2018_2019学年高中数学第一章计数原理1.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案新人教A版选修2_3

第 1 课时

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.通过实例,能总结出分类加法计数原理,分步乘法计数原理. 2.正确地理解“完 成一件事情”的含义,能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”. 3.能利用两个 原理解决一些简单的实际问题.

1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案, 在第 1 类方案中有 m 种不同的方法, 在第 2 类方案中有 n 种不 同的方法.那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法.

分类加法计数原理的理解 分类加法计数原理中的“完成一件事有两个不同方案” ,是指完成这件事的所有方法可以分 为两类,即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务,两类中没有相同的方法,且完成这 件事的任何一种方法都在某一类中. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那么 完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法.

分步乘法计数原理的理解 分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”, 是指完成这件事的任何一种方法, 都 需要分成两个步骤. 在每一个步骤中任取一种方法, 然后相继完成这两个步骤就能完成这件 事,即各个步骤是相互依存的,每个步骤都要做完才能完成这件事.

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能完成这件事.( ) ) )

(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(

(4)在分步乘法计数原理中,事情若是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能 完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成.( 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,若要求从两类课程中选一门,则不同的选 法共有( A.3 种 ) B.4 种
1

)

C.7 种 答案:C

D.12 种

已知 x∈{2,3,7},y∈{-31,-24,4},则(x,y)可表示不同的点的个数是( A.1 C.6 答案:D B.3 D.9

)

某学生去书店,发现 2 本好书,决定至少买其中一本,则购买方式共有________种. 答案:3 加工某个零件分三道工序,第一道工序有 5 人可以选择,第二道工序有 6 人可以选择, 第三道工序有 4 人可以选择, 每两道工序中可供选择的人各不相同, 如果从中选 3 人每人做 一道工序,则选法有________种. 答案:120

2

探究点 1 分类加法计数原理[学生用书 P2] 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个? 【解】 法一:按十位上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 分成 8 类,在每一类中满 足条件的两位数分别有 8 个、7 个、6 个、5 个、4 个、3 个、2 个、1 个.由分类加法计数 原理知,满足条件的两位数共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 法二:按个位上的数字分别是 2,3,4,5,6,7,8,9 分成 8 类,在每一类中满足条件的 两位数分别有 1 个、2 个、3 个、4 个、5 个、6 个、7 个、8 个.由分类加法计数原理知, 满足条件的两位数共有 1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).

[变问法]在本例条件下,个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个? 解:当个位数字是 8 时,十位数字取 9,只有 1 个. 当个位数字是 6 时,十位数字可取 7,8,9,共 3 个. 当个位数字是 4 时,十位数字可取 5,6,7,8,9,共 5 个. 同理可知,当个位数字是 2 时,共 7 个, 当个位数字是 0 时,共 9 个. 由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有 1+3+5+7+9=25(个).

利用分类加法计数原理计数时的解题流程

某校高三共有三个班,各班人数如下表:

男生人数 高三(1)班 高三(2)班 高三(3)班 30 30 35

女生人数 20 30 20

总人数 50 60 55

(1)从三个班中选 1 名学生任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三(1)班、 (2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长, 有多 少种不同的选法? 解:(1)从每个班选 1 名学生任学生会主席,共有 3 类不同的方案:
3

第 1 类,从高三(1)班中选出 1 名学生,有 50 种不同的选法; 第 2 类,从高三(2)班中选出 1 名学生,有 60 种不同的选法; 第 3 类,从高三(3)班中选出 1 名学生,有 55 种不同的选法. 根据分类加法计数原理知, 从三个班中选 1 名学生任学生会主席, 共有 50+60+55=165(种) 不同的选法. (2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长,共有 3 类不同的方案: 第 1 类,从高三(1)班男生中选出 1 名学生,有 30 种不同的选法; 第 2 类,从高三(2)班男生中选出 1 名学生,有 30 种不同的选法; 第 3 类,从高三(3)班女生中选出 1 名学生,有 20 种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选 1 名学生任学生 会生活部部长,共有 30+30+20=80(种)不同的选法. 探究点 2 分步乘法计数原理[学生用书 P2] 从-2,-1,0,1,2,3 这六个数字中任选 3 个不重复的数字作为二次函数 y=ax +bx+c 的系数 a,b,c,则可以组成抛物线的条数为多少? 【解】 由题意知 a 不能为 0,故 a 的值有 5 种选法;
2

b 的值也有 5 种选法;c 的值有 4 种选法.
由分步乘法计数原理得:5×5×4=100(条).

