高中数学第一章计数原理课时训练08杨辉三角新人教B版选修2_3

高中数学第一章计数原理课时训练 08 杨辉三角新人教 B 版选
修 2_3
(限时:10 分钟) 1.在(a+b)n 的展开式中,第 2 项与第 6 项的二项式系数相等, 则 n=( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:A 2.已知(a+b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,则 n 等 于( ) A.11 B.10 C.9 D.8 答案:D 3.若 n 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式中的常数项为 () A.10 B.20 C.30 D.120 答案:B 4.设 n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 =32,则展开式中 x2 的系数为__________. 答案:1 250 5.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5. (1)求 a0+a1+a2+…+a5. (2)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|. (3)求 a1+a3+a5. 解析:(1)令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a5=1. (2)令 x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5. 因为偶数项的系数为负, 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5| =a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.
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(3)由 a0+a1+a2+…+a5=1, -a0+a1-a2+…+a5=-35, 得 2(a1+a3+a5)=1-35, 所以 a1+a3+a5==-121.
(限时:30 分钟) 一、选择题 1.(1+x)2n(n∈N*)的展开式中,系数最大的项是( ) A.第 n 项 B.第 n+1 项 C.第 n+2 项 D.第 n-1 项 答案:B 2.若(x+3y)n 展开式的系数和等于(7a+b)10 展开式中的二项式 系数之和,则 n 的值为( ) A.5 B.8 C.10 D.15 答案:A 3.设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a, (x+y)2m+1 展开式的二项式系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m= () A.5 B.6 C.7 D.8 答案:B 4.(2-)8 展开式中不含 x4 项的系数的和为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案:B 5.若(x+1)5=a5(x-1)5+…+a1(x-1)+a0,则 a1 的值为 () A.80 B.40 C.20 D.10 解析:由于 x+1=x-1+2,因此(x+1)5=[(x-1)+2]5,故展 开式中 x-1 的系数为 C24=80. 答案:A 二、填空题 6.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a1+2a2 +3a3+4a4+5a5 等于__________.
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解析:设 f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,因为 f′(x) =a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,所以 f′(1)=a1+2a2+3a3+ 4a4+5a5,又因为 f(x)=(2x-3)5,所以 f′(x)=10(2x-3)4,所以 f′(1)=10,即 a1+2a2+3a3+4a4+5a5=10.
答案:10 7.(1-2x)7 展开式中系数最大的项为________. 解析:展开式共有 8 项,系数最大的项必为正项,即在第 1,3,5,7 这四项中取得.又因(1-2x)7 括号内的两项中后项系数绝对值大于前 项系数绝对值,故系数最大项必在中间或偏右,故只需比较 T5 和 T7 两项系数大小即可. TT57的的系 系数 数==>1, 所以系数最大的项是第 5 项, 即 T5=C(-2x)4=560x4. 答案:560x4 8.计算 C+3C+5C+…+(2n+1)C=________(n∈N*). 解析:设 Sn=C+3C+5C+…+(2n+1)C,则 Sn=(2n+1)C+(2n-1)C+…+3C+C, 所以 2Sn=2(n+1)(C+C+…+C)=2(n+1)·2n, 所以 Sn=(n+1)·2n. 答案:(n+1)·2n 三、解答题 9.已知 n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37,求展开式 中二项式系数最大的项的系数. 解析:由 C+C+C=37,得 1+n+n(n-1)=37,得 n=8.
???14+2x???8 的展开式共有 9 项.
其中 T5=C4(2x)4=x4,该项的二项式系数最大,系数为. 10.设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式 的值. (1)a0. (2)a1+a2+a3+a4+…+a100. (3)a1+a3+a5+…+a99. (4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2. (5)|a0|+|a1|+…+|a100|. 解析:(1)令 x=0,则展开式为 a0=2100.
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(2)令 x=1,可得

a0+a1+a2+…+a100=(2-)100,(*)

所以 a1+a2+…+a100=(2-)100-2100.

(3)令 x=-1,可得 a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100.与(*)

式联立相减得

a1+a3+…+a99=.

(4)原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)]·[(a0+

a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)]

=(a0+a1+a2+…+a100)·(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+

a100)

=[(2-)(2+)]100

=1100=1.

(5)因为 Tr+1=(-1)rC2100-r()rxr,

所以 a2k-1<0(k∈N*),

所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a100|

=a0-a1+a2-a3+…+a100

=(2+)100.

11.已知 n 的展开式中前三项的系数成等差数列.

(1)求 n 的值.

(2)展开式中二项式系数最大的项.

(3)展开式中系数最大的项.

解析:(1)由题设,n 的展开式的通项公式为:Tk+1=Cxn-k·k

=kCx,

n-

3 2

k

故 C+C=2×C,

即 n2-9n+8=0.

解得 n=8 或 n=1(舍去).

所以 n=8.

(2)展开式中二项式系数最大的为第 5 项,则

T5=4Cx=x2.

8-

3 2

?4

(3)设第 r+1 项的系数最大,

?? 则 21rCr8≥2r1+1Cr8+1, ???21rC8r≥2r1-1Cr8-1,

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即?????821- r1≥r≥ 9-1 r.

1 +



解得 r=2 或 r=3.

7
所以系数最大的项为 T3=7x5,T4=7x. 2

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