2018年秋新课堂高中数学人教A版选修2-2教师用书:第3章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 Word版含答案

3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 学习目标:1.了解引进虚数单位 i 的必要性,了解数集的扩充过程.(重点)2. 理解复数的概念、表示法及相关概念.(重点) 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件.(重点、易混点) [ 自 主 预 习· 探 新 知] 1.复数的概念:z=a+bi(a,b∈R) 全体复数所构成的集合 C={a+bi|a,b∈R},叫做复数集. 2.复数相等的充要条件 设 a,b,c,d 都是实数,那么 a+bi=c+di?a=c 且 b=d. 3.复数的分类 实数?b=0? ? ? ?非纯虚数?a≠0? z=a+bi(a,b∈R)? 虚数?b≠0?? ? ?纯虚数?a=0? ? 思考:复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系? [提示] [基础自测] 1.思考辨析 (1)若 a,b 为实数,则 z=a+bi 为虚数.( (2)复数 i 的实部不存在,虚部为 0.( (3)bi 是纯虚数.( ) ) ) (4) 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0 ,那么这两个复数相 等.( ) (1)× (2)× (3)× (4)√ ) B.-2 D.2 [答案] 2.复数 i-2 的虚部是( A.i C.1 C [i-2=-2+i,因此虚部是 1.] 3.如果(x+y)i=x-1,则实数 x,y 的值分别为( A.x=1,y=-1 C.x=1,y=0 A [∵(x+y)i=x-1, ?x+y=0,? ∴? ?x-1=0, ∴x=1,y=-1.] 4.在下列数中,属于虚数的是________,属于纯虚数的是________. 【导学号:31062191】 1 π 0,1+i,πi, 3+2i,3- 3i,3i. [解析] 1 π 根据虚数的概念知:1+i,πi, 3+2i,3- 3i,3i 都是虚数;由 B.x=0,y=-1 D.x=0,y=0 ) π 纯虚数的概念知:πi,3i 都是纯虚数. [答案] 1 π 1+i,πi, 3+2i,3- 3i,3i π πi,3i [ 合 作 探 究· 攻 重 难] 复数的概念及分类 x2-x-6 实数 x 分别取什么值时, 复数 z= +(x2-2x-15)i 是①实数? x+3 ②虚数?③纯虚数? [解] 2 ?x -2x-15=0, ①当 x 满足? 即 x=5 时,z 是实数. ?x+3≠0, 2 ?x -2x-15≠0, ②当 x 满足? 即 x≠-3 且 x≠5 时,z 是虚数. ?x+3≠0, x-6 ?x - =0, ③当 x 满足? x+3 ?x2-2x-15≠0,?x+3≠0, 数. [规律方法] 复数分类的关键? 2 即 x=-2 或 x=3 时, z 是纯虚 ?1?利用复数的代数形式,对复数进行分类,关键是根据分类标准列出实部、 虚部应满足的关系式.求解参数时,注意考虑问题要全面,当条件不满足代数形 式 z=a+bi?a,b∈R?时应先转化形式.? ?2?注意分清复数分类中的条件? 设复数 z=a+bi?a,b∈R?,则①z 为实数?b=0,②z 为虚数?b≠0,③z 为纯虚数?a=0,b≠0,④z=0?a=0,且 b=0. [跟踪训练] 1 .若复数 z = a2 - 3 + 2ai 的实部与虚部互为相反数,则实数 a 的值为 ________. 【导学号:31062192】 [解析] (1)由条件知 a2-3+2a=0, ∴a=1 或 a=-3. [答案] 1 或-3 2.实数 k 为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是①实数;②虚 数;③纯虚数;④零. [解] 由 z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i. ①当 k2-5k-6=0 时,z∈R,即 k=6 或 k=-1. ②当 k2-5k-6≠0 时,z 是虚数,即 k≠6 且 k≠-1. 2 ?k -3k-4=0 ③当? 2 时,z 是纯虚数,解得 k=4. ?k -5k-6≠0 2 ?k -3k-4=0 ④当? 2 时,z=0,解得 k=-1. ?k -5k-6=0 复数的相等的充要条件 [探究问题] 1.由 3>2 能否推出 3+i>2+i?两个实数能比较大小,那么两个复数能比较 大小吗? 提示:由 3>2 不能推出 3+i>2+i,当两个复数都是实数时,可以比较大小, 当两个复数不全是实数时,不能比较大小. 2.若复数 z=a+bi>0,则实数 a,b 满足什么条件? 提示:若复数 z=a+bi>0,则实数 a,b 满足 a>0,且 b=0. (1) 若复数 z=(m+1)+(m2 -9)i<0,则实数 m 的值等于________. (2)已知关于 x 的方程 x2+(1-2i)x+(3m-i)=0 有实数根,求实数 m 的值. [思路探究] (1)等价转化为虚部为零,且实部小于零; (2)根据复数相等的充要条件求解. (1)-3 2 ?m -9=0 [∵z<0,∴? ,∴m=-3.] ?m+1<0 (2)设 a 是原方程的实根, 则 a2+(1-2i)a+(3m-i)=0, 即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i, 所以 a2+a+3m=0 且 2a+1=0, 1 ? 1? 1 所以 a=-2且?-2?2-2+3m=0, ? ? 1 所以 m=12. 母题探究:1.(变条件)若 x=1 是方程 x2+(1-2i)x+(3m-i)=0 的实数根, 求复数 m 的值. [解] 2 由题意可知,1+1-2i+3m-i=0,即 m=-3+i. 2.(变条件)若 x2+(1-2i)x+(3m-i)>0,求实数 m 的取值范围. [解] 由题意可知,x2+(1-2i)x+(3m-i)= x2+x+3m-(2x+1)i>0, , ?2x+1=0 故? 2 ?x +x+3m>0 1 x =- ? ?

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