1.[变问法]若本例中的二次函数图象开口向下,则可以组成多少条抛物线? 解:需分三步完成,第一步确定 a 有 2 种方法,第二步确定 b 有 5 种方法,第三步确定 c 有 4 种方法,故可组成 2×5×4=40 条抛物线.

x2 y2 2.[变条件、变问法]若从本例的六个数字中选 2 个作为椭圆 + =1 的参数 m,n,则可以 m n
组成椭圆的个数是多少? 解:据条件知 m>0,n>0,且 m≠n,故需分两步完成,第一步确定 m,有 3 种方法,第二步 确定 n,有 2 种方法,故确定椭圆的个数为 3×2=6(个).

利用分步乘法计数原理计数时的解题流程

从 1,2,3,4 中选三个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的

4

数有多少个? (1)三位数; (2)三位偶数. 解:(1)分三步: 第 1 步,排个位,有 4 种方法; 第 2 步,排十位,从剩下的 3 个数字中选 1 个,有 3 种方法; 第 3 步,排百位,从剩下的 2 个数字中选 1 个,有 2 种方法. 故共有 4×3×2=24 个满足要求的三位数. (2)第 1 步,排个位,只能从 2,4 中选 1 个,有 2 种方法; 第 2 步,排十位,从剩下的 3 个数中选 1 个,有 3 种方法; 第 3 步,排百位,只能从剩下的 2 个数字中选 1 个,有 2 种方法. 故共有 2×3×2=12 个满足要求的三位偶数. 探究点 3 两个计数原理的综合应用[学生用书 P3] 甲同学有 5 本不同的数学书、4 本不同的物理书、3 本不同的化学书,现在乙同学向 甲同学借书, (1)若借 1 本书,则有多少种借法? (2)若每科各借 1 本书,则有多少种借法? (3)若任借 2 本不同学科的书,则有多少种借法? 【解】 (1)需完成的事情是“借 1 本书”,所以借给乙数学、物理、化学书中的任何 1 本, 都可以完成这件事情.根据分类加法计数原理,共有 5+4+3=12 种借法. (2)需完成的事情是“每科各借 1 本书”,意味着要借给乙 3 本书,只有从数学、物理、化 学三科中各借 1 本, 才能完成这件事情. 根据分步乘法计数原理, 共有 5×4×3=60 种借法. (3)需完成的事情是“从三种学科的书中借 2 本不同学科的书”,可分三类: 第 1 类,借 1 本数学书和 1 本物理书,只有 2 本书都借,事情才能完成,根据分步乘法计数 原理,有 5×4=20 种借法; 第 2 类,借 1 本数学书和 1 本化学书,有 5×3=15 种借法; 第 3 类,借 1 本物理书和 1 本化学书,有 4×3=12 种借法. 根据分类加法计数原理,共有 20+15+12=47 种借法.

利用两个计数原理的解题策略 用两个计数原理解决具体问题时,首先,要分清是“分类”还是“分步”,区分分类还是分 步的关键是看这种方法能否完成这件事情.其次,要清楚“分类”或“分步”的具体标准, 在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则, 在“分步”时要正确设计“分步”的程序, 注意 步与步之间的连续性;有些题目中“分类”与“分步”同时进行,即“先分类后分步”或
5

“先分步后分类”. 现有 3 名医生、5 名护士、2 名麻醉师. (1)从中选派 1 名去参加外出学习,有多少种不同的选法? (2)从这些人中选出 1 名医生、1 名护士和 1 名麻醉师组成 1 个医疗小组,有多少种不同的 选法? 解:(1)分三类: 第一类,选出的是医生,有 3 种选法; 第二类,选出的是护士,有 5 种选法; 第三类,选出的是麻醉师,有 2 种选法. 根据分类加法计数原理,共有 3+5+2=10(种)选法. (2)分三步: 第一步,选 1 名医生,有 3 种选法; 第二步,选 1 名护士,有 5 种选法; 第三步,选 1 名麻醉师,有 2 种选法. 根据分步乘法计数原理知,共有 3×5×2=30(种)选法.

