高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第4章 第5节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

第四章 第五节 一、选择题 π 1.函数 y=cos(2x- )的部分图像可能是( 3 ) [答案] D π π π [解析] ∵y=cos(2x- ),∴当 2x- =0,即 x= 时,函数取得最大值 1,结合图像看, 3 3 6 π 可使函数在 x= 时取得最大值的只有 D. 6 2.函数 f(x)=sinxcosx+ A.π,1 C.2π,1 [答案] A [解析] 本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质. 1 3 π f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ),周期 T=π,振幅为 1,故选 A. 2 2 3 3.(2014· 浙江高考)为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图像,可以将函数 y= 2sin3x 的图 像( ) π A.向右平移 个单位 4 π C.向右平移 个单位 12 [答案] D π [解析] 本题考查三角函数图像变换.y=sin3x+cos3x= 2sin(3x+ ),只需将函数 y= 2 4 π sin3x 的图像向左平移 个单位,选 D. 12 π 4.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的部分图像如图所示,则( 2 ) π B.向左平移 个单位 4 π D.向左平移 个单位 12 3 cos2x 的最小正周期和振幅分别是( 2 B.π,2 D.2π,2 ) π A.ω=1,φ= 6 π B.ω=1,φ=- 6 π C.ω=2,φ= 6 π D.ω=2,φ=- 6 [答案] D T 7 π π [解析] 由图可知 = π- = ,T=π, 4 12 3 4 即 2π π π π π 2π π =π,∴ω=2,又因为图像向右平移了 - = ,∴φ=- .(或利用 +φ= 解也可) ω 2 3 6 6 3 2 5.已知函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图像与直线 y=2 的交点的横坐标为 x1、 x2,若|x1-x2|的最小值为 π,则( π A.ω=2,θ= 2 1 π C.ω= ,θ= 2 4 [答案] A [解析] y=2sin(ωx+θ)为偶函数且 0<θ<π, ) 1 π B.ω= ,θ= 2 2 π D.ω=2,θ= 4 π 所以 θ= ,y=2cosωx, 2 ∴y∈[-2,2].又∵|x1-x2|min=π, 2π 故 y=2 与 y=2cosωx 的交点为最高点, 于是最小正周期为 π.即 =π, 所以 ω=2.故选 A. ω 6.(文)如图,在某点给单摆一个作用力后它开始来回摆动,离开平 π 2πt+ ?,单摆 衡位置 O 的距离 s(m/s)和时间 t(s)的函数关系为 s=6sin? 6? ? 摆动时,从最右边到最左边的距离为( A.6 3 C .3 [答案] A π? 2π [解析] ∵s=6sin? ?2πt+6?,∴T= ω =1, T 1 从最左边到平衡位置 O 需要的时间为 = s, 4 4 1 π? 由 6sin? ?2π×4+6?=3 3, 得从最右边到最左边的距离为 6 3. ) B.3 3 D.6 (理)车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,上班高峰某十字路口的车流量由 t 函数 F(t)=50+4sin (0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t 的单位是分,则下列哪个时间段内 2 车流量是增加的( A.[0,5] C.[10,15] [答案] C 2π [解析] F(t)的周期为 T= =4π, 1 2 π t π 当 2kπ- ≤ ≤2kπ+ ,k∈Z 时递增, 2 2 2 即增区间是[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z,又 0≤t≤20, 故函数 F(t)在[0,π]和[3π,5π]上递增,故选 C. 二、填空题 π π 7.(2014· 重庆高考)将函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,- ≤φ< )图像上每一点的横坐标缩短 2 2 π π 为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度得到 y=sinx 的图像,则 f( )=________. 6 6 [答案] 2 2 ) B.[5,10] D.[15,20] [解析] 此题考查三角函数图像变换. 1 π ∴ω= ,φ= 2 6 1 π π π 2 ∴f(x)=sin( x+ ),∴f( )=sin = . 2 6 6 4 2 π π 8.若将函数 y=2sin(3x+φ)的图像向右平移 个单位后得到图像关于点( ,0)对称,则|φ| 4 3 的最小值是________. [答案] [解析] π 4 π π 将函数 y=2sin(3x+φ)的图像向右平移 个单位后得到 2sin[3(x- )+φ]=2sin(3x 4 4 3π - +φ)的图像. 4 π 因为该函数的图像关于点( ,0)对称, 3 π 3π π 所以 2sin(3× - +φ)=2sin( +φ)=0, 3 4 4 π 故有 +φ=kπ(k∈Z). 4 π π 解得 φ=kπ- (k∈Z).当 k=0 时,|φ|取得最小值 . 4 4 9.(2014· 北京高考)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x)在区 π π π 2π π 间[ , ]上具有单调性,且 f( )=f( )=-f( ),则 f(x)的最小正周期为________. 6 2 2 3 6 [答案] π [解析] 本题考查了正弦型函数的单调性对称性以及周期的概念. π π π π π π 2 由 f(x)在区间[ , ]上具有单调性,且 f( )=-f( )知,f(x)有对称中心( ,0),由 f( )=f( π) 6 2 2 6 3 2 3 1 π 2π 7π 1 π π 2π 7π π T 知 f(x)有对称轴 x= ( + )= ,记 T 为最小正周期,则 T≥ - ?T≥ ,从而 - = ? 22 3 12 2 2 6 3 12 3 4 T=π. 三、解答题 π 1

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