宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期一模考试数学(文)试卷附答案解析

石嘴山三中 2019 届高三一模

数学(文科)试卷

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的.

1.设复数满足

,则 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

分析:先根据复数除法得,再根据复数的模求结果.

详解:因为

,所以

,

因此

选 D.

点睛:首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如

. 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数

部为 、虚部为 、模为

、对应点为 、共轭为

2.已知集合

,则下图中阴影部分所表示的集合为( )

的实

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据 Venn 图确定阴影部分对应的集合,结合集合的运算进行求解即可.

【详解】阴影部分对应的集合为 A∩?RB, ,

则?RB={x|﹣1<x<1}, 则 A∩?RB={0},

1

故选:B. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算,结合 Venn 图表示集合关系是解决本题的关键.

3.已知

,则

()

A. 1 【答案】C 【解析】 【分析】

B. 2

C. 3

D. 4

由二倍角的正弦公式及同角基本关系式化简,可得

,弦化切,即可求解.

【详解】由 sin2α =2sinα cosα ,

可得







即 tan2α ﹣3tanα +1=0.

可得



故选:C. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用,属于基本知识的考查.

4.设命题

在定义域上为减函数;命题

为奇函数,则下列命题中真命题是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据条件判断命题 p,q 的真假,结合复合命题真假关系进行判断即可.

【详解】f(x) 在定义域上不满足减函数的定义,



时,即

时,

故命题 p 是假命题,

sinx 为奇函数,故命题 q 是真命题,

则(¬p)∧q 为真命题, 其余为假命题, 故选:B. 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断,求出命题 p,q 的真假是解决本题的关键.

2

5.已知等比数列 的前 n 项和为 ,若

,且 , , 成等差数列,则

A. 10

B. 12

C. 18

D. 30

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知可得关于首项与公比的方程组,联立求得首项与公比,然后代入等比数列的前 n 项和公式计算.

【详解】在等比数列 中,由

,得

,即 ,

又 , , 成等差数列,

,即



联立 得: 舍或









故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质,考查了等比数列的前 n 项和,是中档题. 6.执行如图所示的程序框图,若输出 n 的值为 9,则判断框中可填入( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

3

根据程序框图进行模拟计算即可.

【详解】模拟程序框图得到程序的功能是计算:S=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.

满足条件时输出 n=9,

则条件框中对应的条件为 S≥45?,

故选:C.

【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用,根据程序判断程序的功能是解决本题的关键.

7.在侦破某一起案件时,警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人,现有四条明确信息:(1)

此案是两人共同作案;(2)若甲参与此案,则丙一定没参与;(3)若乙参与此案,则丁一定参与;(4)若丙没

参与此案,则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是( )

A. 丙、丁

B. 乙、丙

C. 甲、乙

D. 甲、丁

【答案】A

【解析】

【分析】

假设参与此案的两名嫌疑人是甲、乙或乙、丙或甲、丁或丙、丁,依次分析题设条件,能求出结果.

【详解】假设参与此案的两名嫌疑人是丙、丁,符合题意,故 A 正确;

假设参与此案的两名嫌疑人是乙、丙,

则由乙参与此案,得丁一定参与,不合题意,故 B 错误;

假设参与此案的两名嫌疑人是甲、乙,

则由乙参与此案,得丁一定参与,不合题意,故 C 错误;

假设参与此案的两名嫌疑人是甲、丁,

则由甲参与此案,则丙一定没参与,丙没参与此案,则丁也一定没参与,不合题意,故 D 错误;

故选:A.

【点睛】本题考查参与此案的两名嫌疑人的判断,考查合情推理的基础知识,是基础题.

8.函数

的图象大致是 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D
4

【解析】 【分析】 利用奇偶性排除 B,利用极值点及单调性排除 A、C,即可得结论.

【详解】∵



∴函数为偶函数,排除 B, 又 x>0 时,y=2xlnx,

y′=2(1+lnx)=0 时,x= ,

即函数在(0, )单减,在(

)单增,排除 A、C,

故选 D.

【点睛】本题考查了函数图象的判断,考查了利用导数研究函数的极值、单调性及函数性质的应用,属于中档

题.

9.已知 m ,n 是两条不同的直线,

是三个不同的平面,则下列命题正确的是( )

A. 若 , ,则

B. 若

,则

C. 若

, , ,则

D. 若 , ,则

【答案】C

【解析】

【分析】

利用线面垂直、线面平行、面面垂直的性质定理分别对选项分析选择.

【详解】对于 A,若 , ,则 或者 ;故 A 错误;

对于 B,若

,则 可能在 内或者平行于 ;故 B 错误;

对于 C,若

, , ,过 分作平面 于 ,作平面

,则根据线面平行的性质定理





,∴

,根据线面平行的判定定理,可得







,根据线面平行的性质定理可得

,又



∴ ;故 C 正确;

对于 D.若 , ,则 与 可能垂直,如墙角;故 D 错误;

故选:C.

