云南省昭通市水富一中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷

2015-2016 学年云南省昭通市水富一中高一(上)期中数学试卷

一、选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目的要求,请将答案填写在答题卡上. 1.已知集合 A={x|1≤x≤3},B={x|x≤4,x∈Z},则 A∩B=( A. (1,3) B. C.{1,3} D.{1,2,3} )

2.已知函数 f(x)=﹣|x|,则 f(x)是( A.奇函数 B.偶函数

)

C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇函数非偶函数

3.已知函数 f(x)=1+log2x,则 A. B. C.0 D.﹣1

的值为(

)

4.若指数函数 y=(a﹣2) 在(﹣∞,+∞)上是减函数,那么( A.2<a<3 B.﹣2<a<1 C.a>3 D.0<a<1

x

)

5.设 x 取实数,则 f(x)与 g(x)表示同一个函数的是( A.f(x)=x,g(x)= B.f(x)=

)

,g(x)=

C.f(x)=1,g(x)=(x﹣1)0

D.f(x)=

,g(x)=x﹣3

6.函数 f(x)=lnx+2x﹣8 的零点在区间(

) 内.

A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)

7.若 a=20.5,b=log20.5,c=log21.5,则(

)

A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a

8.在区间(﹣∞,0)上为增函数的是( A.y=﹣x B.y=

)

+2 C.y=﹣x2﹣2x﹣1 D.y=x2+1

9.方程

x=﹣x+1 的根的个数是(

)

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

10.已知 y=loga(2﹣ax)是上的减函数,则 a 的取值范围为( A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D. C. (0,+∞)

) D. (﹣∞,+∞)

12.设 f(x)=ax +bx+c(a>0)满足 f(1+x)=f(1﹣x) ,则 f(2 )与 f(3 )的大小关系 为( )
x x

2

x

x

A.f (3 )≥f (2 )

B.f (3 )≤f (2 )

x

x

C.f (3 )<f (2 )

x

x

D.不确定

二、填空题本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写在横线上. 13.设函数 f(x)=log2(3﹣x) ,则函数 f(x)的定义域是__________.

14.已知幂函数 y=f(x)的图象过点

=__________.

15.设函数

,则 f(log23)=__________.

16.已知 f(x)= 范围是__________.

是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值

三、解答题(本题共 6 道大题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )

17.已知全集 U={x|x≤4},集合 A={x|﹣2<x<3},集合 B={x|﹣3<x≤2},求: (1)A∪B; (2)?UA.

18.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的零点是﹣1 和 3,当 x∈(﹣1,3)时,f(x)<0,且 f(4)=5. (1)求该二次函数的解析式; (2)求函数 g(x)=( )f(x)的最大值.

2

19.已知函数 f(x)=x+ (1)证明:f(x)在 x∈上的值域.

20.已知函数 f(x)是偶函数,且 x≤0 时,f(x)= (1)求当 x>0 时 f(x)的解析式; (2)设 a≠0 且 a≠±1,证明:f(a)=﹣f( ) .



21.已知 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且满足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y)又当 x2 >x1>0 时,f(x2)>f(x1) (1)求 f(1) ,f(4) ,f(8)的值; (2)若有 f(2x﹣5)≤3 成立,求 x 的取值范围.

22.已知函数 f(x)=2x ﹣2ax+3 在区间上有最小值,记作 g(a) (1)求 g(a)的表达式 (2)作出 g(a)的图象并根据图象求出 g(a)的最大值.

2

2015-2016 学年云南省昭通市水富一中高一(上)期中数学试卷

一、选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目的要求,请将答案填写在答题卡上. 1.已知集合 A={x|1≤x≤3},B={x|x≤4,x∈Z},则 A∩B=( A. (1,3) B. C.{1,3} 【考点】交集及其运算. 【分析】 集合 A 与集合 B 的公共元素构成集合 A∩B, 由此利用集合 A={x|1≤x≤3}, B={x|x≤4, x∈Z},能求出 A∩B. 【解答】解:∵集合 A={x|1≤x≤3},B={x|x≤4,x∈Z}, ∴A∩B={1,2,3}. 故选 D. 【点评】本题考查集合的交集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合 理地进行等价转化. D.{1,2,3} )

2.已知函数 f(x)=﹣|x|,则 f(x)是( A.奇函数 B.偶函数

)

C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇函数非偶函数 【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用;导数的概念及应用. 【分析】直接根据偶函数的定义判断即可 【解答】解:∵f(x)=﹣|x|,∴f(﹣x)=﹣|﹣x|=﹣|x|=f(x)| ∴f(﹣x)=f(x) ,∴函数 f(x)是偶函数 答案选:B 【点评】本题考查函数奇偶性,属于基础题.