1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有 5 名同学只会用综合法证明,有 3 名同学只会用分析法证明, 现从这些同学中任选 1 名同学证明这个问题, 不同的选法种数为 ( A.8 C.18 解析:选 A.共有 5+3=8 种不同的选法. 2.已知集合 A={1,2},B={3,4,5},从集合 A、B 中先后各取一个元素构成平面直角坐 标系中的点的横、纵坐标,则可确定的不同点的个数为( A.5 C.10 B.6 D.12 ) ) B.15 D.30

解析:选 B.完成这件事可分两步:第一步,从集合 A 中任选一个元素,有 2 种不同的方法; 第二步, 从集合 B 中任选一个元素, 有 3 种不同的方法. 由分步乘法计数原理得, 一共有 2×3 =6 种不同的方法. 3.体育场南侧有 4 个大门,北侧有 3 个大门,某人到该体育场晨练,则他进、出门的方案 有( ) B.7 种 D.49 种

A.12 种 C.14 种 解析:选 D.要完成进、出门这件事,需要分两步,

6

第一步进体育场,第二步出体育场, 第一步进门有 4+3=7 种方法; 第二步出门也有 4+3=7 种方法, 由分步乘法计数原理知进、出门的方案有 7×7=49 种. 4.现有高一学生 50 人,高二学生 42 人,高三学生 30 人,组成冬令营. (1)若从中选 1 人作总负责人,共有多少种不同的选法? (2)若每年级各选 1 名负责人,共有多少种不同的选法? (3)若从中推选两人作为中心发言人,要求这两人要来自不同的年级,则有多少种选法? 解:(1)从高一选 1 人作总负责人有 50 种选法;从高二选 1 人作总负责人有 42 种选法;从 高三选 1 人作总负责人有 30 种选法.由分类加法计数原理,可知共有 50+42+30=122 种 选法. (2)从高一选 1 名负责人有 50 种选法;从高二选 1 名负责人有 42 种选法;从高三选 1 名负 责人有 30 种选法.由分步乘法计数原理,可知共有 50×42×30=63 000 种选法. (3)①高一和高二各选 1 人作中心发言人,有 50×42=2 100 种选法;②高二和高三各选 1 人作中心发言人, 有 42×30=1 260 种选法; ③高一和高三各选 1 人作中心发言人, 有 50×30 =1 500 种选法.故共有 2 100+1 260+1 500=4 860 种选法.

知识结构

深化拓展

7

两个计数原理的联系与区别 加法计数原理 共同点 乘法计数原理

两个原理都是计算完成某项工作的方法种数,最后的目的都 必须完成某件事 完成一件事,共有 n 类办法, 完成一件事,共分 n 个步骤, 关键词是“分类” 每类办法都能独立地完成这 件事,每一种办法都是独立 关键词是“分步” 每一步得到的只是中间结 果,任何一步都不能独立完 成这件事,缺少任何一步也 不能完成这件事,只有各个 步骤都完成了,才能完成这 件事 各步之间是关联的、独立的, “关联”确保不遗漏, “独 立”确保不重复

区别一

区别二

的且每次得到的是最后结 果,只需一种方法就可完成 这件事

区别三

各类办法之间是互斥的、并 列的、独立的

,
[A 基础达标]

1.(2018·西安一中高二检测)完成一项工作,有两种方法,有 5 个人只会用第一种方法, 另外有 4 个人只会用第二种方法,从这 9 个人中选 1 人完成这项工作,不同的选法种数是 ( A.5 C.9 ) B.4 D.20

解析:选 C.由分类加法计数原理求解,5+4=9(种).故选 C. 2.已知集合 M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点 的坐标,可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是( A.18 C.14 B.16 D.10 )

