北京市西城区(普通校)2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题

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北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末试卷

高一数学
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 本卷满分:100 分 三 题号 分数 一 二 17 18 19 本卷总分

2015.1

A 卷 [必修 模块 4]

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合要求的. 1.已知 ? ? (0, 2π) ,且 sin ? ? 0 , cos ? ? 0 ,则角 ? 的取值范围是( (A) (0, )

) (D) (

π 2

(B) ( , π )

π 2

(C) ( π ,

3π ) 2

3π , 2π) 2

2.已知向量 a ? (2, 8) , b ? (?4, 2) .若 c ? 2a ? b ,则向量 c ? ( (A) (0,18) (B) (8,14) (C) (12,12) )

) (D) (?4, 20)

3.已知角 ? 的终边经过点 P(3, ?4) ,那么 sin ? ? ( (A)

3 5

(B) ?

4 5

(C)

3 4

(D) ?

3 4

4.在△ ABC 中, D 是 BC 的中点,则 AD ? (

????



? ???? 1 ??? ( AB ? AC ) 2 ? ??? ? 1 ??? (C) ( AB ? BC ) 2
(A) 5.函数 y ? (sin x ? cos x) 的最小正周期为(
2

? ???? 1 ??? ( AB ? AC ) 2 ? ??? ? 1 ??? (D) ( AB ? BC ) 2
(B) ) (C) ? (D) )

(A) 2 ?

(B)

3π 2

π 2

6.如果函数 y ? cos( x ? ? ) 的一个零点是

? ,那么 ? 可以是( 3
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(A)

? 6

(B) ?

? 6

(C)

? 3

(D) ?

? 3

7.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 3 , E 是 CD 的中点,那么 AE ? DC ? ( (A) 4 (B) 2

??? ? ????

) (C) 3 ) (D) [?2, 3] (D)1

8.当 x ? [0, π] 时,函数 f ( x) ? cos x ? 3sin x 的值域是( (A) [?2,1] (B) [?1, 2] (C) [?1,1]

9.为得到函数 y ? cos( x ?

π ) 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图象( ) 6 π π (A)向左平移 个单位 (B)向右平移 个单位 3 3 2π 2π (C)向左平移 个单位 (D)向右平移 个单位 3 3


10.已知 a , b 为单位向量,且 a ? b ? m ,则 | a ? tb | (t ? R ) 的最小值为( (A) 1 ? m2 (B) 1 (C) | m |

(D) 1 ? m2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上. 11.若向量 a ? (1, 2) 与向量 b ? (? , ?1) 共线,则实数 ? ? _____. 12.已知 ? 是第二象限的角,且 sin ? ? 13.若 ? ? ( ?

? ? , ) ,且 tan ? ? 1 ,则 ? 的取值范围是_____. 2 2

5 ,则 cos? ? _____. 13

14.已知向量 a ? (1,3) , b ? (2, ?1) , c ? (1,1) .若 c ? ?a + ?b (? , ? ? R) ,则 15.函数 f ( x) ? sin x ? sin x ? cos x 的最大值是_____.
2

? ? _____. ?

16.关于函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ( x ? R ) ,给出下列三个结论:
·2·

? 6

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2? ); 3 ? ? ② 对于任意的 x ? R ,都有 f ( x ? ) ? f ( x ? ) ; 2 2 ? ? ③ 对于任意的 x ? R ,都有 f ( ? x) ? f ( ? x) . 3 3
① 对于任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? cos(2 x ? 其中,全部正确结论的序号是_____.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 tan ? ? ?2 ,其中 ? ? ( , ?) . (Ⅰ)求 tan(? ?

? 2

π ) 的值; 4

(Ⅱ)求 sin 2? 的值.

18. (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (cos ? ,sin ?) , b ? (? , (Ⅰ)当 ? ? 30 时,求 | a ? b | ; (Ⅱ)证明:向量 a ? b 与 a ? b 垂直; (Ⅲ)若向量 a 与 b 夹角为 60 ,求角 ? .
?

1 3 ) ,其中 ? 是锐角. 2 2

?

19. (本小题满分 10 分) 已 知 函 数 f ( x) ? a sin x ? b cos x , 其 中 a ? Z , b ? Z . 设 集 合 A ? {x | f ( x) ? 0} ,

B ? {x | f ( f ( x)) ? 0} ,且 A ? B .
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(Ⅰ)证明: b ? 0 ; (Ⅱ)求 a 的最大值.

B卷
题号 分数 一

[学期综合]
二 6 7

本卷满分:50 分

8

本卷总分

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上. 1.已知集合 A ? {a, b} ,则满足 A ? B ? {a, b, c} 的不同集合 B 的个数是_____. 2.若幂函数 y ? x 的图象过点 (4, 2) ,则 ? ? _____.
?