3.已知函数 f(x)=1+log2x,则

的值为(

)

A.

B.

C.0

D.﹣1

【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题. 【分析】把 代入函数式利用对数运算法则即可求得. 【解答】解:由 f(x)=1+log2x, 得 =1+ =1﹣1=0. 故选 C. 【点评】本题考查对数的运算法则,考查运算能力,熟记运算法则及其使用条件是解决该类 题目的基础. =1+

4.若指数函数 y=(a﹣2) 在(﹣∞,+∞)上是减函数,那么( A.2<a<3 B.﹣2<a<1 C.a>3 D.0<a<1

x

)

【考点】指数函数的单调性与特殊点. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用指数函数 y=(a﹣2) 在(﹣∞,+∞)上是减函数,可得 0<a﹣2<1,解出即 可. 【解答】解:∵指数函数 y=(a﹣2) 在(﹣∞,+∞)上是减函数, ∴0<a﹣2<1, 解得 2<a<3. 故选:A. 【点评】本题考查了指数函数的单调性与底数的关系,属于基础题.
x x

5.设 x 取实数,则 f(x)与 g(x)表示同一个函数的是( A.f(x)=x,g(x)= B.f(x)=

)

,g(x)=

C.f(x)=1,g(x)=(x﹣1)0

D.f(x)=

,g(x)=x﹣3

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】常规题型. 【分析】根据确定函数的三要素判断每组函数是否为同一个函数,即需要确定每组函数的定 义域、对应关系、值域是否相同,也可只判断前两项是否相同即可确定这两个函数是否为同 一个函数. 【解答】解:A 组中两函数的定义域相同,对应关系不同,g(x)=|x|≠x,故 A 中的两函数 不为同一个函数; B 组中两函数的定义域均为所有正数构成的集合,对应关系化简为 f(x)=g(x)=1,故 B 中 的两函数是同一个函数; C 组中两函数的定义域不同,f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为{x|x≠1},故 C 中的两 函数不为同一个函数; D 组中两函数的定义域不同,g(x)的定义域为 R,f(x)的定义域由不等于﹣3 的实数构成, 故 D 中的两函数不为同一个函数. 故选 B. 【点评】本题考查函数定义域的求解,函数解析式的化简,考查学生对函数三要素的认识和 把握程度,考查学生的转化与化归思想,属于基本的函数题型.

6.函数 f(x)=lnx+2x﹣8 的零点在区间(

) 内.

A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5) 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题. 【分析】利用零点的判定定理检验所给的区间上两个端点的函数值,当两个函数值符号相反 时,这个区间就是函数零点所在的区间. 【解答】解:函数 f(x)=lnx+2x﹣8 定义域为上的减函数,则 a 的取值范围为( )

A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D. 上是 x 的减函数. 由于所给函数可分解为 y=logau, u=2﹣ax,其中 u=2﹣ax 在 a>0 时为减函数,所以必须 a>1;③必须是 y=loga(2﹣ax)定义 域的子集. 【解答】解:∵f(x)=loga(2﹣ax)在上是 x 的减函数,

∴f(0)>f(1) , 即 loga2>loga(2﹣a) . ∴ ∴1<a<2. 故答案为:B. 【点评】本题综合了多个知识点,需要概念清楚,推理正确. (1)复合函数的单调性; (2) 函数定义域,对数真数大于零,底数大于 0,不等于 1.本题难度不大,属于基础题. ,

11.若定义运算 a?b= A. C. (0,+∞)

,则函数 f(x)=3x?3﹣x 的值域是( D. (﹣∞,+∞)

)

【考点】函数的值域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据题意将函数 f(3 ?3 )解析式写出即可得到答案. 【解答】解:当 x>0 时;f(3 ?3 )=3 ∈(0,1) ; 当 x=0 时,f(3 ?3 )=3 =1, 当 x<0 时,f(3 ?3 )=3 ∈(0,1) . 综上所述函数 f(x)=3x?3﹣x 的值域是(0,1], 故选:B. 【点评】本题主要考查指数函数的图象.指数函数在高考中占很大比重,图象是研究函数性 质的基础要引起重视.
x ﹣x x x ﹣x 0 x ﹣x ﹣x x ﹣x

