极值 10



?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ? a?4 解得 ? ? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ?b ? ?11

?a ? ?3 ? ?b?3

6

当 a ? 4, b ? ?11 时, f ' ( x) ? 3x 2 ? 8x ? 11,其中 ? ? 0 ,所以函数有极值点, 当 a ? ?3, b ? 3 时, f ' ( x) ? 3( x ? 1) 2 ? 0 ,所以函数无极值点, ∴ (2)

b 的值为-11

f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ? ?? 4,? ?? , x ? ?0,2? 都成立

则 F (a) ? 2xa ? 3x 2 ? b ? 0 对任意 a ? ?? 4,? ?? , x ? ?0,2? 都成立 ∵ ∴ 即

x?0

∴ F (a ) 在 a ? ?? 4,? ?? 上单调递增或为常函数

F (a) min = F (?4) ? ?8x ? 3x 2 ? b ? 0 对任意 x ? ?0,2? 恒成立
4 16 16 ? b ? (?3x 2 ? 8x) max ,又 ? 3x 2 ? 8 x ? ?3( x ? ) 2 ? 3 3 3 x? 4 3
时取得最大值 ……(11 分) ∴ b 的取值范围 ?



?16 ? ,? ? ? ?3 ?

另解(2) f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ? ?? 4,? ?? , x ? ?0,2? 都成立
2 即 b ? ?3x ? 2ax 对任意 a ? ?? 4,? ?? , x ? ?0,2? 都成立,即 b ? (?3x 2 ? 2ax) max

令 F ( x) ? ?3x ? 2ax ? ?3( x ?
2

a 2 a2 ) ? 当 a ? 0 时 F ( x) max ? F (0) ? 0 ,∴ b ? 0 3 3

当- 4 ? a ? 0 时, F ( x) max ?

a2 a2 a2 16 16 ∴b ? …(10 分)又 ( ) max ? ∴b ? 3 3 3 3 3

综上可知 b 的取值范围是 ?

?16 ? , ?? ? ?3 ?

22.解: (1)不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 即为 | x ? 2 | ?a ? 1 ? 0 , 当 a ? 1 时,解集为 x ? 2 , 即 (??, 2) ? (2, ??) ; 当 a ? 1 时,解集为全体实数 R ; 当 a ? 1 时,解集为 (??, a ? 1) ? (3 ? a, ??) (2) f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方, 即为 | x ? 2 |? ? | x ? 3 | ?m 对任意实数 x 恒成立, 即 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? m 恒成立,
7

又对任意实数 x 恒有 | x ? 2 | ? | x ? 3 |≥| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 ,于是得 m ? 5 , 即 m 的取值范围是 (??,5)

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