广东省揭阳一中2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

广东省揭阳一中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) . 1. (5 分)已知等差数列{an}中,an=4n﹣3,则首项 a1 和公差 d 的值分别为() A. 1,3 B. ﹣3,4 C. 1,4 D. 1,2 2. (5 分) 已知点 F 是抛物线 y =4x 的焦点, 点 P 在该抛物线上, 且点 P 的横坐标是 2, 则|PF|= () A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为 ,则 h=()
2

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=() A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log35 5. (5 分)已知如程序框图,则输出的 i 是()

A. 9

B. 11

C. 13

D. 15

-1-

6. (5 分)命题“? x∈R,2x +1>0”的否定是() A. ? x∈R,2x +1≤0 C.
2

2

B. D.

7. (5 分)设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 f′(x)的 图象可能是()

A.
3

B.
2

C.

D.

8. (5 分)函数 y=x ﹣x ﹣x 的单调递增区间为() A. D. B. C.

9. (5 分)已知函数 交点的纵坐标的最大值为() A. B. 2

是偶函数,则此函数的图象与 y 轴

C. 4

D. ﹣2

10. (5 分)如图 F1、F2 是椭圆 C1:

+y =1 与双曲线 C2 的公共焦点 A、B 分别是 C1、C2 在第二、

2

四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是()

A.

B.

C.

D.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上).

-2-

11. (5 分)在△ABC 中∠A=60°,b=1,S△ABC=

,则

=.

12. (5 分)已知





,则 与 夹角的度数为.

13. (5 分)若 x、y∈R ,x+4y=20,则 xy 的最大值为. 14. (5 分)函数 f(x)=x +3x ﹣1 在 x=﹣1 处的切线方程是.
3 2

+

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 2 2 2 15. (12 分) 设命题 p: 实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0, 其中 a>0; 命题 q: 实数 x 满足 x ﹣5x+6≤0 (1)若 a=1,且 q∧p 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

16. (12 分) 已知 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)已知 ,且 α ∈(0,π ) ,求 α 的值.

, 函数 f (x) =



17. (14 分)已知 f(x)=ax +bx+c 图象过点 ﹣1. (1)求 y=f(x)的解析式; (2)求 y=f(x)在区间上的最大值和最小值.

3

,且在 x=1 处的切线方程是 y=﹣3x

18. (14 分)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=3 +k(k 为常数,n∈N ) . (1)求 k 的值及数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 ,求数列{bn}的前 n 和 Tn.

n

*

19. (14 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点 B(0,4) ,离心 率 e=0.6. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 O(0,0) ,P(2,2) ,试探究在椭圆 C 内部是否存在整点 Q(平面内横、纵坐标都是 整数的点为整点) ,使得△OPQ 的面积 S△OPQ=4?若存在,请指出共有几个这样的点(不必具体 求出这些点的坐标) ;否则,说明理由. 20. (14 分)已知函数 f(x)=x +ax ﹣a x+m(a>0) . (1)若 a=1 时函数 f(x)有三个互不相同的零点,求实数 m 的取值范围; (2)若对任意的 a∈,不等式 f(x)≤1 对任意 x∈,恒成立,求实数 m 的取值范围.
3 2 2

-3-

广东省揭阳一中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) . 1. (5 分)已知等差数列{an}中,an=4n﹣3,则首项 a1 和公差 d 的值分别为() A. 1,3 B. ﹣3,4 C. 1,4 D. 1,2 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的通项公式及其首项 a1 和公差 d 的意义即可得出. 解答: 解:∵等差数列{an}中,an=4n﹣3, ∴a1=4×1﹣3=1,a2=4×2﹣3=5. ∴公差 d=a2﹣a1=5﹣1=4. ∴首项 a1 和公差 d 的值分别为 1,4. 故选:C. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式及其首项 a1 和公差 d 的求法,属于基础题. 2. (5 分) 已知点 F 是抛物线 y =4x 的焦点, 点 P 在该抛物线上, 且点 P 的横坐标是 2, 则|PF|= () A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 确定抛物线 y =4x 的准线方程,利用 P 到焦点 F 的距离等于 P 到准线的距离,即可求 得结论. 2 解答: 解:抛物线 y =4x 的准线方程为:x=﹣1, ∵P 到焦点 F 的距离等于 P 到准线的距离,P 的横坐标是 2, ∴|PF|=2+1=3. 故选:B. 点评: 本题考查抛物线的性质,利用抛物线定义是解题的关键,属于基础题. 3. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为 ,则 h=()
2

-4-

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 可. 解答:

由三视图求面积、体积. 计算题. 三视图复原的几何体是四棱锥,结合三视图的数据利用几何体的体积,求出高 h 即 解:三视图复原的几何体是底面为边长 5,6 的矩形,一条侧棱垂直底面高为 h, ,所以 h= .

