高中数学第一章集合1.1集合的含义及其表示自主训练苏教版必修69

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1.1 集合的含义及其表示

自主广场 我夯基 我达标 1.下列说法正确的是( ) A.2004 年雅典奥运会的所有比赛项目组成一个集合 B.某个班年龄较小的学生组成一个集合 C.集合{1,2,3}与{3,1,2}表示不同的集合
D.1,0.5, 3 , 1 组成的集合有四个元素 22
思路解析:考查集合元素的三个性质:确定性、互异性、无序性. A 中各比赛项目是确定的且各不相同的,∴A 正确. B 中元素是不确定的,C 中两集合是相等的,D 中有 3 个元素.∴选 A. 答案:A 2.下面六种表示法: ①{x=-1,y=2};②{(x,y)|x=-1,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{(x,y)| x=-1 或 y=2}.

其中能正确表示方程组

?2 ??x

x? ?y

y? ?3

0, ?

0

的解集的是(

)

A.①②③④⑤⑥ C.②⑤

B.①②④⑤ D.②⑤⑥

思路解析:由于此方程组的解是

?x

? ?

y

? ?

?1, 2,

因而写成集合时,应表示成一对有序实数(-1,2)

构成的集合.

答案:C

3.已知集合 S={a,b,c}中的三个元素可构成△ABC 的三条边长,那么△ABC 一定不是( )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

思路解析:由集合元素的互异性,知 a、b、c 各不相同.∴选 D.

答案:D

4.已知 A={x|x=a+b 2 ,a、b∈Z},判断下列元素 x 与集合 A 之间的关系:

(1)x=0,(2)x= 1 ,(3)x= 9 ? 4 2 . 2? 3
思路解析:x 与 A 的关系只有 x∈A 和 x?A 两种.判断 x 是不是 A 中的元素,即观察 x 能否 写成 a+b 2 (a、b∈Z)的形式.

答案:(1)因为 0=0+0× 2 ,所以 0∈A.

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(2)因为 x= 1 = 3 ? 2 ,无论 a、b 为何整数,a+b 2 = 3 ? 2 不能成立,所以 3? 2
x= 1 ?A. 2? 3
(3)因为 x= 9 ? 4 2 ? (2 2 ?1)2 =1+2 2 ,所以 9 ? 4 2 ∈A.
5.(1)实数 a、b 满足关系____________时,集合 A={x|ax+b=0}是有限集; (2)a、b 满足关系____________时,集合 A={x|ax+b=0}为无限集; (3)a、b 满足关系____________时,集合 A={x|ax+b=0}为空集.
思路解析:(1)集合 A={x|ax+b=0}是有限集,即方程 ax+b=0 有有限个解,即 x=- b 存在.因 a
此 a≠0,b∈R. (2)集合 A={x|ax+b=0}是无限集,即方程 ax+b=0 有无限解. ∴a=b=0. (3)集合 A={x|ax+b=0}为空集,即方程 ax+b=0 无解. ∴a=0,b≠0. 答案:a≠0,b∈R a=b=0 a=0,b≠0 6.夏令营共有 200 名成员,第一次体能测试 151 人优秀,第二次测试 172 人优秀,则两次都 得优秀的人数至少有______________. 思路解析:由题意,设两次测试都优秀 x 人,两次都不优秀 m 人,由集合运算性质有 151+172-x+m=200,m≥0 知 x≥123. 答案:123 人 7.下列各组对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法 表示出来. (1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点; (2)高一数学课本中所有的难题; (3)方程 x4+x2+2=0 的实数根; (4)图甲中阴影部分的点(含边界上的点).





思路解析:根据集合中元素的特点解答.

答案:(1)是无限集合.其中元素是点,这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数.

可用两种方法表示这个集合:

描述法:{(x,y)|y=-x};

图示法:如图乙中直线 l 上的点.

(2)不是集合.难题的概念是模糊的不确定的,实际上一道数学题是“难者不会,会者不难”.

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因而这些难题不能构成集合. (3)是空集.其中元素是实数,这些实数应是方程 x4+x2+2=0 的根,这个方程没有实数根,它
的解集是空集.可用描述法表示为 ? 或者{x∈R|x4+x2+2=0}.
(4)是无限集合.其中元素是点,这些点必须落在图甲的阴影部分(包括边界上的点). 图甲本身也可看成图示法表示,我们还可用描述法表示这个集合:
{(x,y)|-1≤x≤2,- 5 ≤y≤2,且 xy≤0}. 2
8.已知 f(x)=x2-ax+b(a、b∈R),A={x|f(x)-x=0,x∈R},B={x|f(x)-ax=0,x∈R},若 A={1,-3},试用列举法表示集合 B. 思路解析:∵ 集合 B 是方程 f(x)-ax=0 的解集,∴要求集合 B,需设法求出 a、b 的值,于 是可通过集合 A={1,-3}为突破口来寻找本例的解题途径. 答案:f(x)-x=0,即 x2-(a+1)x+b=0. ∵ A={1,-3}.



由韦达定理得

?1 ? ??1?

(?3) (?3)

? ?

a b,

?

1,


?a ??b

? ?

?3, ?3.

