北京市西城区2010届高三第一次模拟考试数学理科试题(word版)

北京市西城区 2010 年抽样测试 高三数学试卷(理科)
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 5 页,共 150 分。考试时 长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和 答题纸一并交回。

第 I 卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项。 1.设集合 P ? {x | x ? 1} , Q ? {x | x2 ? x ? 0} ,则下列结论正确的是 A. P ? Q C. P ? Q B. P ? Q ? R D. Q ? P

2.函数 y ? sin x ? cos x 的最小值和最小正周期分别是 A. ? 2, 2? C. ? 2, ? B. ?2, 2? D. ?2, ?

3.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 6 则 S5 等于 A.10 C.15 B.12 D.30

4.甲乙两名运动员在某项测试中的 8 次成绩如茎叶图所示, x1 , x 2 分别表示甲乙两名运动 员这项测试成绩的平均数, s1 , s 2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有 A. x1 ? x2 , s1 ? s2 B. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2 [来源:学#科#网]

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5.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,输出的结 果为

13 21 21 B. 13 8 C. 13 13 D. 8
A. 6.某会议室第一排共有 8 个座位,现有 3 人就座,若要求每人左右均有空位,那么不同的坐 法种数为 A.12 B.16 C.24 D.32

? y ? x ? 1, ? ? ? 7.已知平面区域 ? ? {( x, y ) ? y ? 0, ? , M ? {( x, y ) ? x ? 1, ? ? ?
一点 P,点 P 落在区域 M 内的概率为 A.

? y ? ? | x | ?1, ? ? ? ,向区域 ? 内随机投 ? y ? 0, ?

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

8.如图,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? =直线 l ,A,C 是 ? 内不同的两点,B,D 是 ? 内不同的两点,且 A,B,C, D ? 直线 l ,M,N 分别是线段 AB,CD 的中点。下列判断 正确的是 A.当 | CD |? 2 | AB | 时,M,N 两点不可能重合[来 源:ZXXK] B.M,N 两点可能重合,但此时直线 AC 与 l 不可能相交 C.当 AB 与 CD 相交,直线 AC 平行于 l 时,直线 BD 可以与 l 相交 D.当 AB,CD 是异面直线时,直线 MN 可能与 l 平行

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第 II 卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a, b ? R ,i 为虚数单位,则 a ? b ? 10.已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a 、 b 的夹角为 60°,则 | 2a ? b |? 11.将极坐标方程 ? ? 2cos ? 化成直角坐标方程为 12.如图, PC 切 ? O 于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O , 弦 CD ? AB 于点 E 。已知 ? O 的半径为 3,PA ? 2 ,则 。 。 。

PC ?

。 OE ?
2



13.已知双曲线 x ?

y2 ? 1 的左顶点为 A1 ,右焦点为 3


???? ???? ? F2 , P 为双曲线右支上一点,则 PA1 ? PF2 最小值为

14.设函数 f ( x ) 的定义域为 D,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有

x ? l ? D,且 f ( x ? l ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数。
如果定义域为 [?1, ??) 的函数 f ( x) ? x2 为 [?1, ??) 上的 m 高调函数,那么实数 m 的取 值范围是 。

2 2 如果定义域为 R 的函数 f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ?| x ? a | ?a ,且 f ( x ) 为 R

上的 4 高调函数,那么实数 a 的取值范围是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题 满分 12 分) 已知 ? 为锐角,且 tan( (I)求 tan ? 的值; (II)求

?
4

??) ? 2 。

sin 2? cos ? ? sin ? 的值。 cos 2?

16. (本小题满分 13) 在一个选拔项目中, 每个选手都需要进行 4 轮考核, 每轮设有一个问题, 能正确回答者 进 入下一轮考核, 否则被淘汰, 已知某选手能正确回答第一、 二、 三、 四轮问题的概率分别为

5 、 6

4 3 1 、 、 ,且各 轮问题能否正确回答互不影响. 5 4 3
(I)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; (II)求该选手至多进入第三轮考核的概率; (III)该选手在选拔过程中回答过的问题的 个数记为 X ,求随机变量 X 的分布列和期望

[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 17. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 p ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD , E 为 PC 中点,底面

ABCD 是直角梯形, AB // CD , ?ADC =90°, AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 . (I)求证: BE // 平面 PAD ; (II)求证: BC ? 平面 PBD ;
(III)设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC , 试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 为 45°.

