导与练重点班2017届高三数学一轮复习第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直课时训练理


第7节

立体几何中的向量方法 证明平行和垂直

第一课时
【选题明细表】 知识点、方法

题号 1,4 2,3

利用向量解决平行问题 利用向量解决垂直问题

1.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,E,F,G 分别为 AB,AD,AA1 的中点,求证:平面 EFG∥平面 B1CD1. 证明:建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),

D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),D1(0,0,1).得 E(1,,0),F(,0,0),G(1,0, ), =(-,-,0), =(0,-, ).

设 n1=(x1,y1,z1)为平面 EFG 的法向量, 设 n2=(x2,y2,z2)为平面 B1CD1 的法向量. 则

即 令 x1=1,可得 y1=-1,z1=-1, 同理可得 x2=1,y2=-1,z2=-1. 即 n1=(1,-1,-1),n2=(1,-1,-1). 由 n1=n2,得平面 EFG∥平面 B1CD1. 2.平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,所有棱长都为 2. (1)求对角线 AC1 的长. (2)求证:AC1⊥平面 A1BD. (1)解:以 , , 为基底,则 = + + ,

两边平方得

=

+

+

+2

·

+2

·

+2

·

=2 +2 +2 +2×2×2×+

2

2

2

1

2×2×2×+2×2×2×=24, 所以| |=2 ,即 AC1 的长为 2 .

(2)证明:

=

+

+

,

=

-

,

所以

·

=(

+

+

)·(

-

)

=

·

+
2

+

·
2

-

-

·

-

·

=2×2×+2 +2×2×-2 -2×2×-2×2×=0, 所以 ⊥ ,同理 ⊥ ,

即 AC1⊥BD,AC1⊥BA1,又 BD∩BA1=B, 所以 AC1⊥平面 A1BD. 3.(2016 安阳模拟)在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,E,F 分别为棱 AD,PB 的中点,且 PD=AD.求证:平面 CEF⊥平面 PBC. 证明:建立如图所示的空间直角坐标系,设 A(1,0,0),

则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),E(,0,0),F(,,), 设平面 CEF 的一个法向量为 n1=(x,y,z). 则

得 取 x=1,则 n1=(1,,- ), 同理,求得平面 PBC 的一个法向量为 n2=(0,, ). 因为 n1·n2=1×0+×-×=0, 所以 n1⊥n2. 所以平面 CEF⊥平面 PBC. 4.(2016 四平模拟)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F,G 分别为 A1B1,B1C1,C1D1 的 中点.

2

(1)求证:AG∥平面 BEF; (2)试在棱 BB1 上找一点 M,使 DM⊥平面 BEF,并证明你的结论.

(1)证明:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,,1),F(,1,1),G(0,,1), =(-,,0), =(-, 0,1),



=(-1,,1),

所以

=

+

,



与平面 BEF 共面,

又因为 AG 不在平面 BEF 内, 所以 AG∥平面 BEF. (2)解:设 M(1,1,m),则 =(1,1,m),



·

=0,

·

=0,

所以-+m=0? m=, 所以 M 为棱 BB1 的中点时,DM⊥平面 BEF.

3


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