【点睛】本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理及应用,涉及空间线线平行的传递性,考查了

空间想象能力,熟练运用定理是关键.

10.已知数列 的首项为 ,第 2 项为 ,前 项和为 ,当整数 时,

恒成立,则

等于
5

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

结合题目条件,计算公差,证明该数列为等差数列,计算通项,结合等差数列前 n 项和公式,计算结果,即可。

【详解】结合

可知,

,得到

,所以

,所以

所以

,故选 D。

【点睛】本道题考查了等差数列的通项计算方法,考查了等差数列前 n 项和计算方法,难度中等。

11.已知 分别为双曲线

的左,右焦点。过右焦点 的直线

在第一象限内

与双曲线 E 的渐近线交于点 P,与 y 轴正半轴交于点 Q,且点 P 为 的方程为( )

的中点,

的面积为 4,则双曲线 E

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】 求得双曲线的一条渐近线方程,联立直线 x+y=c 可得 P,Q 的坐标,再由中点坐标公式,可得 a=b,由三角 形的面积公式可得 c,进而得到 a,b,可得双曲线的方程.

【详解】双曲线 E:

l(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y x,

代入直线 x+y=c,可得 P( , ),

且 Q(0,c), (c,0),

点 P 为 QF2 的中点,可得 c



可得 a=b,

△QF1F2 的面积为 4,即 ?2c?c=4, 解得 c=2,a=b ,

则双曲线的方程为

1.

故选:B. 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程和中点坐标公式,以及化简运算能力,属于基础题.

6

12.数学上称函数

( , , )为线性函数.对于非线性可导函数 ,在点 附近一点 的函数

值 ,可以用如下方法求其近似代替值:

.利用这一方法,

的近似代替

值( ) A. 大于 【答案】A 【解析】

B. 小于

C. 等于

D. 与 的大小关系无法确定



,令

,则



,故近似值大于 .

点睛:本题主要考查新定义概念的理解,考查基本初等函数的导数的求法,考查近似值的一种求法,考查比较 大小的方法.题目所给新定义是一种近似值的求法,阅读理解后,将所求 的近似值利用新定义的概念来表示,



,然后利用平方的方法进行大小的比较.

二.填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.以抛物线 y2=8x 的焦点为圆心,且与直线 y=x 相切的圆的方程为______.
【答案】(x-2)2+y2=2 【解析】 【分析】 依题意可求得抛物线焦点即圆心的坐标,进而根据点到直线的距离公式求得圆的半径,则圆的方程可得.

【详解】解:依题意可知抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),到直线直线 y=x 的距离即圆的半径为



故圆的标准方程为:(x﹣2)2+y2=2.

故答案为:(x﹣2)2+y2=2.

【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质,圆的方程,点到直线的距离等问题.属基础题.

14.已知

),

,若

,则 在 方向上射影的数量_______________.

【答案】-1

【解析】

【分析】

(2+k,4),由( )⊥ ,可得( )? 0,解得 k,再运用投影的公式可得 在 方向上射影

的数量.

【详解】

(2+k,4),

7

∵( )⊥ ,∴( ∴ (﹣4,3).

)? 2(2+k)+4=0,解得 k=﹣4.

则 在 方向上射影的数量

1.

故答案为:﹣1. 【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

15.已知实数 , 满足

,则

的最小值是__________.

【答案】6 【解析】 【分析】

画出不等式组表示的可行域,由

可得

,平移直线

,结合图形可得最优解,于是可

得所求最小值. 【详解】画出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.



可得



平移直线

,结合图形可得,当直线

经过可行域内的点 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,此时

z 取得最小值.

由题意得 A 点坐标为 ,







的最小值是 6.

故答案为 6.

【点睛】求目标函数

的最值时,可将函数

转化为直线的斜截式:



8

通过求直线的纵截距 的最值间接求出 z 的最值.解题时要注意:①当 时,截距 取最大值时,z 也取最大 值;截距 取最小值时,z 也取最小值;②当 时,截距 取最大值时,z 取最小值;截距 取最小值时,z 取 最大值. 16.给出下列 4 个命题,其中正确命题的序号____________.





②函数 ③函数

有 个零点; 的图象关于点 对称。

④已知

,函数

的图象过点 ,则 的最小值是 .