所以四棱锥的体积为:

故选 B. 点评: 本题是基础题,考查三视图与直观图的关系,考查几何体的体积的计算,考查计算 能力. 4. (5 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=() A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log35 考点: 等比数列的性质;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据等比中项的性质可知 a5a6=a4a7,进而根据 a5a6+a4a7=18,求得 a5a6 的值,最后 5 根据等比数列的性质求得 log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6) 答案可得. 解答: 解:∵a5a6=a4a7, ∴a5a6+a4a7=2a5a6=18 ∴a5a6=9 5 ∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6) =5log39=10 故选 B 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.解题的关键是灵活利用了等比中项的性质. 5. (5 分)已知如程序框图,则输出的 i 是()

A. 9 考点: 循环结构.

B. 11

C. 13

D. 15

-5-

专题: 计算题. 分析: 写出前 5 次循环的结果,直到第五次满足判断框中的条件,执行输出. 解答: 解:经过第一次循环得到 S=1×3=3,i=5 经过第二次循环得到 S=3×5=15,i=7 经过第三次循环得到 S=15×7=105,i=9 经过第四次循环得到 S=105×9=945,i=11 经过第五次循环得到 S=945×11=10395,i=13 此时,满足判断框中的条件输出 i 故选 C 点评: 解决程序框图中的循环结构的问题,一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果, 找规律. 6. (5 分)命题“? x∈R,2x +1>0”的否定是() A. ? x∈R,2x +1≤0 C.
2 2

B. D.

考点: 全称命题;命题的否定. 专题: 规律型. 分析: 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 2 解答: 解:∵命题? x∈R,2x +1>0 是全称命题, ∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是: “ ”, .

故选:C. 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,要求掌握特称命题的否定是全称命题,全称 命题的否定是特称命题,比较基础. 7. (5 分)设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 f′(x)的 图象可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 作图题;导数的概念及应用. 分析: 先根据函数 f(x)的图象判断单调性,从而得到导函数的正负情况,最后可得答案.

-6-

解答: 解:原函数的单调性是:当 x<0 时,增;当 x>0 时,单调性变化依次为增、减、 增, 故当 x<0 时,f′(x)>0;当 x>0 时,f′(x)的符号变化依次为+、﹣、+. 故选:C. 点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 8. (5 分)函数 y=x ﹣x ﹣x 的单调递增区间为() A. D. B. C.
3 2

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先对函数进行求导,然后令导函数大于 0 求出 x 的范围即可. 3 2 解答: 解:∵y=x ﹣x ﹣x, 2 ∴y′=3x ﹣2x﹣1, 令 y′≥0 2 即 3x ﹣2x﹣1=(3x+1) (x﹣1)≥0 解得:x≤﹣ 或 x≥1 故函数单调递增区间为 ,

故选:A. 点评: 本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系.属基础题. 9. (5 分)已知函数 交点的纵坐标的最大值为() A. B. 2 是偶函数,则此函数的图象与 y 轴

C. 4

D. ﹣2

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数是偶函数,建立方程关系即可得到 a,b 的关系,然后利用换元法即可求出 函数的图象与 y 轴交点的纵坐标的最大值. 解答: 解:∵函数 ∴f(﹣x)=f(x) , 即 ∴ 即 ,
-7-

是偶函数,

= x,



∴ 则

, =x +a+b= , , ≤2, ≤2,
2



∴此函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 设 a= ,则 =

若 cosx≥0,则 若 cosx<0,则

综上 y 轴交点的纵坐标的最大值为 2. 故选:B. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,根据函数奇偶性的性质求出 a,b 的关系是解决本 题的关键,利用换元法求函数的最值,综合性较强.

