清华大学微积分高等数学课件第5讲导数与微分一-文档资料_图文

作 业
P59 习题3.1
8. 9 (3)(6). 11(2)(6). 12. 13.
预习P60 —67. P70 —78
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第五讲 导数与微分(一)
一、引言
二、导数定义与性质 三、函数的微分

四、可导、可微与连续的关系 五、基本导数(微分)公式
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一、引言 两个典型背景示例

[例1] 运动物体的瞬时速度
设汽车沿t轴作直线运动, 若己知其运动 规律(路程与时间的函数关系)为 x ? x( t ) 求在时刻 t 0 的瞬时速度.
t
3

t0
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t ? t0 ? ?t

[解] (1) 求时段 t0 到t0 ? ? t 的平均速度

x( t 0 ? ? t ) ? x( t 0 ) v (t0 , ? t ) ? ?t
(2) 平均速度的极限是瞬时 速度

x( t 0 ? ? t ) ? x( t 0 ) v( t 0 ) ? lim ? t ?0 ?t

如果极限存在, 这个极限值就是质点的 瞬时速度.
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[例2]

曲线的切线斜率问题

设曲线 L, 其方程为 y ? f ( x ) ( a ? x ? b ) f ( x ) ? C[a, b]. x0 ? ( a, b ), 求曲线 L 在点M 0 ( x0 , y0 )的切线 (其中, y0 ? f ( x0 )).

什麽是曲线的切线?
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y

当N ? M 0时, 割线 的极限位置就是切线
N

L : y ? f ( x)
M0

割线
T

切线
x0 ? ?x

o
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x0

x
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(1) 求区间x0 到 x0 ? ? x 的割线斜率

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) k ( x0 , ? x ) ? ?x
(2) 割线斜率的极限是切线 斜率

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) k ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x
(3) 曲线 L 在点M0 ( x0 , y0 )的切线方程
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y ? f ( x0 ) ? k ( x0 )( x ? x0 )

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二、导数定义与性质 1. 导数定义: 设函数 y ? f ( x ) 在点 x0 的
某邻域有定义.如果极限 f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ? x ?0 ? x ? x ?0 ?x 存在, 则称函数 f 在 x0 可导, 并称此 极限值为函数 f 在 x0 的导数. 记作 df f ?( x0 ), dx ,
x ? x0

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dy dx x ? x0

8

[注意1] 导数的等价定义:

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim ? x ?0 ?x
? f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ) f ?( x 0 ) ? l i m h? 0 h

?
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f ( x ) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim x ? x0 x ? x0
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[注意2] 导数的意义: 导数是函数在一点的变化率 物理意义

瞬时速度: v(t0 ) ? s?(t0 )

线密度: ? ( x ) ? m?( x )

几何意义 切线斜率: k( x0 ) ? f ?( x0 )

导数 f ?( x0 ) 是曲线 y ? f ( x )在点
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M 0 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率 .

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例:线密度问题
设有一根由某种物质做成的细杆AB, 求在断面M处细杆的线密度.
A M
x

N

o

B

x ? ?x

x

设AM的质量是 m( x ) MN的质量为 m( x ? ?x ) ? m( x )

m( x ? ?x ) ? m( x ) 平均线密度 ?x m ( x ? ?x ) ? m ( x ) ? ( x) ? l i m ?x ? 0 ?x 2019/4/14

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2. 单侧导数定义: f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? ? f ( x ) 左导数 lim ? 0 ?x ? 0 ? ?x

f 在 x0 左可导 f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? 右导数 lim ? f ( x ) ? 0 ?x ? 0 ? ?x f 在 x0 右可导
定理: 函数 f 在点 x0 可导 ? f 在 x0 的

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左、右导数都存在且相 等, 即 f ?( x0 )存在 ? f ?? ( x0 ) ? f ?? ( x0 )
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3. 导函数定义: ? 若函数 f 在开区间 ( a, b) 上处处

可导, 则称 f 在开区间 (a, b) 上可导. ? 若函数 f 在开区间 (a , b) 上可导,

且在点a 右可导, 在点b 左可导, 则称 f 在闭区间 [a , b]上可导. 若函数 f 在区间I 上可导, 则在区间 I 上定义了一个新的函数 f ?( x ), 称为 f
的导函数.
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三、函数的微分 导数是从函数对自变量变化的速度来 研究;而微分则是直接研究函数的增量, 这有许多方便之处。 (一)函数的微分的定义 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某邻域有定义.
如果 f ( x ) 在点 x0 的增量可表示成

?f ( x0 ) ? A( x0 ) ? ? x ? o( ? x )
则称函数 f 在点 x0 可微.

