高中数学直线的一般式方程 ppt


济宁二中 2009.11

1.直线的表示形式

形式
点斜式y x ? xx, y ? x?
00

方程

成立条件
斜率存在 斜率存在

0

y ? y1 ? k ? x ? x1 ?
y ? y1 ? k ? x ? x1 ?
y ? kx ? b

x ? x0

斜截式

y ? kx ? b
0 0

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

两点式
截距式

y ? y1 x ? x1 斜率存在且斜率 x y ? x ? x , y ? y 及y ? kx ? ?1 a b y2 ? y1 x2 ? x1 不为零

x y ? ?1 a b

斜率存在且不为零 且直线不过原点

平面直角坐标系中的每一条直线是否都能 用二元一次方程来表示 观察直线的四种表示形式,找出共同点 这四个方程都是关于 x, y 的二元一次方程

任意一条直线的方程都可以写成 关于x、y的二元一次方程

关于 x, y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (A, B不同时为零) ? 是否都表示一条直线?
A C 方程?可化为 y ? ? x ? ①当 B ? 0 时, B B

A ? 这就是直线的斜截式方程.它的斜率为 B y轴上的截距为 ? C 的直线 在 B 必有 A ? 0 ②当 B ? 0 时, 由于A, B 不同时为零,

C 方程?可化为 x ? ? A

它表示一条与 y 轴平行的直线.

关于 x, y 的二元一次方程
Ax ? By ? C ? 0 (其中 A, B 不同时为 0 )

都表示一条直线

我们把关于 x, y 的二元一次方程
Ax ? By ? C ? 0 (其中 A, B 不同时为 0 )

叫做直线的一般式方程,简称一般式.

在方程 Ax ? By ? C ? 0中 参数 A, B, C 对直线的影响
A,B.C满足的条件 方程表示下列直线 ①平行于 x 轴 ②平行于 y 轴 ③与 x 轴重合 ④与 y 轴重合 ⑤与 x 轴 y 轴都相交 ⑥过原点

A ? 0, B ? 0, C ? 0 A ? 0, B ? 0, C ? 0 A ? 0, B ? 0, C ? 0 A ? 0, B ? 0, C ? 0 A ? 0, B ? 0 A, B 不同时为 0 C ? 0

4 例1.已知直线经过点 A(6, ?4) ,斜率为 ? 3 ,

求直线的点斜式和一般式方程
解:因为直线经过点 A(6, ?4) ,斜率为 ? 4
3

4 y ? 4 ? ? ( x ? 6) 所以直线的点斜式方程为 3

化成一般式得:4 x ? 3 y ? 12 ? 0

根据下列条件写出直线的方程,并化为一般式方程 (1)斜率为 3 ,且经过点 (5,3) 答案: 3x ? y ? 3 ? 5 3 ? 0 (2)经过点 (?3, 0) ,且垂直于轴 x 答案: ? 3 ? 0 x (3)斜率为 4 ,在 y 轴上的截距为-2 答案: 4 x ? y ? 2 ? 0

例2.把直线 l 的一般方程 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜截式

求出直线 l 的斜率以及它在 x轴 y轴上的截距,并画出图形
分析: 直线与 x 轴上的截距,即直线 l 与 x 轴的交点的横坐标, 在直线方程中,令 y ? 0解出 x 值
y 解:将直线 l 的一般方程化成斜截式: ? 1 x?3 2

1 因此,直线 l 的斜率 k ? ,它在 y 轴上的截距是 3 2 在直线 l 的方程 x ? 2 y ? 6 ? 0 中,令 y ? 0 ,得 x ? ?6
即直线 l 在 x轴上的截距是 ?6 .
y 有上可知直线 l 与x 轴, 轴的交点分别为 A(?6, 0), B(0,3)

过 A, B 点作直线 l ,就得线的图形

图像为
y
4

B A

3
2

1

?6

?5

?4

?3

?2

?1

0

x

已知直线 l :5ax ? 5 y ? a ? 3 ? 0 (1)求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限;
(2)为使直线不经过第二象限,求 a 的取值范围 3 1 解:(1)将直线 l 方程整理为 y ? ? a ( x ? )
3 y ? ? a ( x ? 5) 5

5

5

所以,直线 l 的斜率为 a ,且经过定点 ( 5 , 5 ) 1 3 又因点 ( , )在第一象限,所以无论为 a 何值,
5 5

1 3

直线 l恒过第一象限

3 ?0 ?3 (2)直线 OA 的斜率为 k ? 5 1 ?0 5

y
3 5

?

要使 l 不经过第二象限, 需它在 y 轴上的截距不大于零, a ?3 ? 0 ,所以 a ? 3 即 x ? 0 时, y ? ? 5

A

O

1 5

x

(1)求直线方程注意选合适的形式 (2)直线的五种表示方法在一定条件下可以相互转化, 一般情况下,最后保留一般式方程 (3)画直线时一般找出直线与坐标轴的截距, 利用两点决定一条直线完成作图 (4)直线与二元一次方程之间的联系,体现出数形结合的思想

1.对于一般式方程的理解,及参数的几何意义
当 B ? 0 ,? A 是斜率 ? C 是 y 轴上的截距 当 A?0
B ,? C 是 A

B

x 轴上的截距

2.平面直角坐标系作为桥梁把方程和直线联系起来 用几何图形来研究代数问题,增加了数学的直观性,

体现出数形结合的思想方法
3.做题时注意选择恰当方法,可以达到事半功倍的效果.

基础作业:课本P100,1,2 知识迁移与提高:

1. 已知 ? ABC 的顶点是 A(?1, ?1), B(3,1), C (1,6) .直线 l 平行
与 AB ,且分别交 AC, BC 于点 E , , CEF 的面积是 F ?
1 求直线 l 的方程 ? CAB 面积的 , 4

2. 已知直线 l 经过点 E ?1, 2?,且与两坐标轴的正半轴 围成的三角形的面积是 4 , 求直线 l 的方程


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