??? ?

??? ?

[来源:ZXXK]

18. (本小题满分 14 分) 椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,长 轴端点与短轴端点间的距离为 5 . 2 a b 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设过点 D (0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点, O 为坐标原点,若 ?OEF 为直角三角形,求直线 l 的斜率.

19. (本小题满分 14 分) 已知 函数,其中 f ( x ) ? (1 ? (I)求函数 f ( x ) 的零点; (II)讨论 y ? f ( x) 在区间 (??, 0) 上的单调性; (III)在区间 (??, ? ] 上, f ( x ) 是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存 在,请说明理由.[来源:Z,xx,k.Com]

a x )e ,其中 a ? 0 x

a 2

20. (本小题满分 13 分) 对于各项均为整数的数列 ?an ? ,如果 ai ? i ( i =1,2,3,?)为完全平方数,则称数 列 ?an ? 具有“ P 性质” . 不论数列 ?an ? 是否 具有“ P 性质” ,如果存在与 ?an ? 不是同一数列的 ?bn ? ,且 ?bn ? 同 时满足下面两个条件: b1 , b2 , b3 ,..., bn 是 a1 , a2 , a3 ,..., an 的一个排列 ; ① ②数列 ?bn ? 具有 P 性 “ 质” ,则称数列 ?an ? 具有“变换 P 性质” .

n 2 ( n ? 1) ,证明数列 ?an ? 具有“ P 性质” ; 3 (II)试判断数列 1,2,3,4,5 和数列 1,2,3,?,11 是否具有“变换 P 性质” ,具
(I)设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 有此性质的数列请写出相应的数列 ?bn ? ,不具此性质的说明理由; (III)对于有限项数列 A :1,2,3,?, n ,某人已经验证当 n ?[12, m ](m ? 5) 时,
2

数列 A 具有“变换 P 性质” ,试证明:当” n ?[m ? 1,(m ? 1 ] 时,数 列 A 也具有“变换
2 2

P 性质” .

[来源:Z|xx|k.Com]

参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.3 10. 13 11. x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 12. 4,

9 5

13.-2

14. m ? 2;

?1 ? a ? 1

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分 标准给分.) 15.解: (I) tan( 所以

?
4

??) ?

1 ? tan ? ? 2,1 ? tan ? ? 2 ? 2 tan ? , 1 ? tan ? 1 所以 tan ? ? . ???????????????????5 分 3

1 ? tan ? , ????????????2 分 1 ? tan ?

sin 2?coa? ? sin ? 2 sin ? cos2 ? ? sin ? ? (II) cos 2? cos 2? ? sin ? (2 cos2 ? ? 1) sin ? cos 2? ? ? sin ? . ??????8 分 cos 2? cos 2?

1 2 2 ,所以 cos ? ? 3 sin ? ,又 sin ? ? cos ? ? 1, 3 1 2 所以 sin ? ? , ??????????????10 分 10
因为 tan ? ? 又 ? 为锐角,所以 sin ? ?

10 , 10

所以

sin 2? cos? ? sin ? 10 ? . ??????????????12 分 cos 2? 10

16.解:设事件 A1 ? (i ? 1,2,3,4) 表示“该选手能正确回答第 i 轮问题” , 由已知 P( A1 ) ?

5 4 3 1 , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? , P( A4 ) ? , 6 5 4 3

(I)设事件 B 表示“该选手进入第三轮被淘汰” , 则 P( B) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ??????????2 分

?

5 4 3 1 ? ? (1 ? ) ? . 6 5 4 6

????????????????3 分

(II)设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核” ,

则 P(C) ? P( A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 ) ???????????????5 分

? P( A1 ) ? P( A1 A 2 ) ? P( A1 A2 A3 ) ?
(III)X 的可能取值为 1,2,3,4

1 5 1 5 4 3 1 ? ? ? ? ? (1 ? ) ? ?6 分 6 6 5 6 5 4 2

????????????7 分 ????????????8 分

P( X ? 1) ? P( A1 ) ?