∴ f(x)=x2+3x-3. f(x)-ax=0,亦即 x2+6x-3=0,

∴B={x|x2+6x-3=0}={-3-2 3 ,-3+2 3 }.
9.已知集合 A={p|x2+2(p-1)x+1=0,x∈R},求一次函数 y=2x-1,x∈A 的取值范围. 思路解析:关键是理解集合 A 中元素的属性.p 的取值范围必须满足关于 x 的一元二次方程 x2+2(p-1)x+1=0 有实数根. 答案:由已知,Δ =4(p-1)2-4≥0,得 p≥2 或 p≤0.所以 A={p|p≥2 或 p≤0}; 因为 x∈A,所以 x≥2 或 x≤0,所以 2x-1≥3 或 2x-1≤-1,所以 y 的取值范围是{y|y≤ -1 或 y≥3}. 我综合 我发展

10.已知 x、y、z 为非零实数,代数式 x ? y ? z ? | xyz | 的值所组成的集合是 M,则 | x | | y | | z | xyz

下列判断正确的是( )

A.0?M

B.2∈M

C.-4?M

D.4∈M

思路解析:分 4 种情况讨论:x、y、z 中三个都为正,代数式值为 4;x、y、z 中两个为正,

一个为负,代数式值为 0;x、y、z 中一个为正,两个为负,值为 0;x、y、z 都为负数时,

代数式值为-4.∴选 D.

答案:D

11.某班级 50 人,开设英语和日语两门外语课,规定每人至少选学一门,估计报英语的人数

占全班 80%到 90%之间,报日语的人数占全班 32%到 40%之间,设 M 是两门都学的人数的最大

值,m 是两门都学的人数的最小值,则 M-m 等于( )

A.15

B.14

C.10

D.9

思路解析:由已知得报英语的人数在 40-45 之间,报日语的人数在 16-20 之间.

则 M=45+20-50=15,m=40+16-50=6.

∴M-m=9.∴选 D.

答案:D

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12.试用适当的方法表示下列集合. (1)24 的正约数; (2)数轴上与原点的距离小于 1 的所有点; (3)平面直角坐标系中,Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线上的所有点; (4)所有非零偶数; (5)所有被 3 除余数是 1 的数. 思路解析:用列举法或描述法表示集合.无限集一般用描述法表示;当有限集中的元素个数 不多便于枚举时,采用列举法表示. 答案:(1){1,2,3,4,6,8,12,24}. (2){x||x|<1}. (3){(x,y)|y=x}.
(4){x|x=2k,k∈Z,k≠0}或{x| x ∈Z 且 x≠0}. 2
(5){x|x=3k+1,k∈Z}. 13.若 1∈{x|x2+px+q=0},2∈{x|x2+px+q=0},求 p、q 的值. 思路解析:首先注意集合的代表元素,然后看元素的特点.由已知两集合中的元素分别为一 元二次方程 x2+px+q=0 的解,最后利用方程解的定义或根与系数的关系求解. 解法一:∵1∈{x|x2+px+q=0},2∈{x|x2+px+q=0}, ∴1,2 都是方程 x2+px+q=0 的解,即 1,2 都适合方程,分别代入方程,



? 1? p ? q ? 0, ??4 ? 2 p ? q ? 0.

(1) (2)

②-①得 3+p=0,∴p=-3. 代入①,得 q=-(p+1)=2. 故所求 p、q 的值分别为-3、2. 解法二:∵1∈{x|x2+px+q=0},2∈{x|x2+px+q=0},

∴1



2

都是方程

x2+px+q=0

的解.由根与系数的关系知

?1 ? ??1?

2 2

? ?

? q.

p,

∴p=-3,q=2.故所求 p=-3,q=2. 14.求:(1)方程 x2-4x+4=0 的所有根的和; (2)集合 S={x|x2-4x+4=0}的所有元素的和. 思路解析:本题极易忽略的一个问题是,方程根的个数与方程解集中元素的个数不一定相同, 由于方程 x2-4x+4=0 有两个重根 x1=x2=2,但其解集中却只有一个元素 2,即 S={2},所以两 个问题有区别,应用了集合中元素的互异性. 答案:(1)方程 x2-4x+4=0 的所有根的和为 4;(2)由于集合 S={x|x2-4x+4=0}={2},∴S 中所 有元素之和为 2. 我创新 我超越

15.设 S={x|x=m+n 2 ,m、n∈Z}.
(1)若 a∈Z,则 a 是否是集合 S 中的元素? (2)对 S 中的任意两个 x1、x2,则 x1+x2、x1·x2 是否属于 S? 思路解析:考查集合的元素满足的条件.

答案:(1)a 是集合 S 的元素,因为 a=a+0× 2 ∈S.

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(2)不妨设 x1=m+n 2 ,x2=p+q 2 ,m、n、p、q∈Z. 则 x1+x2=(m+n 2 )+(p+q 2 )=(m+n)+(p+q) 2 ,m、n、p、q∈Z.
∴x1+x2∈S,
x1·x2=(m+n 2 )·(p+q 2 )=(mp+2nq)+(mq+np) 2 ,m、n、p、q∈Z.
∴x1x2∈S. 综上,x1+x2、x1·x2 都属于 S.
敬请批评指正
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