解析:选 C.分两类:第一类 M 中取横坐标,N 中取纵坐标,共有 3×2=6(个)第一、二象限 的点;第二类 M 中取纵坐标,N 中取横坐标,共有 2×4=8(个)第一、二象限的点.综上可

8

知,共有 6+8=14(个)不同的点. 3. 现有 4 名同学去听同时进行的 3 个课外知识讲座, 每名同学可自由选择其中的一个讲座, 不同选法的种数是( A.81 C.48 ) B.64 D.24
4

解析:选 A.每个同学都有 3 种选择,所以不同选法共有 3 =81(种),故选 A. 4.如果 x,y∈N,且 1≤x≤3,x+y<7,那么满足条件的不同的有序自然数对(x,y)的个 数是( A.15 C.5 ) B.12 D.4

解析:选 A.分情况讨论:①当 x=1 时,y=0,1,2,3,4,5,有 6 种情况; ②当 x=2 时,y=0,1,2,3,4,有 5 种情况; ③当 x=3 时,y=0,1,2,3,有 4 种情况.由分类加法计数原理可得,满足条件的有序自 然数对(x,y)的个数是 6+5+4=15. 5.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则不同的行车路线有( A.24 种 C.12 种 B.16 种 D.10 种 )

解析:选 C.完成该任务可分为四类,从每一个方向的入口进入都可作为一类,如图,从第 1 个入口进入时,有 3 种行车路线;同理,从第 2 个,第 3 个,第 4 个入口进入时,都分别有 3 种行车路线,由分类加法计数原理可得共有 3+3+3+3=12 种不同的行车路线,故选 C.

6.已知集合 A={0,3,4},B={1,2,7,8},集合 C={x|x∈A 或 x∈B},则当集合 C 中 有且只有一个元素时,C 的情况有________种. 解析:分两种情况:当集合 C 中的元素属于集合 A 时,有 3 种;当集合 C 中的元素属于集合

B 时,有 4 种.因为集合 A 与集合 B 无公共元素,所以集合 C 的情况共有 3+4=7(种).
答案:7 7.某班小张等 4 位同学报名参加 A,B,C 三个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组, 且小张不能报 A 小组,则不同的报名方法有________种. 解析:小张的报名方法有 2 种,其他 3 位同学各有 3 种,所以由分步乘法计数原理知共有 2×3×3×3=54 种不同的报名方法. 答案:54 8.直线方程 Ax+By=0,若从 0,1,2,3,5,7 这 6 个数字中每次取两个不同的数作为 A,

9

B 的值,则可表示________条不同的直线.
解析:若 A 或 B 中有一个为零时,有 2 条;当 AB≠0 时,有 5×4=20 条,则共有 20+2= 22(条), 即所求的不同的直线共有 22 条. 答案:22 9.(2018·云南丽江测试)现有高二四个班学生 34 人,其中一、二、三、四班各 7 人、8 人、 9 人、10 人,他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选一名组长,有多少种不同的选法? (3)推选二人作中心发言,这二人需来自不同的班级,有多少种不同的选法? 解:(1)分四类:第一类,从一班学生中选 1 人,有 7 种选法; 第二类,从二班学生中选 1 人,有 8 种选法; 第三类,从三班学生中选 1 人,有 9 种选法; 第四类,从四班学生中选 1 人,有 10 种选法. 所以,共有不同的选法 N=7+8+9+10=34(种). (2)分四步,第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长,所以共有 不同的选法 N=7×8×9×10=5 040(种). (3)分六类,每类又分两步,从一、二班学生中各选 1 人,有 7×8 种不同的选法; 从一、三班学生中各选 1 人,有 7×9 种不同的选法; 从一、四班学生中各选 1 人,有 7×10 种不同的选法; 从二、三班学生中各选 1 人,有 8×9 种不同的选法; 从二、四班学生中各选 1 人,有 8×10 种不同的选法; 从三、四班学生中各选 1 人,有 9×10 种不同的选法. 所以共有不同的选法 N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种). 10.(1)如图,在由电键组 A 与 B 所组成的并联电路中,要接通电源且仅闭合其中一个电键, 使电灯 C 发光的方法有多少种?