【答案】②③ 【解析】 【分析】 ①分别判断三个数的取值范围进行比较; ②利用函数零点与方程的关系转化为两个函数图象交点问题进行判断; ③判断函数的奇偶性,利用图象平移进行判断; ④利用基本不等式的性质进行求解判断. 【详解】①log0.53<0, 1,0<( )0.2<1,

∴log0.53<( )0.2 ,故①错误, ②函数 f(x)=log4x﹣2sinx 有 5 个零点; 由 f(x)=log4x﹣2sinx=0 得 log4x=2sinx, 作出函数 y=log4x 和 y=2sinx 的图象如图:

由图象两个函数有 5 个交点,即函数 f(x)有 5 个零点,故②正确,

③由

0 得 x(x﹣4)<0,得 0<x<4,



lgx﹣lg(4﹣x),

9

则 f(x+2)=lg(x+2)﹣lg(4﹣x﹣2)=lg(x+2)﹣lg(2﹣x), 设 g(x)=lg(x+2)﹣lg(2﹣x), 则 g(﹣x)=lg(2﹣x)﹣lg(2+x)=﹣(lg(x+2)﹣lg(2﹣x))=﹣g(x),

即 g(x)是奇函数,关于原点对称,则函数

的图象关于点(2,0)对称.故③正确,

④已知 a>0,b>0,函数 y=2aex+b 的图象过点(0,1), 则 2a+b=1,



( )(2a+b)=2+1

3+2

3+2 ,

当且仅当

,即 b

时取等号,即 的最小值是 3+2 ,故④错误,

故正确是②③,

故答案为:②③

【点睛】本题主要考查命题的真假判断,涉及函数零点、指对函数单调性的应用及对数函数对称性的问题,综

合性较强,有一定的难度.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.在

中,内角

的对边分别为 ,已知

.

(1)证明:



(2)若

,求 边上的高.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】 分析:(1)由

(2)由

,结合余弦定理可得

详解:(1)证明:因为

所以



所以





.

(2)解:因为



所以

.

,结合正弦定理可得 ,从而可求得 边上的高.


,即





,所以

,解得 ,

所以



10

所以 边上的高为

.

点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间

的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:

第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.

第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.

第三步:求结果.

18.经过多年的努力,炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路,成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了

更好地销售,现从某村的黄桃树上随机摘下了 100 个黄桃进行测重,其质量分布在区间

内(单位:克),

统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示:

(1)按分层抽样的方法从质量落在



的黄桃中随机抽取 5 个,再从这 5 个黄桃中随机抽 2

个,求这 2 个黄桃质量至少有一个不小于 400 克的概率;

(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的黄桃树上大约还有

100000 个黄桃待出售,某电商提出两种收购方案:

A.所有黄桃均以 20 元/千克收购;

B.低于 350 克的黄桃以 5 元/个收购,高于或等于 350 克的以 9 元/个收购.

请你通过计算为该村选择收益最好的方案.

(参考数据:



【答案】(1) (2)B

【解析】

【分析】

(1)由题得黄桃质量在



的比例为 ,记抽取质量在

的黄桃为 , , ,质量



的黄桃为 , ,列出取出 2 个的所有可能,找出其中质量至少有一个不小于 400 克的事件个数,

根据古典概型即可求解(2)分别计算两种方案的收益,比较收益大小即可确定需选择的方案.
11

【详解】(1)由题得黄桃质量在



的比例为 ,

∴应分别在质量为



的黄桃中各抽取 3 个和 2 个.

记抽取质量在

的黄桃为 , , ,质量在

的黄桃为 , ,

则从这 5 个黄桃中随机抽取 2 个的情况共有以下 10 种:

,,,,,,,,,

其中质量至少有一个不小于 400 克的 7 种情况,故所求概率为 .

(2)方案 好,理由如下:

由频率分布直方图可知,黄桃质量在

的频率为

同理,黄桃质量在









的频率依次为

0.16,0.24,0.3,0.2,0.05

若按方案 收购:

∵黄桃质量低于 350 克的个数为



黄桃质量不低于 350 克的个数为 55000 个

∴收益为



若按方案 收购:

根据题意各段黄桃个数依次为 5000,16000,24000,30000,20000,5000,于是总收益为

(元)

∴方案 的收益比方案 的收益高,应该选择方案 .

【点睛】本题主要考查了频率分布直方图,古典概型,分层抽样,属于中档题.

19.如图,AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上,

,矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在的平面互相垂直,已





.

(1)求证:平面

平面 ;

(2)设几何体



的体积分别为 、 ,求 .

【答案】(1)详见解析;(2) . 【解析】
12

【分析】

(1)利用面面垂直的性质定理得到 平面 ,再利用线面垂直的判定定理得到 平面

的判定定理即可得到证明;(2)利用棱锥体积公式计算求比值即可.

【详解】(1)如图,矩形 中,

,∵平面

平面 ,平面

平面

∴ 平面 ,

∵ 平面 ,∴

.

又∵ 为圆 的直径,∴





, 、 平面 ,

∴ 平面 ,

∵ 平面 ,∴平面

平面 .

另解:也可证明 平面 .

,由面面垂直 ,

(2)几何体 ∴ 平面

是四棱锥、 .