1 , 6

5 4 1 ? (1 ? ) ? , ????????????9 分 6 5 6 5 4 3 1 P( X ? 3) ? P( A1 A2 A 3 ) ? ? ? (1 ? ) ? , ????????10 分 6 5 4 6 5 4 3 1 P( X ? 4) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? , ??????????11 分 6 5 4 2 P( X ? 2) ? P( A1 A 2 ) ?
所以,X 的分布列为 X P 1 2 3 4

1 6

1 6

1 6

1 2

??????????12 分

E ( X ) ? 1?

1 1 1 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 3. 6 6 6 2

??????????13 分

17.解: (I)取 PD 的中点 F,连结 EF,AF, 因为 E 为 PC 中点,所以 EF//CD,且 EF ?

1 CD ? 1, 2

在梯形 ABCD 中,AB//CD,AB=1, 所以 EF//AB,EF=AB,四边形 ABEF 为平行四边形, 所以 BE//AF, ????????????????????2 分 BE ? 平面 PAD,AF ? 平面 PAD, 所以 BE//平面 PAD. ??????????????????4 分 (II)平面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD,所以 PD⊥平面 ABCD, 所以 PD⊥AD. ??????????????????????3 分 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D—xyz. 则 A(1,0,0) ,B(1,1,0) ,C(0,2,0) ,P(0,0,1). ??????????????6 分

DB ? (1,1,0), BC ? (?1,1,0).
所以

BC ? DB ? 0, BC ? DB, ????8 分

又由 PD⊥平面 ABCD,可得 PD⊥BC, 所以 BC⊥平面 PBD.?????????9 分 (III)平面 PBD 的法向量为

BC ? (?1,1,0), ??10 分 PC ? (0,2,?1), PQ ? ? PC, ? ? (0,1)

所以 q(0,2? ,1 ? ? ) ,????????11 分 设平面 QBD 的法向量为 n=(a,b,c) ,

DB ? (1,1,0), DQ(0,2?,1 ? ?) ,
由 n ? DB ? 0 ,n ? DQ ? 0 ,得 所以, ? 所以 n= ( ?1,1,

?a ? b ? 0 ?2?b ? (1 ? ? )c ? 0

2? ), ? ?1

????????12 分

所以 cos 45? ?

n ? BC | n || BC |

?

2 2 2?(
2 ? 1.

2? 2 ) ? ?1

?

2 , ??????13 分 2

注意到 ? ? (0,1) ,得 ? ?

??????14 分

18.解: (I)由已知
2 2 2

c 3 2 ? , a ? b 2 ? 5, a 2

??????3 分

又 a ? b ? c ,解得 a 2 ? 4, b 2 ? 1,

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. ????????????5 分 4

(II)根据题意,过点 D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4.

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 联立, ? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 32kx ? 60 ? 0 ,????6 分 ? y ? kx ? 4 ?

? ? (32k ) 2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240,
令 ? ? 0 ,解得 k ?
2

15 . 4

??????????????????7 分

设 E、F 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) , (i)当∠EOF 为直角时, 则 x1 ? x 2 ? ?

32 k 60 , x1 x 2 ? ,??????????8 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

因为∠EOF 为直角,所以 OE ? OF ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,??????9 分 所以 (1 ? k ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 ,
2

所以

15 ? (1 ? k 2 ) 32k 2 ? ? 4 ? 0 ,解得 k ? ? 19. ??????11 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

(ii)当∠OEF 或∠OFE 为直角时,不妨设∠OEF 为直角, 此时, k OE ? k ? 1 ,所以

y1 y1 ? 4 ? ? ?1 ,即 x12 ? 4 y1 ? y12 ??①????12 分 x1 x1

x12 ? y12 ? 1 ????② 又 4
2 将①代入②,消去 x1 得 3 y1 ? 4 y1 ? 4 ? 0,

解得 y1 ? 将 y1 ?

2 或 y1 ? ?2 (舍去) ,????????13 分 3
所以 k ?

