江西省高安市第二中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题

2018 届高一上学期期末考试 数学试题
一、选择题( 12 ? 5分 ? 60分 ) 1.设集合 P ? ?1, 2,3, 4? , Q ? x ? R 0 ? x ? 3? ,那么下列结论正确的是( A. P ? Q ? Q

?



?

B. P ? Q ? P

?

C. P ? Q ? P

D. P ? Q ? Q )

2.下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( A. f ( x) ? 2 x C. f ( x ) ? ( ) B. f ( x) ? 3
x

x

1 2

D. f ( x) ? lg x ) B. 0.60.5 ? log0.6 0.5 D. 9
0.9

3.下列说法正确的是( A. log0.5 6 ? log0.5 4 C. 2.5 ? ( )
0

1 2

2 .5

? 270.48
)

2 4.若直线 l 过点(-1,2),且与直线 y= x 垂直,则直线 l 的方程是( 3 A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0
3

5.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f ( x) ?

x (1 ? x) ,则当 x<0 时,

f(x)的表达式是(
A. f ( x) ? C. f ( x) ?
3

) B. f ( x) ? ? 3 x (1 ? x) D. f ( x) ? ? 3 x (1 ? x) )

x (1 ? x) x (1 ? x)

3

6.已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确的是( A.若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 7.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积 是( ) A. 80 ? 16 2 B. 84

1

C. 90 ? 16 2

D. 96 )

8.已知点 A(1,1,1),点 B(3,3,3),点 P 在 x 轴上,且|PA|=|PB|,则 P 点坐标为 ( A.(6,0,0)
2

B.(0,2,0)
2

C.(0,0,6)
2 2

D.(2,0,0) )

9.若圆 C1:x +y =1 与圆 C2:x +y -6x-8y+m=0 相外切,则 m=( A.21 B.19 C.9 D.-11

10.三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在半径为 5 的球面上,底面 ABC 所在的小圆面积为 9 ? ,则 该三棱锥的高的最大值为( A.7 A. (??, 4] 12.函数 f ( x ) ? B.8
2

) C.8.5 C. (?4, 4] D.9 ) D. [?4, 4]

11.若函数 y=log2(x -ax+3a)在 (2, +∞)上是单调增函数, 则实数 a 的取值范围为 ( B. (??, 4)

b (a ? 0, b ? 0) 的图象形如汉字“囧” ,故称其为“囧函数”.下列命题: x ?a

①“囧函数”的值域为 R ;②“囧函数”在 (0, ??) 上单调递增;③“囧函数”的图象关 于 y 轴对称;④“囧函数”有两个零点;⑤“囧函数”的图象与直线 y ? kx ? m(k ? 0) 至少有 一个交点. 正确命题的个数为( ) A.1 B. 2 C.3 D.4 二、填空题( 4 ? 5分 ? 20分 ) 13. lg

5 1 ? 2 lg 2 ? ( ) ?2 ? 2 2
2 2

14.已知点 A(?2, 0), B(0, 2) ,若点 C 是圆 x ? 2 x ? y =0 上的动点,?ABC 的面积的最大 值为 15.圆台的上、下底面半径分别是 2cm 和 3cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°,那么 圆台的侧面积是 16.已知函数 f ( x) ? ? cm .
2

? x ? 1, x ? 0 ,则函数 y ? f ( f ( x)) ? 1 的所有零点构成的集合为 ?log 2 x, x ? 0

三、解答题( 1?10分+5 ?12分=70分 ) 17. (10 分)设函数 y ? 1 ? x 2 的定义域为 A ,关于 x 的不等式 mx ? 2 ? 0 的解集为 B . (1)当 m ? 3 时,求 A ? B ; (2)当 m ? 0 时,若 A ? B ,求 m 的取值范围.

2

18. (12 分)设直线 l 的方程为 (a ? 1) x ? 3 y ? 3 ? a ? 0(a ? R) . (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围.

19.(12 分)如图所示,在所有棱长都为 2 a 的三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱

AA1 ? 底面ABC , D 点为棱 AB 的中点.
(1)求证: AC1 ∥平面 CDB1 ; (2)求四棱锥 C1 ? ADB1 A1 的体积.

C1 A1

B1

C D A

B

2 20. (12 分)设 a 为实数,且 1 ? x ? 3 ,试讨论关于 x 的方程 x ? 3 ? a ? 5x 的实数解的个 数.

