2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2课件:第一章 1.7 定积分的简单应用_图文

预习课本 P56~59,思考并完成下列问题 (1)利用定积分求平面图形的面积时,需要知道哪些条件? (2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积? [新知初探] 1.定积分与平面图形面积的关系 (1)已知函数 f(x)在[a,b]上是连续函数,由直线 y=0,x=a, x=b 与曲线 y=f(x)围成的曲边梯形的面积为 S. f(x)的符号 f(x)≥0 平面图形的面积与定积分的关系 ?b ? ? ? S=___________ a f(x)dx f(x)<0 a S=___________ - f(x)dx ?b ? ? ? (2)一般地, 如图, 如果在公共的积分区间[a, b]上有 f(x)>g(x), 那么直线 x=a,x=b 与曲线 y=f(x),y=g(x) [f(x)-g(x)]dx 围成的平面图形的面积为 S= ______________. [点睛] 对于不规则平面图形面积的处理原则 ?b ? ? ?a 定积分只能用于求曲边梯形的面积,对于非规则的曲边梯 形,一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形,再利用定积分的 和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积,可直接利用 相关面积公式求解. 2.变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v= v(t)dt v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即 s=_______. 3.力做功 (1)恒力做功:一物体在恒力 F(单位:N)的作用下做直线运动, 如果物体沿着与 F 相同的方向移动了 s,则力 F 所做的功为 W=Fs. (2)变力做功:如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且 物体沿着与 F(x)相同的方向从 x=a 移动到 x=b(a<b), 那么变力 F(x) ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a F(x)dx 所做的功为 W=___________. [点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系 如果做变速直线运动物体的速度-时间函数为 v=v(t), 则物体在区间[a,b]上的位移为定积分 v(t)dt;物体在区间[a, b]上的路程为 |v(t)|dt. a ?b ? ? ? ?b ? ? ?a [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)曲线 y=x 与直线 x+y=2, y=0 围成的图形面积为 x dx+ (2-x)dx. (2)曲线 y=3-x2 与直线 y=-1 围成的图形面积为 ?2 ? ? ?- 2 ?1 ? ? ?0 ?2 ? ? ?1 3 3 ( √ ) (4-x2)dx. (√ ) (3)速度是路程与时间的函数关系的导数. (√ ) (4)一个物体在 2≤t≤4 时,运动速度为 v(t)=t2-4t,则它在这 段时间内行驶的路程为 (t2-4t)dt. ?4 ? ? ?2 ( × ) 2.曲线 y=cos A.2 ? 3π? x?0≤x≤ 2 ?与坐标轴所围成的图形面积是( ? ? ) B.3 5 C. 2 D.4 答案:B 3.已知做自由落体运动的物体的速度为 v=gt,则物体从 t=0 到 t=t0 所走过的路程为 1 2 A. gt0 3 答案:C ( 1 2 C. gt0 2 1 2 D. gt0 4 ) B.gt2 0 4.一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度 v(t)=27-0.9t, 则列车从刹车到停车所前进的路程为________. 答案:405 利用定积分求平面图形的面积 [典例] 形的面积. [解] 2 ? ?y =2x, ? ? ?y=-x+4, 求抛物线 y2=2x 和直线 y=-x+4 所围成的图 先求抛物线和直线的交点,解方程组 求出交点坐标为 A(2,2)和 B(8,-4). 法一:选 x 为积分变量,变化区间为[0,8], 将图形分割成两部分(如图),则面积为 S=S1+S2=2 2 ?2 ? ? ?0 2xdx+ ?8 ? ? ? ? ? ? 2 2x-x+4??dx 8 ? ?2 2 3 1 ?? 4 2 3? ? ?? ? 2 = x ? +? x - x + 4 x ?? =18. 3 2?0 3 2 2 ? ??2 法二:选 y 作积分变量,则 y 的变化区间为[-4,2],如图得 所求的面积为 2? ? y 2 ?4-y- ?dy S=? ? ? 2? ? ? -4 ? y2 y3 ? =?4y- 2 - 6 ? ? ? ?2 ? ? ?-4 =18. 利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解 题步骤 (1)画出图形. (2)确定图形范围,通过方程组求出交点的横坐标,确 定积分上限和积分下限. (3)确定被积函数及积分变量,确定时可以综合考察下 列因素: ①被积函数的原函数易求;②较少的分割区域;③积 分上限和积分下限比较简单. (4)写出平面图形的面积的定积分表达式. (5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的 面积. [活学活用] 求曲线 y=ex,y=e x 及直线 x=1 所围成的图形的面积. - 解: x ? ?y=e , 如图,由? -x ? y = e , ? 解得交点为(0,1), ?1 ? ? ?0 x x x 1 x 所求面积为 S=? )d x = (e + e ) ? (e -e ? - - ?0 1 =e+ -2. e 求变速直线运动的路程、位移 [典例] 有一动点 P 从原点出发沿 x 轴运动,在时刻为 t 时的 速度为 v(t)=8t-2t2(速度的正方向与 x 轴正方向一致).求 (1)t=6 时,点 P 离开原点后运动的路程和点 P 的位移; (2)经过时间 t 后又返回原点时的 t 值. [解] (1)由 v(t)=8t-2t2≥0 得 0≤t≤4, 即当 0≤t≤4 时,P 点沿

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