10. (5 分)如图 F1、F2 是椭圆 C1:

+y =1 与双曲线 C2 的公共焦点 A、B 分别是 C1、C2 在第二、

2

四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是()

A.

B.

C.

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 不妨设|AF1|=x,|AF2|=y,依题意 双曲线的定义及性质即可求得 C2 的离心率. 解答: 解:设|AF1|=x,|AF2|=y,∵点 A 为椭圆 C1: ∴2a=4,b=1,c= ; ∴|AF1|+|AF2|=2a=4,即 x+y=4;① 又四边形 AF1BF2 为矩形, ∴ + = ,即 x +y =(2c) =
2 2 2

,解此方程组可求得 x,y 的值,利用

+y =1 上的点,

2

=12,②

由①②得:

,解得 x=2﹣

,y=2+

,设双曲线 C2 的实轴长为 2m,焦距为 2n,

-8-

则 2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2 ∴双曲线 C2 的离心率 e= =

,2n=2 = .

=2



故选 D. 点评: 本题考查椭圆与双曲线的简单性质, 求得|AF1|与|AF2|是关键, 考查分析与运算能力, 属于中档题. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上). 11. (5 分)在△ABC 中∠A=60°,b=1,S△ABC= ,则 =2 .

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由题意和三角形的面积公式求出 c,再由余弦定理求出 a,代入式子 解答: 解:由题意得,∠A=60°,b=1,S△ABC= 所以
2

求值即可.



,则
2 2

,解得 c=4,

由余弦定理得,a =b +c ﹣2bccosA =1+16﹣2× 所以 = =13,则 a= =2 , ,

故答案为:2 . 点评: 本题考查正弦定理,余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握公式和定理是解 题的关键.

12. (5 分)已知





,则 与 夹角的度数为 120°.

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 求出夹角的度数. 解答: 解:∵ ∴ ?( + )=0, ∴ + ? =0, , , , ,得 ?( + )=0,求出 ? 的值,从而得出 与 夹角的余弦值,

即 1+1×2cosθ =0,

-9-

∴cosθ =﹣ , 又∵θ ∈, ∴θ =120°, 即 与 夹角为 120°; 故答案为:120°. 点评: 本题考查了平面向量的数量积的运算问题,是基础题. 13. (5 分)若 x、y∈R ,x+4y=20,则 xy 的最大值为 25. 考点: 专题: 分析: 解答: ∴20 基本不等式. 不等式的解法及应用. 利用基本不等式的性质即可求出. + 解:∵x、y∈R ,x+4y=20, ,解得 xy≤25,当且仅当 x=4y=10,即 x=10,y= 时取等号.
+

因此 xy 的最大值为 25. 故答案为 25. 点评: 熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键. 14. (5 分)函数 f(x)=x +3x ﹣1 在 x=﹣1 处的切线方程是 y=﹣3x﹣2. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据导数的几何意义求出函数在 x=﹣1 处的导数,从而得到切线的斜率,再利用点 斜式方程写出切线方程即可. 3 2 解答: 解:∵f(x)=x +3x ﹣1, 2 2 ∴f'(x)=3x +6x,在 x=﹣1 处的切线斜率 k=3?(﹣1) +6?(﹣1)=﹣3, 3 2 又∵f(﹣1)=(﹣1) +3?(﹣1) ﹣1=1,切点为(﹣1,1) , ∴切线方程为 y﹣1=(﹣3) (x+1)化简得 y=﹣3x﹣2. 故答案为:y=﹣3x﹣2. 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查运算求解能力、推理能力, 属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 2 2 2 15. (12 分) 设命题 p: 实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0, 其中 a>0; 命题 q: 实数 x 满足 x ﹣5x+6≤0 (1)若 a=1,且 q∧p 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)利用一元二次不等式的解法可化简命题 p,若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,即可 得出;
3 2

- 10 -

(2)若 p 是 q 的必要不充分条件? 解答: 解: (1)p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0 ?(x﹣3a) (x﹣a)<0,∵a>0 为,所以 a<x<3a; 当 a=1 时,p:1<x<3; 2 命题 q:实数 x 满足 x ﹣5x+6≤0?2≤x≤3;若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,∴2≤x<3; 故 x 的取值范围是? ,1<a<2
2 2

∴实数 a 的取值范围是(1,2) . 点评: 考查解一元二次不等式,p∧q 的真假和 p, q 真假的关系,以及充分条件、必要条件、 必要不充分条件的概念.属于基础题.