21. (12 分)已知直线 l1 : mx ? y ? 1 ? 4m ? 0(m ? R) , l2 : 3x ? 4 y ? 21 ? 0 .圆 C 满足条 件:①经过点 P(3,5) ;②当 m ? 0 时,被直线 l1 平分;③与直线 l2 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)对于 m ? R ,求直线 l1 与圆 C 相交所得的弦长为整数的弦共有几条.

3

22.(12 分)定义在 D 上的函数 f ( x ) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有

f ( x) ? M 成立,则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x) 的一个上界.已知
1 ? ax ?1? ?1? 函数 f ( x) ? 1 ? a? ? ? ? ? , g ( x) ? log 1 . ?2? ?4? 2 x ?1 (1)若函数 g ( x) 为奇函数,求实数 a 的值; 9 (2)在(1)的条件下,求函数 g ( x) 在区间 [ , 3] 上的所有上界构成的集合; 7
(3)若函数 f ( x ) 在 [0,??) 上是以 5 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.
x x

4

2018 届高一上学期期末考试 数学答案 一、选择题( 12 ? 5分 ? 60分 ) 题 号 选 项 二、填空题( 4 ? 5分 ? 20分 ) 13. ?3 14. 3 ? 2 15. 10?
1 1 ? 16. ? ??3, ? , , 2 ? 2 4 ? ?

1 B

2 B

3 D

4 A

5 A

6 D

7 A

8 A

9 0 D

1 1 C

1 2 D

1 B

三、解答题( 10分+5 ?12分=70分 ) 17.解: A ? [?1,1] ??????????????????2 分 (1)当 m ? 3 时, B ? ( ??, ) ????????4 分

2 3

A ? B ? (??,1] ????????6 分
(2)当 m ? 0 时, B ? ( ??,

2 ) ??????8 分 m

?m ? 0 ? 若 A ? B ,则 ? 2 ,解得 0 ? m ? 2 ??????10 分 ?1 ? ?m
18.解:将直线 l 的方程化为斜截式为 y ? ?

a ?1 a ?3 x? ???????2 分 3 3

(1)①当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零,当然相等. ∴当

a?3 即 a ? 3 时,满足条件,此时 l 方程为 2 x ? 3 y ? 0 .??????4 分 3

②当斜率为-1,直线在两坐标轴上的截距也相等.

a ?1 ? ?1 即 a ? 4 时,满足条件,此时 l 方程为 3x ? 3 y ? 1 ? 0 .??????6 分 3 综上所述,若 l 在两坐标轴上的截距相等, l 的方程为 2 x ? 3 y ? 0 或 3x ? 3 y ? 1 ? 0 .??7
∴当 ? 分 (2) l 不经过第二象限

? a ?1 ? ?0 ? ? 3 ∴? ,??????10 分 ?a ? 3 ? 0 ? ? 3 解得 a ? 1 . ∴ a 的取值范围为(-∞,1]. ??????12 分 19.解:(1)连结 BC1 ,设 BC1 与 B1C 交于点 E ,
5

则点 E 是 BC1 的中点,连结 DE ,????2 分 因为 D 点为 AB 的中点, 所以 DE 是 ?ABC1 的中位线, 所以 AC1 ∥ DE , ??????4 分 因为 DE ? 平面 CDB1 , AC1 ? 面 CDB1 , 所以 AC1 ∥平面 CDB1 . (2)取线段 A1B1 中点 M ,连结 C1M , ??????6 分

M 为线段 A1B1 中点, ∵ C1 A 1 ? C1B 1 ,点
∴ C1M ? A1B1 . 又 A1 A ? 平面 ABC 即 A1 A ? 平面 C1 A1B1 , C1M ? 平面 C1 A1B1 ∴ A1 A ? C1M , ∵ A 1A? A 1B 1 ? A 1, ∴ C1M ? 平面 ADB1 A 1 ,则 C1M 是四棱锥 C1 ? ADB 1A 1 的高 ??????9 分

1 (2a ? a) ? 2a VC1 ? ADB1 A1 ? ? ? 3a ? 3a 3 3 2
20.解:原方程即 a=-x +5x-3. 分别作出函数 y=-x2+5x-3 (1<x<3)和 y=a 的图象,
2

