2018届高三数学一轮复习: 第7章 第7节 立体几何中的向量方法

第七节 [考纲传真] 立体几何中的向量方法 1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述 线线、 线面、 面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关 系的一些简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平 面、 平面与平面的夹角的计算问题, 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量: 如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行 或重合,则称此向量 a 为直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量:直线 l⊥α,取直线 l 的方向向量 a,则向量 a 叫做平面 α 的法向量. 2.空间位置关系的向量表示 3.求两条异面直线所成的角 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则 1 4.求直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角 |a· n| 为 θ,则 sin θ=|cos〈a,n〉|=|a||n|. 5.求二面角的大小 (1)若 AB,CD 分别是二面角 αlβ 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,则二 → → 面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图 771①). 图 771 (2)设 n1,n2 分别是二面角 αlβ 的两个面 α,β 的法向量,则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图 772②③). 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( ) (2) 直 线 的 方 向 向 量 和 平 面 的 法 向 量 所 成 的 角 就 是 直 线 与 平 面 所 成 的 角.( ) ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( π? π? ? ? (4)两异面直线夹角的范围是?0,2?,直线与平面所成角的范围是?0,2?,二 ? ? ? ? 面角的范围是[0,π]. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改编)设 u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面 α,β 的法向量.若 2 α⊥β,则 t=( A.3 C.5 ) B.4 D.6 C [∵α⊥β,则 u· v=-2×6+2×(-4)+4t=0, ∴t=5.] 3.(2014· 全国卷Ⅱ)直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BCA=90° ,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( 1 A.10 30 C. 10 2 B.5 2 D. 2 ) C [建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz, 设 BC=2, 则 B(0,2,0), A(2,0,0), → → M(1,1,2),N(1,0,2),所以BM=(1,-1,2),AN=(-1,0,2),故 BM 与 AN 所成角 θ → → |BM· AN| 3 30 的余弦值 cos θ= = = 10 .] → → 6× 5 |BM|· |AN| 4.如图 773 所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 是底面正方形 ABCD 的中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 的中点,则直线 ON,AM 的位置关系是 ________. 图 773 垂直 → → → [以 A 为原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为 x,y,z 轴,建立空 1? ?1 1 ? ? 间直角坐标系(图略), 设正方体的棱长为 1, 则 A(0,0,0), M?0,1,2?, O? , ,0?, ? ? ?2 2 ? 1? ? 1 ? ?1 ? → → ? ?0,-2,1?=0,∴ON 与 AM 垂直.] N?2,0,1?,AM· ON=?0,1,2?· ? ? ? ?? ? 3 5.(2017· 唐山模拟)过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD,若 AB=PA,则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为________. 45° [如图,建立空间直角坐标系,设 AB=PA=1,则 A(0,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1),由题意,AD⊥平面 PAB,设 E 为 PD 的中点,连接 AE,则 AE⊥PD, 又 CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥AE,从而 AE⊥平面 PCD. 1 1? → → ? → ∴AD=(0,1,0), AE=?0,2,2?分别是平面 PAB, 平面 PCD 的法向量, 且 〈AD, ? ? → AE〉=45° . 故平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角为 45° .] 利用向量证明平行与垂直问题 如图 774 所示,在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 PC,PD 的中点,PA=AB=1,BC=2. 【导学号:01772274】 (1)求证:EF∥平面 PAB; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PDC. 图 774 [证明] 以 A 为原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立 空间直角坐标系如图所示,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1), 4 1? ? 1? → ? 1 → → ?1 ? → 所以 E?2,1,2?, F?0,1,2?, EF=?-2,0,0?, AP=(0,0,1), AD=(0,2,0), DC ? ? ? ? ? ? → =(1,0,0),AB=(1,0,0).3 分 1→ → → → (1)因为EF=-2AB,所以EF∥AB,即 EF∥AB. 又 AB?平面 PAB,EF?平面 PAB, 所以 EF∥平面 PAB.6 分 → → (2)因为AP· DC=(0,0,1)· (1,0,0)=0, → → AD· DC=(0

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