16. (12 分) 已知 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)已知 ,且 α ∈(0,π ) ,求 α 的值.

, 函数 f (x) =



考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (1)首先根据已知条件,利用向量的坐标运算,分别求出向量的数量积和向量的模, 进一步把函数的关系式通过三角恒等变换,把函数关系式变形成正弦型函数,进一步求出函 数的最小正周期. (2)利用(1)的函数关系式,根据定义域的取值范围.进一步求出角的大小. 解答: 解: (1)已知: 则:f(x)= = = = 所以:函数的最小正周期为: (2)由于 f(x)= 所以 解得: …(2 分)…(4 分)

- 11 -

所以: 因为:α ∈(0,π ) , 所以: 则: 解得:

…(6 分)

点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,向量的坐标运算,正弦型函数 的性质的应用,利用三角函数的定义域求角的大小.属于基础题型.
3

17. (14 分)已知 f(x)=ax +bx+c 图象过点 ﹣1. (1)求 y=f(x)的解析式; (2)求 y=f(x)在区间上的最大值和最小值.

,且在 x=1 处的切线方程是 y=﹣3x

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1) 首先由图象过点 求出 c 的值, 代入函数解析式后求导数, 由在 x=1
2

处的切线方程是 y=﹣3x﹣1 得到 f'(1)=3a(1) +b=﹣3,切点在 f(x)上得到关于 a,b 的 另一方程,联立方程组求得 a,b 的值,则函数解析式可求; (2)利用导数求函数(﹣3,3)上的极值,和端点值比较后得最值. 解答: 解: (1)由 ∴f(x)=ax +bx﹣ .则 f'(x)=3ax +b,∴f'(1)=3a(1) +b,∴3a+b=﹣3, 又∵切点为(1,﹣4) ,∴ 联立可得 ∴ (2)由
2 2 2 3





. ; ? f'(x)=x ﹣4,
2

令 f'(x)=0? x ﹣4=0? x=±2, 2 令 f'(x)>0? x ﹣4>0? x<﹣2 或 x>2, 2 令 f'(x)<0? x ﹣4<0? ﹣2<x<2, x ﹣3 (﹣3,﹣2) ﹣2 (﹣2,2) f′(x) + 0 ﹣ 0

2 +

(2,3)

3

- 12 -

f(x)



5





由上表知,在区间上,当 x=﹣2 时,ymax=f(﹣2)=5, 当 x=2 时, .

点评: 本题考查了利用导数求函数的最值,求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比 较函数在(a,b)内所有极值与端点函数 f(a) ,f(b) 比较而得到的.训练了利用导数研 究曲线上某点处的切线方程. 是有一定难度题目. 18. (14 分)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=3 +k(k 为常数,n∈N ) . (1)求 k 的值及数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 ,求数列{bn}的前 n 和 Tn.
n *

考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (1)方法一: 由题意可得

解得 a1, a2,a3. 利用{an}为等比数列,

可得

,解得 k,可得 Sn.当 n=1 时,a1=S1=2,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 即可得出.

方法二: 当 n=1 时, a1=S1=3+k; 当 n≥2 时, an=Sn﹣Sn﹣1. 由于数列{an}是等比数列, 可得 q= 解得 k,即可得到 an. (2)将 k 及 an+1,代入 解答: 解: (1)方法一 ,得



,再利用“错位相减法”即可得出.

由题意可得







又∵{an}为等比数列, ∴ ,

即 36=18(3+k) ,解得 k=﹣1, ∴ .
- 13 -

当 n=1 时,a1=S1=2, 当 n≥2 时, 显然,n=1 时也适合 ∴ . , ,

方法二 当 n=1 时,a1=S1=3+k; 当 n≥2 时, ∵数列{an}是等比数列, ∴ , .





解得 k=﹣1, ∴ .

(2)将 k=﹣1 及

,代入

,得









①﹣②得: ∴ .