(2)如图,由电键组 A,B 组成的电路中,要闭合两个电键接通电源,使电灯 C 发光的方法有 几种?

10

解:(1)只要闭合图中的任一电键,电灯即发光.由于在电键组 A 中有 2 个电键,电键组 B 中有 3 个电键,且分别并联,应用分类加法计数原理,所以共有 2+3=5(种)接通电源使电 灯发光的方法. (2)只有在闭合 A 组中 2 个电键中的一个之后,再闭合 B 组中 3 个电键中的一个,才能使电 灯的电源接通,电灯才能发光.根据分步乘法计数原理,共有 2×3=6(种)不同的接通方法 使电灯发光. [B 能力提升]

11.(2018·郑州高二检测)从集合{1,2,3,…,10}中任意选出 3 个不同的数,使这 3 个 数成等比数列,这样的等比数列的个数为( A.3 C.6 ) B.4 D.8

解析:选 D.以 1 为首项的等比数列为 1,2,4;1,3,9.以 2 为首项的等比数列为 2,4, 8.以 4 为首项的等比数列为 4,6,9.把这 4 个数列的顺序颠倒,又得到 4 个数列,所以所 求的数列共有 2×(2+1+1)=8(个). 12.(2018·长沙高二检测)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax +2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b)的个数为( A.14 C.12 ) B.13 D.10
2

解析:选 B.对 a 进行讨论,为 0 与不为 0,当 a 不为 0 时还需考虑判别式与 0 的大小. 若 a=0,则 b=-1,0,1,2,此时(a,b)的取值有 4 个; 若 a≠0,则方程 ax +2x+b=0 有实根,需 Δ =4-4ab≥0,所以 ab≤1, 此时(a,b)的取值为(-1,0),(-1,1),(-1,-1),(-1,2),(1,1),(1,0),(1, -1),(2,-1),(2,0),共 9 个. 所以(a,b)的个数为 4+9=13.故选 B. 13.已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},点 P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M). (1)点 P 可以表示平面上的多少个不同点? (2)点 P 可以表示平面上的多少个第二象限的点? (3)点 P 可以表示多少个不在直线 y=x 上的点? 解:(1)完成这件事分为两个步骤:a 的取法有 6 种,b 的取法有 6 种.由分步乘法计数原理 知,点 P 可以表示平面上 6×6=36(个)不同点. (2)根据条件,需满足 a<0,b>0.
11
2

完成这件事分两个步骤:a 的取法有 3 种,b 的取法有 2 种,由分步乘法计数原理知,点 P 可以表示平面上 3×2=6(个)第二象限的点. (3)因为点 P 不在直线 y=x 上,所以第一步 a 的取法有 6 种,第二步 b 的取法有 5 种,根据 分步乘法计数原理可知,点 P 可以表示 6×5=30(个)不在直线 y=x 上的点. 14.(选做题)某节目中准备了两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信, 甲信箱中有 30 封,乙信箱中有 20 封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之 星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? 解: 抽奖过程分三步完成, 考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中, 故可分两种情形考虑, 分两大类: (1)幸运之星在甲箱中抽,先定幸运之星,再在两箱中各定一名幸运伙伴有 30×29×20=17 400 种结果. (2)幸运之星在乙箱中抽,同理有 20×19×30=11 400 种结果. 因此共有不同结果 17 400+11 400=28 800 种.

12


相关文档

2018-2019学年人教A版高中数学选修2-3第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
2018-2019学年高中数学(人教A版)选修2-3练习:1.1 第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理应用案
2018_2019学年高中数学第一章计数原理1.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理习题新人教A版选修2_3
2018-2019学年高中数学(人教A版)选修2-3课件:1.1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
2018_2019学年高中数学第一章第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理高效演练新人教A版选修2_3
2018-2019学年高中数学-选修2-3分层优化练习:第1章 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
2018_2019学年高中数学第一章计数原理1.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件新人教A版选修2_3
2018-2019学年最新高中数学苏教版选修2-3教学案:1.1 第二课时 分类计数原理与分步计数原理的应用-缺答案
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-3课件:第一章 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
2018_2019学年高中数学第一章计数原理1.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习新人教A版选修2_3
电脑版