线性函数 A ? ?x 称为函数 f 在点 x0 的微分.
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记作 df ( x0 ) ? A ? ?x 或 dy x ? x ? A ? ?x
0

[注意1] 当确定点x0 时, 微分df ( x0 )是

?x ? x ? x0 的线性函数.
[注意2] 当?x很小时, 微分df ( x0 ) 可作为 增量?f ( x0 ) 的近似值, 其误差

?f ( x0 ) ? df ( x0 )
是?x的高阶无穷小 .
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微分是增量的“线性主 部”

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四、可导、可微与连续的关系

定理1: 函数可微与可导是等价的

(1) 函数 f ( x )在点x0处可导, 则它在 点 x0 必可微, 且 A( x0 ) ? f ?( x0 ) 即 df ( x0 ) ? f ?( x0 )?x

(2) 函数 f ( x )在点x0处可微, 则它在 点 x0 必可导, 且
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f ?( x0 ) ? A( x0 )
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[证] (1)

设 f ( x )在点 x0 可导,即

?f ( x 0 ) lim ? f ?( x 0 ) ?x ? 0 ?x
由有极限函数与无穷小 量的关系知

?f ( x 0 ) ? f ?( x0 ) ? o(1) ?x ? ?f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ? ?x ? o(?x)
即 f ( x)在点 x0 可微, 且A( x0 ) ? f ?( x0 )
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[证] (2) 设函数 f ( x )在点 x0可微

?f ( x0 ) ? A( x0 ) ? ?x ? o(?x)

(?x ? 0)

?f ( x 0 ) f ?( x 0 ) ? l i m ?x ? 0 ?x A( x0 )?x ? o( ?x ) ? lim ? A( x0 ) ?x ? 0 ?x

即 f ( x)在点 x0 可导, 且f ?( x0 ) ? A( x0 )
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若函数 f 在 x0 可导, 则 f 在 x0 连续. 定理2: ?y [证] f 在 x0 可导 ? lim ? f ?( x0 ) ? x ?0 ? x ? ? y ? f ?( x0 ) ? ? x ? ? ( x ) ? ? x ? f ?( x0 ) ? ? x ? o(?x )
?
? x?0

lim ? y ? 0

?

f 在 x0 连续

[注意] 可导必连续, 连续不一定可导!
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[例] 研究函数 y ? x 在点 x ? 0 处的连续性 与可导性. [解] 给x0 ? 0一个改变量?x, 得到 ?y ? 0 ? ?x ? 0 ? ?x ? ? y ? 0 (? x ? 0) ? 连续 ?y ?x ? f ?? (0) ? lim? ? lim ? 1 ? x ?0 ? x ?x ?0 ? ? x ?y ?? x f ?? (0) ? lim? ? lim? ? ?1 ? x ?0 ? x ? x ?0 ? x
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?

y ? x 在 x ? 0不可导

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y? x

o
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尖点

x
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[例] 研究 f ( x) ? x 在 x ? 0的可导性
? y f ( 0 ? ? x ) ? f ( 0) ( ? x ) 1 [解 ] ? ? ? ?x ?x ?x (? x )
1 3 2 3

1 3

?y 1 ? lim ? lim ? ?? ? x ?0 ? x ? x ?0 (? x )
2 3

?

f ( x) ? x 在 x ? 0 不可导
y
O

1 3

有铅垂切线

y? x

1 3

x
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1 ? ? x sin , x ? 0 [例] y ? ? , 求 y?(0) x ? x?0 ? 0, 1 ?x sin ? 0 1 ? x [解] y?(0) ? lim ? limsin ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
y?( 0) 不存在!

