高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义学案苏教版选修1_22

3.3 复数的几何意义 学习目标 1.了解复数的几何意义, 会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的 几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 知识点一 复数的几何意义 思考 1 复数 z=a+bi(a,b∈R)与有序数对(a,b)有怎样的对应关系? 思考 2 有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系? 思考 3 复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗? → 思考 4 复数 z=a+bi、复平面内的点 Z(a,b)、向量OZ三者有何关系? 1.复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 __________ , x 轴叫做 ________ , y 轴叫做 ________. 2.复数的几何意义 1 一一对应 一一对应 → 复数 z=a+bi(a,b∈R) ― ― ― → 复平面内的点 Z(a,b)― ― ― ― →向量OZ. 知识点二 复数的模及意义 → 1.定义:向量OZ的模叫做复数 z=a+bi 的模,记为|z|. 2.公式:|z|= a +b . 3.几何意义:复数 z 对应点 Z 到原点 O 的距离. 知识点三 复数加减法的几何意义 思考 1 复数与复平面内的向量一一对应, 你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的 几何意义吗? 2 2 思考 2 怎样作出与复数 z1-z2 对应的向量? 思考 3 类比绝对值|x-x0|的几何意义,说明|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义. 2 → → → 1.如图所示,设向量OZ1,OZ2分别与复数 z1=a+bi,z2=c+di 对应,且OZ1 → → → → 和 OZ2 不共线,以 OZ1 , OZ2 为邻边画平行四边形 OZ1ZZ2. 则向量 OZ 与复数 → __________________相对应;向量Z2Z1与复数________________相对应. 2.|z1-z2|= a-c 2 + b-d 2 ,即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对 应的两点间的距离. 类型一 复数与复平面内点的对应 例 1 在复平面内,若复数 z=(m -m-2)+(m -3m+2)i 对应的点(1)在虚轴上;(2)在第 二象限;(3)在直线 y=x 上,分别求实数 m 的取值范围. 2 2 反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系, 每一个复数都对 应着一个有序实数对, 只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点, 就可根据点的位置 判断复数实部、虚部的取值. 3 1-2i 跟踪训练 1 设复数 z= (m∈R)在复平面内对应的点为 Z. m-i (1)若点 Z 在虚轴上,求 m 的值; (2)若点 Z 位于第一象限,求 m 的取值范围. 类型二 复数的模及其几何意义 1 3 例 2 已知复数 z1= 3-i,z2=- + i. 2 2 (1)求|z1|及|z2|的值并比较大小; (2)设 z∈C,满足|z2|≤|z|≤|z1|的点 Z 的集合是什么图形? 4 → 反思与感悟 (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的模即向量OZ的模,复数的模可以比较大小. (2)复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可类 比以原点为起点的向量的模来加深理解. 跟踪训练 2 (1)已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部是 1,求|z|的取值范围; (2)若|z|的取值范围是(1)中所求,则复数 z 对应的点 Z 的集合是什么图形. 类型三 复数加减法的几何意义 例 3 在复平面内,A,B,C 分别对应复数 z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以 AB、AC 为邻 边作一个平行四边形 ABDC,求点 D 对应的复数 z4 及 AD 的长. 5 反思与感悟 (1)根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运 算,同样满足三角形和平行四边形法则. (2)复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可靠. 跟踪训练 3 已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|. 1.设 z=(2-i) (i 为虚数单位),则复数 z 的模为________. -1+i 2.复数 z= -1 在复平面内,则 z 所对应的点在第________象限. 1+i → → → 3.复数 4+3i 与-2-5i 分别表示向量OA与OB,则向量AB表示的复数是____________. 4.在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 mi 的点在直线 y=x 上,则实数 m 的值为________. 6 2 1.复数的几何意义 这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁, 使得复数问题可以用几何方法解决. 复数 几何意义的应用,关键是抓住复数与点的一一对应. 2.复数的模 (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的模|z|= a +b ; (2)从几何意义上理解,表示点 Z 和原点间的距离,类比向量的模可进一步引申:|z1-z2| 表示点 Z1 和点 Z2 之间的距离. 2 2 7 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 一一对应. 思考 2 一一对应. 思考 3 能一一对应. → 思考 4 复数 z=a+bi 可以用复平面内的点 Z(a,b)来表示,也可以用向量OZ来表示,三者 的关系是一一对应的. 1.复平面 实轴 虚轴 知识点三 思考 1 → → → → 如图,设OZ1,OZ2分别与复数 a+bi,c+di 对应,则有OZ1=(a,b),OZ2=(c,d),由向量 → → → → 加法的几何意义OZ1+OZ2=(a+c,b+d),所以OZ1+OZ2与复数(a+c)+(b+d)i 对应,复数 的加法可以按照向量的加法来进行. 思考 2 z1-z2 可以看作 z1+(-z2).因为复数的加法可以按照向量的加法来进行,所以可以按照平 → → 行四边形法则或三角形法则作出与

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