【数学】2017-2018年黑龙江省哈尔滨六中高三(上)期中数学试卷与答案(文科)

2017-2018 学年黑龙江省哈尔滨六中高三 (上) 期中数学试卷 (文 科) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={0,1},B={x|lnx≤0},则 A∪B=( A.[0,1] B. (0,1] C.{1} D. (﹣∞,1] 2. (5 分)已知 a∈R,复数 A.. B.i C.. D..1 ) 为纯虚数,则 z 的虚部为( ) ) 3. (5 分)已知直线 a,b,l,平面 α,β,则下列命题正确的个数为( ①若 α⊥β,l⊥α,则 l∥β②若 a⊥l,b⊥l,则 a∥b ③若 α⊥β,l? α,则 l⊥β④若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β A.0 B.1 C.2 D.3 , 则 z=3x﹣2y 的最大值为 ( 4. (5 分) 设变量 x, y 满足约束条件 ) A.﹣2 B.2 C.3 D.4 ,AB=AC=2, , 5. (5 分)在△ABC 中,若 则 =( ) A. B. C. D. ) 6. (5 分) 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 ( 第 1 页(共 22 页) A.30° B.45° C.60° D.15° 7. (5 分)一个几何体的三视图如图,则它的表面积为( ) A.28 B. C. D. , ) ]的图象如图所示, 8. (5 分)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ,x∈[﹣ 若 f(x1)=f(x2) ,且 x1≠x2,则 f(x1+x2)的值为( A.0 B.1 C. D. 9. (5 分)祖暅是南北朝时代的伟大科学家,5 世纪末提出体积计算原理,即祖 暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何 体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两 个几何体的体积一定相等, 现有以下四个几何体:图①是从圆柱中挖去一个圆锥 所得的几何体;图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的 两个几何体为( A.①② B.①③ ) C.②④ D.①④ 10. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P,Q 分别是线段 AD1 和 B1C 上的动点,且满足 AP=B1Q,则下列命题错误的是( 第 2 页(共 22 页) ) A.存在 P,Q 的某一位置,使 AB∥PQ B.△BPQ 的面积为定值 C.当 PA>0 时,直线 PB1 与 AQ 是异面直线 D.无论 P,Q 运动到任何位置,均有 BC⊥PQ 11. (5 分)若 f(x)=ex﹣ae﹣x 为奇函数,则 的解集为( ) A. (﹣∞,2) B. (一∞,1) C. (2,+∞) D. (1,+∞) 12. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,设函数 f(x)的导函数为 f'(x) ,若对任意的 x>0 都有 2f(x)+xf'(x)>0 成立,则( A.3f(﹣3)<2f(﹣2) D.4f(﹣2)<9f(3) ) B.2f(3)<3f(﹣2) C . 4f ( ﹣ 2 ) > 9f ( 3 ) 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)已知 14. (5 分)已知 ,则 ,则 的最小值为 = . . 15. (5 分)已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SC 是球 O 的直 径.若平面 SCA⊥平面 SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥 S﹣ABC 的体积为 9,则球 O 的表面积为 . 16. (5 分)设数列{an}满足 a1=1,a2=3,且 2nan=(n﹣1)an﹣1+(n+1)an+1, (n ≥2) ,则 a20 的值为 . 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) 设△ABC 三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 (1)求角 C 的大小; 第 3 页(共 22 页) (2)在△ABC 的一个外角∠ACD 内取一点 P,使 PC=2,过点 P 分别作 CA,CD 的垂线 PM,PN,垂足分别为 M,N,设∠PCA=α,当 α 为何值时,PM+PN 最大, 并求出最大值. 18. (12 分)直棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面 ABC 为正三角形,点 D 为 BC 的中点, BC=BB1. (1)求证:A1C∥平面 AB1D; (2)试在棱 CC1 上找一点 M,使 MB⊥AB1,并给出证明. 19. (12 分)已知{an}是等比数列,前 n 项和为 Sn(n∈N*) ,且 S6=63. (1)求{an}的通项公式; ﹣ = , n (2) 若对任意的 n∈N*, bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项, 求数列{ (﹣1) b } 的前 2n 项和. 20. (12 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面 ACFE⊥平面 ABCD,四边形 ACFE 是矩形,AE=a. (1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2)求三棱锥 A﹣BEF 的高. 第 4 页(共 22 页) 21. (12 分)已知函数 f(x)=b(x+1)lnx﹣x+1,斜率为 1 的直线与 f(x)相切 于(1,0)点. (1)求 h(x)=f(x)﹣xlnx 的单调区间; (2)证明: (x﹣1)f(x)≥0. 22. (10 分)已知实数 a,b 满足 a+b=1 (1)求证: ; (2)若至少存在一个实数 x0,使得|x﹣a|+|x﹣b|≤5 成立,求实数 2a+3b 的取 值范围. 第 5 页(共 22 页) 2017-2018 学年黑龙江省哈尔滨六

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