12.设 f(x)=ax +bx+c(a>0)满足 f(1+x)=f(1﹣x) ,则 f(2 )与 f(3 )的大小关系 为( ) B.f (3x)≤f (2x) C.f (3x)<f (2x) D.不确定

2

x

x

A.f (3x)≥f (2x)

【考点】二次函数的性质. 【专题】综合题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据题意可得函数 f(x)关于 x=1 对称,进而得到 f(x)在(1,+∞)上单调递增, 在(﹣∞,1)上单调递减,再结合指数函数的单调性即可得到答案.

【解答】解:由题意可得:函数 f(x)满足 f(1﹣x)=f(1+x) , 所以函数 f(x)关于 x=1 对称, 又因为 a>0, 所以根据二次函数的性质可得:f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(﹣∞,1)上单调递减, 当 x>0 时,即 1<2 <3 所以 f(3 )>f(2 ) , 当 x=0 时,即 1=2x=3x 所以 f(3x)=f(2x) , 当 x<0 时,0<3x<2x<1, 所以 f(3x)>f(2x) , 故选:A. 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质,以及指数函数的单调性.
x x x x

二、填空题本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写在横线上. 13.设函数 f(x)=log2(3﹣x) ,则函数 f(x)的定义域是{x|x<3}. 【考点】对数函数的定义域. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】利用对数函数的定义域,令真数大于 0 即可. 【解答】解:∵f(x)=log2(3﹣x) , ∴3﹣x>0, ∴x<3. ∴函数 f(x)的定义域是{x|x<3}. 故答案为:{x|x<3}. 【点评】本题考查对数函数的定义域,属于基础题.

14.已知幂函数 y=f(x)的图象过点 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用幂函数的定义先求出其解析式,进而得出答案. 【解答】解:设幂函数 f(x)=xα (α 为常数) ,

=3.

∵幂函数 y=f(x)的图象过点 ∴ ∴ 故答案为 3. . .

,∴

,解得



【点评】正确理解幂函数的定义是解题的关键.

15.设函数 【考点】对数的运算性质;函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用分段函数进行求值即可.

,则 f(log23)=48.

【解答】解:因为 1<log23<2,所以 3<2+log23<4,5<4+log23<6 所以 f(log23)=f(log23+4)= 故答案为:48. 【点评】本题主要考查分段函数的应用求值,要求熟练掌握对数的基本运算公式. .

16.已知 f(x)=

是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值

范围是 ≤a< . 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数单调性的性质;对数函数的单调性与 特殊点. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】由分段函数的性质,若 f(x)= 是(﹣∞,+∞)上的

减函数,则分段函数在每一段上的图象都是下降的,且在分界点即 x=1 时,第一段函数的函 数值应大于等于第二段函数的函数值.由此不难判断 a 的取值范围. 【解答】解:∵当 x≥1 时,y=logax 单调递减, ∴0<a<1; 而当 x<1 时,f(x)=(3a﹣1)x+4a 单调递减,

∴a< ; 又函数在其定义域内单调递减, 故当 x=1 时, (3a﹣1)x+4a≥logax,得 a≥ , 综上可知, ≤a< . 故答案为: ≤a< 【点评】分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分 段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段 上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者.

三、解答题(本题共 6 道大题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知全集 U={x|x≤4},集合 A={x|﹣2<x<3},集合 B={x|﹣3<x≤2},求: (1)A∪B; (2)?UA. 【考点】并集及其运算;补集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:全集 U={x|x≤4},集合 A={x|﹣2<x<3},集合 B={x|﹣3<x≤2}, (1)A∪B={x|﹣3<x<3}, (2)CUA={x|x≥3 或 x≤﹣2}. 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

18.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的零点是﹣1 和 3,当 x∈(﹣1,3)时,f(x)<0,且 f(4)=5. (1)求该二次函数的解析式; (2)求函数 g(x)=( )f(x)的最大值. 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用.

