2017-2018学年高中数学人教版选修4-5习题:第四讲4.1数学归纳法 Word版含答案

第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法 A 级 基础巩固 一、选择题 1.用数学归纳法证明:1+2+3+?+(2n+1)=(n+1)·(2n+1)时,在验证 n=1 成立 时,左边所得的代数式为( A.1 C.1+2+3 ) B.1+3 D.1+2+3+4 解析:当 n=1 时左边所得的代数式为 1+2+3. 答案:C 1 2.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验第一个值 n0 2 等于( A.1 ) B.2 C.3 D.0 解析:边数最少的凸 n 边形是三角形. 答案:C 1 3an 3.已知 a1= ,an+1= ,猜想 an 等于( 2 an+3 A. C. 3 ) n+2 3 B. D. 3a1 3 3a2 3 = ,a3= = , a1+3 7 a2+3 8 3 n+3 3 n+4 n+5 解析:a2= 3a3 1 3 a4= = = , a3+3 3 9 猜想 an= 答案:D 4.一个与自然数 n 有关的命题,当 n=2 时命题成立,且由 n=k 时命题成立推得当 n=k +2 时命题也成立,则( ) 3 n+5 . A.该命题对于 n>2 的自然数 n 都成立 B.该命题对于所有的正偶数都成立 C.该命题何时成立与 k 取什么值无关 D.以上答案都不对 解析:由题意当 n=2 时成立可推得 n=4,6,8,?都成立,因此该命题对所有正偶数都 成立. 答案:B 5. 记凸 k 边形的内角和为 f(k), 则凸(k+1)边形的内角和 f(k+1)等于 f(k)加上( A.2π C. π 2 B.π 3 D. π 2 ) 解析:从 n=k 到 n=k+1 时,内角和增加π . 答案:B 二、填空题 1 1 1 1 1 6.当 f(k)=1- + - +?+ - ,则 f(k+1)=f(k)+________. 2 3 4 2k-1 2k 1 1 1 1 1 1 1 解析:f(k+1)=1- + - +?+ - + - , 2 3 4 2k-1 2k 2k+1 2(k+1) 1 1 所以 f(k+1)=f(k)+ - . 2k+1 2(k+1) 答案: 1 1 - 2k+1 2k+2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 7.观察下列等式:1 +2 =3 ,1 +2 +3 =6 ,1 +2 +3 +4 =10 ,根据上述规律,猜 想 1 +2 +3 +4 +5 +6 =________. 解析:已知等式可写为:1 +2 =3 =(1+2) ,1 +2 +3 =6 =(1+2+3) ,1 +2 +3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 +4 =10 =(1+2+3+4) ,根据上述规律,猜想 1 +2 +3 +4 +5 +6 =(1+2+?+6) = 21 . 答案:21 2 2 8.用数学归纳法证明“n∈N 时,1+2+2 +2 +?+2 原式是________,从 k 到 k+1 时需添加的项是________. 答案:1+2+2 +2 +2 ,2 +2 三、解答题 9.用数学归纳法证明: 2 3 4 5k 5k+1 * 2 3 5n-1 是 31 的倍数”时,n=1 时的 +2 5k+2 +2 5k+3 +2 5k+4 ?1-1??1-1??1- 1 ???1- 12?=n+1(n≥2,n∈N ). ? 4?? 9?? 16? ? n ? 2n + ? ?? ?? ? ? ? 1 3 证明:(1)当 n=2 时,左边=1- = , 4 4 右边= 2+1 3 = . 2×2 4 所以等式成立. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时,等式成立, 1? ? 1 ? k+1 ? 1?? 1?? 即?1- ??1- ??1- ???1- 2?= (k≥2,k∈N+). ? 4?? 9?? 16? ? k ? 2k 当 n=k+1 时, 1 ?1-1??1-1??1- 1 ???1- 12??1- ? ? 4?? 9?? 16? ? k ?? (k+1)2?= ? ?? ?? ? ? ?? ? k+1 (k+1)2-1 (k+1)k·(k+2) k+2 (k+1)+1 · = = , 2 = 2 2k (k+1) 2k·(k+1) 2(k+1) 2(k+1) 所以当 n=k+1 时,等式成立. 根据(1)和(2)知,对 n≥2,n∈N+时,等式成立. 10.用数学归纳法证明 n +5n 能被 6 整除. 证明:(1)当 n=1 时,左边=1 +5×1=6,能被 6 整除,结论正确. (2)假设当 n=k 时,结论正确,即 k +5k 能被 6 整除. 则 (k + 1) + 5(k + 1) = k + 3k + 3k + 1 + 5k + 5 = k + 5k + 3(k + k + 2) = k +5k + 3(k + 1)(k+2), 因为 k +5k 能被 6 整除,(k+1)(k+2)必为偶数,3(k+1)(k+2)能被 6 整除, 因此,k +5k+3(k+1)(k+2)能被 6 整除. 即当 n=k+1 时结论正确. 根据(1)(2)可知,n +5n 对于任何 n∈N+都能被 6 整除. B 级 能力提升 1.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)?(n+n)=2 ×1×3×?×(2n-1)(n∈N+)时, 从“n=k 到 n=k+1”左端需乘以的代数式为( A.2k+1 C. 2k+1 k+1 ) n 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 B.2(2k+1) D. 2k+3 k+1 k 解析:当 n=k 时,等式为(k+1)(k+2)?(k+k)=2 ×1×3×?×(2k-1). 当 n=k+1 时, 左边=[(k+1)+1][(k+1)+2]?[(k+1)+k]·

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