=



点评: 本题考查了等比数列的通项公式和前 n 项和公式、“错位相减法”、求通项公式的 方法,属于中档题. 19. (14 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点 B(0,4) ,离心 率 e=0.6. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 O(0,0) ,P(2,2) ,试探究在椭圆 C 内部是否存在整点 Q(平面内横、纵坐标都是 整数的点为整点) ,使得△OPQ 的面积 S△OPQ=4?若存在,请指出共有几个这样的点(不必具体 求出这些点的坐标) ;否则,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

- 14 -

分析: (1)设椭圆 C 的方程为

(a>b>0) ,利用短轴的一个端点 B(0,4) ,离

心率 e=0.6,求出 a,b,c,即可求椭圆 C 的方程; (2)确定点 Q 在与直线 OP 平行且距离为 的直线 l 上,可得 l 的方程,再分类讨论,即 可求出结论. 解答: 解: (1)设椭圆 C 的方程为 (a>b>0) ,…(1 分)

依题意得,b=4,

,又 a =b +c ,…(3 分)

2

2

2

∴a=5,b=4,c=3,…(4 分) 所以椭圆 C 的方程为 .…(5 分)

(2)依题意得, ,直线 OP 的方程为 y=x,…(6 分) 因为 S△OPQ=4,点 Q 到直线 OP 的距离为 ,…(7 分) 所以点 Q 在与直线 OP 平行且距离为 的直线 l 上,…(8 分) 设 l:y=x+m,则 解得 m=±4,…(10 分)

当 m=4 时,由

,消元得 41x +200x<0,即

2

,x∈Z,∴x=﹣4,﹣3,

﹣2,﹣1,相应的 y 也是整数, 此时满足条件的点 Q 有 4 个,…(13 分) 当 m=﹣4 时,由对称性,同理也得满足条件的点 Q 有 4 个. 综上,存在满足条件的点 Q,这样的点有 8 个.…(14 分) 点评: 本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力, 考查分类讨论的数学思想,属于中档题. 20. (14 分)已知函数 f(x)=x +ax ﹣a x+m(a>0) . (1)若 a=1 时函数 f(x)有三个互不相同的零点,求实数 m 的取值范围; (2)若对任意的 a∈,不等式 f(x)≤1 对任意 x∈,恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 3 2 3 2 分析: (1)a=1 时,函数有三个互不相同的零点,转化为 x +x ﹣x+m=0 即 m=﹣x ﹣x +x 有 3 2 三个互不相等的实数根.令 g(x)=﹣x ﹣x +x,利用导数可得 g(x)的极值,借助图象可得 m 的范围; (2)要使得 f(x)≤1 对任意 x∈恒成立,可转化为 max≤1,利用导数可求得 max,然后分离参 数 m 后可转化为求关于 a 的函数最值问题解决; 解答: 解: (1)当 a=1 时, . ∵函数有三个互不相同的零点,
3 2 2

- 15 -

∴x +x ﹣x+m=0 即 m=﹣x ﹣x +x 有三个互不相等的实数根. 3 2 2 令 g(x)=﹣x ﹣x +x,则 g'(x)=﹣3x ﹣2x+1=﹣(3x﹣1) (x+1) . 令 g'(x)>0,解得 ;

3

2

3

2

令 g'(x)<0,解得 x<﹣1 或 x> , ∴g(x)在(﹣∞,﹣1)和 ∴极小值=g(﹣1)=﹣1,极大值=g( )= ∴m 的取值范围是 (2)∵ ∴当 x<﹣a 或 时,f'(x)>0;当 . ,且 a>0, 时,f'(x)<0. , 单调递减区间为 . , 上均为减函数,在 上为增函数,

∴函数 f (x) 的单调递增区间为 (﹣∞, ﹣a) 和 当 a∈时, ,﹣a≤﹣3.

又 x∈,∴f(x)的最大值为 f(﹣1)和 f(2)中的较大者. 2 ∵f(﹣1)﹣f(2)=3a ﹣3a﹣9>0, ∴ .
2 2

要使得 f(x)≤1 对任意 x∈恒成立,即 max≤1,亦即﹣1+a+a +m≤1,即当 a∈时,m≤﹣a ﹣ a+2 恒成立. 2 ∵﹣a ﹣a+2 在 a∈上的最小值为﹣40, ∴m 的取值范围是(﹣∞,﹣40]. 点评: 本题考查函数的零点、利用导数求函数的极值、最值,考查恒成立问题,考查转化 思想,考查学生综合运用导数知识解决问题的能力.

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