2 2 5, 代入①,得 x1 ? ? 3 3

y1 ? 4 ? ? 5 ,??????14 分 x1

经检验,所求 k 值均符合题意,综上,k 的值为 ? 19 和 ? 5. 19.解: (1)解 f ( x) ? 0 ,得 x ? ? a, 所以函数 f (x) 的零点为-a.??????2 分 (2)函数 f (x) 在区域(-∞,0)上有意义, f ?( x) ?

x 2 ? ax ? a x e ,????5 分 x2

令 f ' ( x) ? 0, 得x1 ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , x2 ? , 2 2
????7 分

因为 a ? 0, 所以x1 ? 0, x2 ? 0. 当 x 在定义域上变化时, f ' ( x) 的变化情况如下:

x
f ' ( x)
f (x)

( ? ?, x1 ) +

( x1 ,0)
-

? a ? a 2 ? 4a 所以在区间 (??, ) 上 f (x) 是增函数, 2
在区间 (

????8 分

? a ? a 2 ? 4a ,0)上f ( x) 是减函数. 2

????9 分

(III)在区间 ? ? ?,? ? 上 f (x) 存在最小值 f ( ? ) 2 2

? ?

a? ?

a

????10 分

证明:由(I)知-a 是函数 f (x) 的零点,

因为 ? a ? x1 ? ?a 所以 x1 ? ?a ? 0. 由 f ( x) ? (1 ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ? ? 0, 2 2
????11 分 ????12 分

a x )e 知,当 x ? ?a 时, f ( x) ? 0. x

又函数在 ( x1 ,0) 上是减函数, 且 x1 ? ?a ? ?

a ? 0. 2

所以函数在区间 ? x1 , ? 上的最小值为 f ( ? ), 2 2

? ?

a? ?

a

且 f ( ? ) ? 0. 所以函数在区间 ? ? ?,? ? 上的最小值为 f (? ). 2 2

a 2

????13 分

? ?

a? ?

a

计算得 f (? ) ? ?e

a 2

?

a 2

.

????14 分

20.解: (I)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1

????1 分 ????2 分 ????3 分

?

n 2 n ?1 (n ? 1) ? [( n ? 1) 2 ? 1] ? n 2 ? n, 3 3

又 a1 ? 0, 所以an ? n 2 ? n(n ? N * ). 所以 ai ? i ? i 2 (i ? 1,2,3,?) 是完全平方数, 数列 {an } 具有“P 性质” (II)数列 1,2,3,4,5 具有“变换 P 性质” , 数列 {bn } 为 3,2,1,5,4 数列 1,2,3,?,11 不具有“变换 P 性质” 因为 11,4 都只有 5 的和才能构成完全平方数 所以数列 1,2,3,?,11 不具有“变换 P 性质” (III)设 n ? m j,1 ? j ? 2m ? 1,
2

????4 分 ????5 分 ????6 分 ????7 分 ????8 分

注意到 (m ? 2) 2 ? (m 2 ? j ) ? 4m ? 4 ? j, 令 h ? 4m ? 4 ? j ? 1, 由于 1 ? j ? 2m ? 1, m ? 5 , 所以 h ? 4m ? 4 ? j ? 1 ? 2m ? 2 ? 12, 又 m 2 ? h ? m 2 ? 4m ? 4 ? j ? 1 ? m 2 ? 4m ? 2,

m 2 ? 4m ? 2 ? (m ? 2) 2 ? 6 ? 0,
所以 h ? m 2 , 即 h ? [12, m 2 ]
2

????10 分

因为当 n ? [12, m ](m ? 5) 时,数列 {an } 具有“变换 P 性质” 所以 1,2,?,4m+4-j-1 可以排列成 a1 , a2 , a3 ,?, ah , 使得 ai i(i ? 1,2,?, h) 都是平方数 ????11 分

另外, 4m ? 4 ? j,4m ? 4 ? j ? 1,?, m 2 ? j 可以按相反顺序排列, 即排列为 m ? j,?,4m ? 4 ? j ? 1,4m ? 4 ? j.
2

使得 (4m ? 4 ? j ) ? (m ? j ) ? (m ? 2)
2

2

(4m ? 4 ? j ? 1) ? (m 2 ? j ? 1) ? (m ? 2) 2 ,?,
2 2

????12 分

所以 1,2, 4m ? 4 ? j ? 1,4m ? 4 ? j,?, m ? 1 ? j, m ? j 可以排列成

a1 , a2 , a3 ,?ah , m2 ? j,?,4m ? 4 ? j
满足 ai ? i(i ? 1,2,?, m2 ? j ) 都是平方数. 即当 n ? [m ? 1, (m ? 1) ] 时,数列 A 也具有“变换 P 性质”????13 分
2 2


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