??????12 分

???3 分 13 当 a> 或 a≤1 时,原方程的实数解的个数为 0;???6 分 4 13 当 a= 或 1<a≤3 时,原方程的实数解的个数为 1;???9 分 4 13 当 3<a< 时,原方程的实数解的个数为 2. ???12 分 4 21.解: (1)由②可知圆 C 的圆心在直线 y ? 1 上,????????1 分 故可设圆 C 的方程为 ( x ? a) ? ( y ?1) ? r (r ? 0)
2 2 2

由①③,圆心到点 P 与到直线 l2 的距离相等,即

r ? (a ? 3) 2 ? (1 ? 5) 2 ?

3a ? 4 ? 1 ? 21 32 ? (?4) 2

,????????3 分

6

解得 a ? 0, r ? 5. 所以,圆 C 的方程为 x2 ? ( y ?1)2 ? 25 ????????6 分 (2)由 mx ? y ? 1 ? 4m ? 0 可得: ?x ? 4?m ? y ? 1 ? 0

?x ? 4 ? 0 令? ?? y ? 1 ? 0
2

?x ? 4 ?? ?y ?1

?直线 l1 过定点 M ?4,1?

????????7 分

又 4 2 ? ?1 ? 1? ? 16 ? 25

? M ?4,1? 在⊙ C 内

?直线 l1 与⊙ C 交于两点,设为 A, B.
当直线 l1 过圆心 C 时, AB 取最大值 10 ,此时 m ? 0 当直线 l ? MC 时, AB 取最小值, MC ? 4 ,? AB ? 2 25 ? 16 ? 6 ,而此时 m 不存在 所以, 6 ? AB ? 10 ?????????10 分 AB ? 7 , AB ? 8 , AB ? 9 故弦长为整数的值有 各有 2 条 AB ? 10 而 时有 1 条,故弦长为整数的弦共有 7 条. ???????12 分 22.解: (1)因为函数 g ( x) 为奇函数, 所以 g (? x) ? ? g ( x) ,即 log1
2

1 ? ax 1 ? ax , ? ? log1 ? x ?1 2 x ?1
??3 分

1 ? ax x ?1 ? ,得 a ? ?1 ,而当 a ? 1 时不合题意,故 a ? ?1 ? x ? 1 1 ? ax 1? x (2)由(1)得: g ( x) ? log1 , x ?1 2
即 而 g ( x) ? log 1

1? x 2 ? log 1 (1 ? ) ,易知 g ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增, x ?1 2 x ?1 2 1? x 9 所以函数 g ( x) ? log1 在区间 [ , 3] 上单调递增, ???????5 分 x ?1 7 2

1? x 9 在区间 [ , 3] 上的值域为 [?3, ?1] ,所以 g ( x) ? 3 , x ?1 7 2 9 故函数 g ( x) 在区间 [ , 3] 上的所有上界构成集合为 [3, ??) . ??????7 分 7 (3)由题意知, f ( x) ? 5 在 [0,??) 上恒成立.
所以函数 g ( x) ? log1

?1? ?1? ?1? ?5 ? f ( x) ? 5 , ?6 ? ? ? ? a ? ? ? 4 ? ? ? . ?4? ?2? ?4? ?1? ?1? ??6 ? 2x ? ? ? ? a ? 4 ? 2x ? ? ? 在 [0,??) 上恒成立. ? 2? ? 2? x x ? ? ?1? ? ?1? ? ? ? ?6 ? 2 x ? ? ? ? ? a ? ? 4 ? 2 x ? ? ? ? ???????9 分 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? max ? ? min
7
x x

x

x

x

x 设 2 ? t , h(t ) ? ?6t ? , p (t ) ? 4t ? ,由 x ? [0,??) 得 t ? 1

易知 p(t ) 在 [1,??) 上递增, 设 1 ? t1 ? t2 , h(t1 ) ? h(t2 ) ?

1 t

1 t

(t2 ? t1 )(6t1t2 ? 1) ? 0, t1t2
??????11 分

所以 h(t ) 在 [1,??) 上递减,

h(t ) 在 [1,??) 上的最大值为 h(1) ? ?7 , p(t ) 在 [1,??) 上的最小值为 p(1) ? 3 , 所以实数 a 的取值范围为 [?7,3] . ??????12


8


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