【创新设计】2015高考数学(苏教理)一轮配套课件11-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理_图文

第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识梳理 1.分类加法计数原理 完成一件事有 n类不同的方案,在第一类方案中有 m1 种不同 的方法,在第二类方案中有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类 方 案 中 有 mn 种 不 同 的 方 法 , 则 完 成 这 件 事 情 , 共 有 N = m1+m2+…+mn 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成 n个不同的步骤,完成第一步有m1 种 不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,……,完成第 n 步 有 mn 种 不 同 的 方 法 , 那 么 完 成 这 件 事 情 共 有 N = m1×m2×…×mn 种不同的方法. 3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事 情的不同方法的种数.它们的区别在于:分类加法计数原理 与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可 以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相 互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成. 辨析感悟 1.两个计数原理的理解 (1) 在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相 同. (×) (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成 这件事. (√) (3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法 是各不相同的. (√) (4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何 一个单独的步骤都能完成这件事. (×) 2.两个计数原理的应用 (5)(教材习题改编)三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢 一下,由甲开始踢,经过 5次传递后,毽又被踢回给甲,则 不同的传递方式共有10种. (√) (6)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样 的四位数共有14个. (√) [感悟·提升] 1.两点区别 一是分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类 并且只属于其中一类,简单的说分类的标准是“不重不漏, 一步完成”,如(1)、(2). 二是分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤 中任取一种方法,即是完成这个步骤的一种方法,简单的说 步与步之间的方法“相互独立,分步完成”,如(3)、(4). 2.两点提醒 一是分类时,标准要明确,应做到不重不漏;可借助几何直 观,探索规律,如(5). 二是分步时,要合理设计顺序、步骤,并注意元素是否可以 重复选取,如(6)中2,3可重复但至少各出现一次. 考点一 分类加法计数原理 【例1】 (2013·福建卷改编)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的 方 程 ax2 + 2x + b = 0 有实数解 的有序数 对 (a , b) 的个数为 ________. 解析 由于 a,b∈{-1,0,1,2}. b (1)当 a=0 时,有 x=-2为实根,则 b=-1,0,1,2 有 4 种可能; (2)当 a≠0 时,则方程有实根, ∴Δ=4-4ab≥0,所以 ab≤1.(*) ①当 a=-1 时,满足(*)式的 b=-1,0,1,2 有 4 种可能. ②当a=1时,b=-1,0,1,有3种可能. ③当a=2时,b=-1,0,有2种可能. ∴ 由分类加法计数原理,有序数对 (a , b) 共有 4 + 4 + 3 + 2 = 13(个). 答案 13 规律方法 分类标准是运用分类计数原理的难点所在,重点在于 抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置.首先根据题目特 点恰当选择一个分类标准;其次分类时应注意完成这件事情的 任何一种方法必须属于某一类. 【训练1】 某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取 出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共 有________. 解析 赠送一本画册,3 本集邮册,需从 4 人中选取一人赠 送画册,其余送邮册,有 C1 4种方法. 赠送 2 本画册,2 本集邮册,只需从 4 人中选出 2 人送画册, 其余 2 人送邮册,有 C2 4种方法. 2 由分类加法计数原理,不同的赠送方法有 C1 + C 4 4=10(种). 答案 10种 考点二 分步计数原理 【例2】 将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字 母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共 有________. 解析 先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有 A3 3 种不同排法.再排第二列,其中第二列第一行的字母共有 2 种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有 1 种排法.因 此共有 A3 2· 1=12(种)不同的排列方法. 3· 答案 12种 规律方法 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过 程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完 成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了, 才算完成这件事. (2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二 是步与步确保连续,逐步完成. 【训练2】 将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种 颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案 有________. 解析 因为只有三种颜色,又要涂六条棱,所以应该将四面 体的对棱涂成相同的颜色.故有3×2×1=6种涂色方案. 答案 6种 考点三 两个计数原理的综合应用 【例3】 (2014·济南质检)如图,用4种不同的颜色对图中5个区 域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻 的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有________. 1 2 3 审题路线 4 5 由于区域 1,2,3 与区域 4 相邻,由条件宜采用分步 处理,又相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3是否同色 分类求解. 解析 按区域 1 与 3 是否同色分类; (1)区域 1 与 3 同色; 先涂区域 1 与 3 有 4 种方法, 再涂区域 2,4,5(还 有 3 种颜

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