是三棱锥,过点 作

,交 于 .∵平面

平面 ,







【点睛】本题考查面面垂直的判定定理和性质定理的应用,考查棱锥体积公式的应用,属基础题.

20.已知 , 分别为椭圆

的左、右焦点,点

在椭圆上,且

轴,



周长为 6.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过点

的直线与椭圆 交于 , 两点,设 为坐标原点,是否存在常数 ,使得

恒成立?请说明理由.

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)当 时,

【解析】 【分析】 (Ⅰ)由三角形周长可得

,求出 ,再根据
13

即可写出椭圆标准方程(Ⅱ)假设存在常

数 满足条件,分两类讨论(1)当过点 的直线 的斜率不存在时,写出 A,B 坐标,代入

可得 (2)当过点 的直线 的斜率存在时,设直线 的方程为

,设

程组,利用根与系数的关系代入

.

【详解】(Ⅰ)由题意,



的周长为 6,∴





∴,

∴椭圆的标准方程为

.

(Ⅱ)假设存在常数 满足条件.

(1)当过点 的直线 的斜率不存在时,









∴当 时,



(2)当过点 的直线 的斜率存在时,设直线 的方程为

,设





,联立方

中化简即可求出



联立

,化简得







.





,解得: 即 时,



综上所述,当 时,

.

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,向量的坐标运算,分类讨论的思想,属于

难题.

21.已知函数

,.

(1)若曲线

在点

处的切线与直线

垂直,求函数 的极值;

(2)设函数

.当

时,若区间 上存在 ,使得

,求实数 的取值范围.

( 为自然对数底数)

【答案】(1)当 时, 取得极小值 ;(2)

.

【解析】

14

试题分析:(1)求出函数的导数,计算 的值,求出 ,从而求出 的单调区间,求出函数的极值即可;(2)



,根据函数的单调性求出 的最小值,从而求出 的范围即可.

试题解析:(1)

( ),因为曲线

在点(1,f(1))处的切线与直线



直,所以

,即

,解得 .所以

, ∴当

时,

,在 上

单调递减;当

时,

,f(x)在(2,+∞)上单调递增;∴当 x=2 时,f(x)取得极小值

,∴f(x)极小值为 ln2.

(2)令

,则

使得

,只需在区间 上 的最小值小于零.令



时, 在 上单调递减,则 的最小值为 ,∴

,欲使在区间上 上存在 ,

得,



.当



,解得





,∴

;当

,即 时, 在 上单调递增,则 的最小值为 ,

∴ 调递减,在 ∴

,解得

,∴

;当

,即

时, 在

上单调递增,则 的最小值为

,∵

,∴

,此时

不成立.综上所述,实数 m 的取值范围为

上单 ,

点睛:本题考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率,函数的单调性、极值问题,

考查导数的应用以及转化思想,是一道综合题;证明

恒成立,即构造函数

,利用导

数研究函数的单调性,求出 的最小值,使之成立即可.

22.在平面直角坐标系中,将曲线 向左平移 2 个单位,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵

坐标缩短为原来的 得到曲线 ,以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系。曲线 的极坐标

方程为



(1)求曲线 的参数方程;

(2)已知点 在第一象限,四边形

大时点 的坐标.

是曲线 的内接矩形,求内接矩形

周长的最大值,并求周长最

【答案】(1)

(2) ,

【解析】 【分析】 (1)先将曲线 化为普通方程,再根据坐标变换规律,即可求得曲线 的普通方程和参数方程;

15

(2)根据题意,设点

,则

即可求出最大值及其对应的点 的坐标.

【详解】解:(1)由





代入,整理得曲线 的普通方程为

设曲线 上的点为 ,变换后的点为

,利用辅助角公式化简周长的解析式, ,

由题可知坐标变换为

,即

代入曲线 的普通方程,整理得

曲线 的普通方程为



曲线 的参数方程为

( 为参数).

(2)设四边形

的周长为,设点















且当

时,取最大值,此时



所以,



,此时

.

【点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法,考查运用动点参数法求解问题,

考查运算求解能力和数形结合思想,考查函数与方程思想.

23.已知函数

.

(1)当 时,求关于 的不等式

的解集;

(2)若关于 的不等式

有解,求 的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

【解析】 【分析】 (1)将 代入不等式,得到 (2)先根据不等式 【详解】(1)当 时,不等式为

,再通过讨论 的范围,即可求出结果;

有解,可得只需 大于等于

的最小值,进而可求出结果.



16

若 ,则

,即





,则 ,舍去,

若 ,则

,即 ,

综上,不等式的解集为



(2)

当且仅当

时等号成立,

题意等价于



, 的取值范围为

.

【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法,以及不等式成立的问题,根据含绝对值不等式的性质以及分类 讨论的思想,即可求解,属于常考题型.

17

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