2

【分析】 (1)由条件将二次函数设为两根式,然后由 f(4)=5 可解得, (2)令 t=f(x)=x +2x ﹣3,求 t 的取值范围,利用复合函数的性质求解. 【解答】解: (1)由题意可设该二次函数为 f(x)=a(x﹣1) (x+3)且 a>0, ∵f(4)=5 可得 a(4+1) (4﹣3)=5,解得 a=1, ∴f(x)=(x﹣1) (x+3)=x +2x﹣3, (2)由(1)知,设 t=f(x)=x +2x﹣3=(x+1) ﹣4≥﹣4, 又∵g(t)=( )t 在上的值域. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数的值域. 【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】 (1)求出 f′(x) ,然后说明 x∈上单调递增,所以根据单调性即可求出 f(x)在上 的值域. 【解答】解: (1)f′(x)= ∴x∈上单调递增; ∴x∈时, 即 f(x)在上的值域为. 【点评】考查通过说明函数导数 f′(x)≥0 来证明函数 f(x)在一区间上是增函数的方法, 以及根据函数的单调性求函数的值域. ; ;
2 2 2

2

20.已知函数 f(x)是偶函数,且 x≤0 时,f(x)= (1)求当 x>0 时 f(x)的解析式; (2)设 a≠0 且 a≠±1,证明:f(a)=﹣f( ) . 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用.



【分析】 (1)根据函数 f(x)是偶函数,x≤0 时,f(x)= 即可得出解析式,

,设 x>0,则﹣x<0,转化

(2)①a>0 时,②a<0 时,利用函数解析式代入讨论即可证明.

【解答】解: (1)设 x>0,则﹣x<0,x≤0 时,f(x)= ∵函数 f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(﹣x) ∴f(x)=f(﹣x)= 即当 x>0 时 f(x)= , .



(2)f(x)=



①a>0 时,f(a)=

,﹣f( )=﹣

=

=f(a) ,

②a<0 时,f(a)=

,﹣f( )=﹣

=﹣

=f(a) ,

综上:a≠0 且 a≠±1,f(a)=﹣f( ) . 【点评】本题考查了函数解析式的求解,运用函数的性质,解析式证明等式问题,分类讨论, 属于中档题.

21.已知 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且满足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y)又当 x2 >x1>0 时,f(x2)>f(x1) (1)求 f(1) ,f(4) ,f(8)的值; (2)若有 f(2x﹣5)≤3 成立,求 x 的取值范围. 【考点】抽象函数及其应用;函数单调性的性质;函数的值. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】 (1)由 f(xy)=f(x)+f(y) ,通过赋值法即可求得 f(1) ,f(4) ,f(8)的值; (2)由“x2>x1>0 时,f(x2)>f(x1)”可知 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,从 而 f(2x﹣5)≤3=f(8)可脱去函数“外衣”,求得 x 的取值范围. 【解答】解: (1)由 f(xy)=f(x)+f(y)得:f(1?1)=f(1)+f(1)? f(1)=0;?2 分

? f(4)=2;?2 分

? f(8)=3;?2 分

(2)由“x2>x1>0 时,f(x2)>f(x1)”得 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数;?2 分 ∴ ? f(2x﹣5)≤f(8)? ? <x≤ ?2 分

【点评】本题考查抽象函数及其应用,考查函数单调性的性质及函数求值, (2)中判断函数 f (x)在定义域(0,+∞)上为增函数是关键,属于中档题.

22.已知函数 f(x)=2x ﹣2ax+3 在区间上有最小值,记作 g(a) (1)求 g(a)的表达式 (2)作出 g(a)的图象并根据图象求出 g(a)的最大值. 【考点】二次函数的性质;函数的值域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)给出的函数是二次函数,求出其对称轴方程,分对称轴在给定的区间左侧,右 侧及在区间内,利用函数的单调性求出其在不同区间内的最大值,然后写成分段函数的形式; (2)分段作出函数 g(a)的图象,由图象直接看出 g(a)的最大值. 【解答】解: (1)函数 f(x)=2x2﹣2ax+3 的对称轴为 ①当 ②当 ③当 ,且 x∈.

2

,即 a≤﹣2 时,f(x)min=f(﹣1)=5+2a,即 g(a)=5+2a. ,即﹣2<a<2 时, ,即 .

,即 a≥2 时,f(x)min=f(1)=5﹣2a,即 g(a)=5﹣2a.

综①②③得:



(2)g(a)的图象如图,

由图可知,当 a=0 时,g(a)有最大值 3. 【点评】本题考查了二次函数的性质,考查了分类讨论求二次函数在不同区间上的最值,须 注意的是分段函数的值域要分段求,此题是基础题.


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