振荡
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1 ? 2 ? x sin , 若 y?? x ? ? 0,

x?0 x?0
2

1 ??x ? sin ? 0 ?x 则 y?(0) ? lim ?x ?0 ?x 1 ? ? ? lim? ??x ? sin ? ? 0 ?x ?0 ?x ? ?
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微分的几何意义 y

y ? f ( x)

T

N
M0
P

dy

?y

?x Q

o
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?

微分三角形

x0 x0 ? ?x
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x

PQ ? M0Q ? tg? ? ?x ? f ?( x0 ) ? dy

微分dy x ? x0 就是曲线 y ? f ( x ) 在点M 0 ( x0 , f ( x0 ))处的切线M 0T 的纵坐标增量.

当 ?x 很小时,

?y ? dy 即

在点x0附近, 用切线近似代替 曲线 — “以直代曲” .
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五、基本导数(微分)公式

(1) (C )? ? 0

x lna a x) ? 1 ( 6 ) (log ? ? ( 5) (ln x ) ? 1 x (7) (sinx )? ? cos x (8) (cos x )? ? ? sinx

( 3) (e )? ? e
x

x

( 2) ( x )? ? ? x (4) (a x )? ? a x lna

?

? ?1

1 ( 9) (tan x )? ? sec x ? 2 cos x 1 2 (10 ) (cot x )? ? ? csc x ? ? 2 sin x
2
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(11) (secx )? ? secx tan x (12) (csc x )? ? ? csc x cot x
(13) (arcsinx )? ?
(14) (arccosx )? ? ?

1 1? x 1
2

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1? x 1 (15 ) (arctan x )? ? 2 1? x 1 (16 ) ( arc cot x )? ? ? 2 1? x

2

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微分基本公式
根据df ( x ) ? f ?( x ) ?x , 故 由导数基本公式便可以得到 微分基本公式. ( 见讲义:P 67)

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5. 利用定义求导的例子

[例1] 求 y ? f ( x) ? C (C为常数) 在 x 的导数.
[解] (1) 给 x 以增量? x, 得到 ? y ? f ( x ? ? x) ? f ( x) ? C ? C ? 0

(2) 求增量比 ?y 0 ? ?0 ?x ?x ?y ?0 (3) 令? x ? 0, 取极限得 lim ? x ?0 ? x
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公式 (C )? ? 0

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[例2] 求 f ( x) ? cos x 在 x 的导数.
[解 ] ?x ?x ?y ? cos(x ? ?x ) ? cos x ? ?2 sin(x ? ) sin 2 2 ?x ?y ? x sin 2 ? ? sin(x ? ) ?x ?x 2 2 ?x ?y ? x sin 2 ? lim ? ? limsin(x ? ) ? x ? ? sinx ? x ?0 ? x ?x ?0 2 2 公式 (cos x )? ? ? sinx
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公式 (sinx )? ? cos x

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[例3] 求 f ( x) ? ln x 在 x 的导数.
[解 ]

?x ?y ? ln( x ? ? x ) ? ln x ? ln(1 ? ) x ?x ln( 1? ) ?y 1 ?x x ? ln( 1? )? ?x ?x ?x x ?x x ?y 1 lim ? ? x ?0 ? x x

1 公式 (ln x )? ? x
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1 公式 (log a x )? ? x ln a
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[例5] 求 f ( x) ? a 在 x 的导数.
x

[解 ]

?y?a

x?? x
?x

? a ? a (a
x x

?x

? 1)

?y ?1 x a ?a ?x ?x ?x ?y a ?1 x x lim ? a lim ? a lna ? x ?0 ? x ? x ?0 ? x

公式 (a )? ? a lna
x x

公式 (e )? ? e
x
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x
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问题:如何求其他函数的导数?
其他基本初等函数

初等函数 ? ?

四则 复合

反函数 导数运算法则 隐函数 参数方程
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基本导数公式

对数微分法
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