3.函数 f ( x ) ? ?

?lg x,
2

x ? 0,

? x ? 4, x ? 0,

的零点是_____.

4.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x ) 在 [0, ??) 上是减函数.若 f (m) ? f (2) ,则 实数 m 的取值范围是_____. 5 . 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 D . 若 对 于 任 意 的 x1 ? D , 存 在 唯 一 的 x2 ? D , 使 得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? M 成 立 , 则 称 函 数 f ( x) 在 D 上 的 几 何 平 均 数 为 M . 已 知 函 数
g ( x) ? 3x ? 1( x ?[0,1]) ,则 g ( x) 在区间 [0,1] 上的几何平均数为_____.

二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
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6. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)( x ? a) ,其中 a ? R . (Ⅰ)若 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值.

7. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中 a , b 为常数.
x x

(Ⅰ)若 ab ? 0 ,判断 f ( x ) 的单调性,并加以证明; (Ⅱ)若 ab ? 0 ,解不等式: f ( x ? 1) ? f ( x) .

8. (本小题满分 10 分) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 同时满足下列两个条件: ① 对任意 x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 ;② 对任意 x ? R ,有 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 3 . 设 g ( x) ? f ( x) ? x . (Ⅰ)证明: g ( x ? 3) ? g ( x) ? g ( x ? 2) ; (Ⅱ)若 f (4) ? 5 ,求 f (2014) 的值.

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高一数学参考答案及评分标准
A 卷 [必修 模块 4] 满分 100 分
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1.D; 2.B; 3.B; 4.A; 5.C;

2015.1

6.A; 7.B; 8.A; 9.C; 10.D.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. ?

1 ; 2 3 ; 2

12. ?

12 ; 13

13. ( ,

? ? ); 4 2

14.

15.

1? 2 ; 2

16. ① ② ③.

注:16 题,少解不给分. 三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:因为 tan ? ? ?2 ,

π tan ? ? tan π 4 所以 tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? ? tan π 4
? 3.
(Ⅱ)解:由 ? ? ( , π ) , tan ? ? ?2 , 得 sin ? ?

【 3 分】

【 6 分】

π 2

2 , 【 8 分】 5
4 . 5

cos ? ? ?

1 . 5

【10 分】

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

【12 分】

18.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:当 ? ? 30 时, a ? (
?

3 1 , ), 2 2

【 1 分】

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所以 a ? b = (

3 ?1 3 ?1 , ), 2 2

【 2 分】

所以 | a ? b | ? (

3 ?1 2 3 ?1 2 ) ?( ) = 2. 2 2
1 3 ), 2 2

【 4 分】

(Ⅱ)证明:由向量 a ? (cos ? , sin ? ) , b ? (? ,

得 a ? b ? (cos ? ?

1 3 1 3 ,sin ? ? ) , a ? b ? (cos ? ? ,sin ? ? ), 2 2 2 2
【 5 分】

由 ? ? (0, ) ,得向量 a ? b , a ? b 均为非零向量. 因为 (a ? b) ? (a ? b) ? | a | ? | b | ? (sin ? ? cos ? ) ? ( ? ) ? 0 ,
2 2 2 2

π 2

1 4

3 4

【 7 分】 【 8 分】

所以向量 a ? b 与 a ? b 垂直. (Ⅲ)解:因为 | a | ? | b | ? 1 ,且向量 a 与 b 夹角为 60 , 所以 a ? b ? | a || b | ? cos 60 ?
?

?

1 . 2

【10 分】

所以 ?

1 3 1 cos ? ? sin ? ? , 2 2 2
π 6 1 . 2
【12 分】

即 sin(? ? ) ? 因为 0 ? ? ? 所以 ? ?

π π π π , 所以 ? ? ? ? ? , 2 6 6 3

【13 分】

π π ? ? , 即? ? . 6 6 3

【14 分】

19.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)证明:显然集合 A ? ? . 设 x0 ? A ,则 f ( x0 ) ? 0 . 因为 A ? B , 所以 x0 ? B , 即 f ( f ( x0 )) ? 0 ,
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【 1 分】

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所以 f (0) ? 0 , 所以 b ? 0 . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 f ( x) ? a sin x , a ? Z . ① 当 a ? 0 时,显然满足 A ? B . ② 当 a ? 0 时,此时 A ? {x | a sin x ? 0} ;

【 3 分】 【 4 分】

【 5 分】

B ? {x | a sin(a sin x) ? 0} , 即 B ? {x | a sin x ? k ? , k ? Z} .
因为 A ? B , 所以对于任意 x ? R ,必有 a sin x ? k ? (k ? Z ,且 k ? 0) 成立. 所以对于任意 x ? R , sin x ?

【 6 分】

【 7 分】

k? k? ,所以 ?1, a a

【 8 分】

即 | a | ? | k | ?? ,其中 k ? Z ,且 k ? 0 . 所以 | a | ? ? , 所以整数 a 的最大值是 3 . 【 9 分】 【10 分】

B卷
1 ; 2

[学期综合] 满分 50 分

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 1. 4 ; 2. 3. ?2 , 1 ; 4. (?2, 2) ; 5. 2 .

注:3 题,少解得 2 分,有错解不给分. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分. 6.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)解法一:因为 f ( x) ? ( x ? 2)( x ? a) ? x ? (a ? 2) x ? 2a ,
2

所以, f ( x ) 的图象的对称轴方程为 x ?

2?a . 2

【 2 分】

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2?a ? 1 ,得 a ? 0 . 2

【 4 分】

解法二:因为函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称, 所以必有 f (0) ? f (2) 成立, 所以 ?2a ? 0 , 得 a ? 0 . (Ⅱ)解:函数 f ( x ) 的图象的对称轴方程为 x ? ① 当 【 2 分】 【 4 分】

2?a . 2

2?a ? 0 ,即 a ? 2 时, 2

因为 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增, 所以 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (0) ? ?2a . 【 6 分】

2?a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时, 2 2?a 2?a ) 上单调递减,在区间 ( ,1) 上单调递增, 因为 f ( x ) 在区间 (0, 2 2 2?a 2?a 2 ) ? ?( ) . 所以 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f ( 2 2 2?a ? 1 ,即 a ? 0 时, ③ 当 2
② 当0 ? 因为 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递减, 所以 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (1) ? ?(1 ? a) .

【 8 分】

【10 分】

7.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)解:当 a ? 0, b ? 0 时, f ( x ) 在 R 上是增函数; 当 a ? 0, b ? 0 时, f ( x ) 在 R 上是减函数; 证明如下: 当 a ? 0, b ? 0 时,任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 ?x ? x2 ? x1 ? 0 , 则 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a(2 2 ? 2 1 ) ? b(3 2 ? 3 1 ) .
x x x x

【 1 分】

因为 2 1 ? 2 2 , a ? 0 ? a(2 2 ? 2 1 ) ? 0 ;又 3 1 ? 3 2 , b ? 0 ? b(3 2 ? 3 1 ) ? 0 ,
x x x x x x x x

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所以 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 所以,当 a ? 0, b ? 0 时, f ( x ) 在 R 上是增函数. 当 a ? 0, b ? 0 时,同理可得, f ( x ) 在 R 上是减函数. (Ⅱ)解:由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a ? 2x ? 2b ? 3x ? 0 , 得 2b( ) ? ? a .
x

【 5 分】

3 2

(*)

【 6 分】

① 当 a ? 0, b ? 0 时, (*)式化为 ( ) ?
x

3 2

?a , 2b
【 8 分】

解得 x ? log 3 (?
2

a ). 2b
3 2
x

② 当 a ? 0, b ? 0 时, (*)式化为 ( ) ? 解得 x ? log 3 (?
2

?a , 2b
【10 分】

a ). 2b

8.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)证明:因为 g ( x) ? f ( x) ? x , 所以 g ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? x ? 2 , g ( x ? 3) ? f ( x ? 3) ? x ? 3 . 由条件①,②可得

g ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? x ? 2 ? f ( x) ? 2 ? x ? 2 ? f ( x) ? x ? g ( x) ; ③ g ( x ? 3) ? f ( x ? 3) ? x ? 3 ? f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? f ( x) ? x ? g ( x) . ④
所以 g ( x ? 3) ? g ( x) ? g ( x ? 2) . (Ⅱ)解:由③得 g ( x ? 2) ? g ( x) , 所以 g ( x ? 6) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x) . 由④得 g ( x ? 3) ? g ( x) , 所以 g ( x ? 6) ? g ( x ? 3) ? g ( x) .

【 2 分】 【 4 分】

【 6 分】

【 7 分】

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所以必有 g ( x ? 6) ? g ( x) , 即 g ( x) 是以 6 为周期的周期函数. 所以 g (2014) ? g (335 ? 6 ? 4) ? g (4) ? f (4) ? 4 ? 1 . 所以 f (2014) ? g (2014) ? 2014 ? 2015 . 【 8 分】 【 9 分】 【10 分】

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