温州市平阳县鳌江中学2013届高三数学一轮复习全能测试 专题七 立体几何与空间向量 理

平阳县鳌江中学2013 届 高三一轮复习全 能测试 专题七 立 体几何与空 向量 间
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B )=P(A)+P(B); 球的表面积公式: S ? 4 ? R (其中 R 表示球的半径);
2

球的体积公式: V ?

4 3

? R (其中 R 表示球的半径);
3

锥体的体积公式: V ?

1 3

Sh (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高);

柱体的体积公式 V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高); 台体的体积公式: V ?
1 3 h(S1 ? S1S 2 ? S 2 )

(其中 S 1 , S 2 分别表示台体的上,下底面积, h 表示台体的高). 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求) 1、若右图是一个几何体的三视图,则这个几何体是 (A) 圆锥 (B)棱柱 (C)圆柱 (D)棱锥 o 2、如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和 上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )

A.

1 2

?

2 2

B. 1 ?

2 2

C. 1 ?

2

D. 2 ?

2

3、 已知 ABCD 为四 面体,O 为△BCD 内一点 (如图) 则 AO ? , 是 O 为△BCD 重心的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

1 3

( AB ? AC ? AD )

4、关于三条不同直线 a , b , l 以及两个不同平面 ? , ? ,下面命题正确的是(
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1

A. 若 a ∥ ? , b ∥ ? ,则 a ∥ b C.若 a ? ? ,? ∥ ? , ? ? ? 则

B. D.

若 a ∥ ? , b ? ? ,则 b ? ? 若 a ? ? ,b ? ? , l ? ? , l ? b , l ? ? 且 则

5、将正方体截去一个四棱柱后得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧 视图为 ( )

A

B

C

D

正视图

俯视图
B ? ? , BD ? l , D 为垂足,

6、已知直二面角 ? ? l ? ? ,点 A ? ? , AC ? l , C 为垂足,点 若 AB ? 2 , AC ? BD ? 1, 则 CD ? A.2 面 MBD 的距离是( ) B. 3 C. 2

( D.1



7、如下图所示,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AA1 的中点,则点 A 到平

A. C.

6 a 3 3 a 4

B. D.

3 a 6 6 a 6

8、 在正三棱锥 P ? A B C (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心) 中,A B ? 4, P A ? 8 , 过 A 作与 P B , P C 分别交于 D 和 E 的截面,则截面 ? A D E 的周长的最小值是( A.9 B.10 C.11
2

)

D.12 .将 ? ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进 ( )

9、(2012 浙江理)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 行翻着,在翻着过程中,

A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直
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C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 10、空间给定不共面的 A、B、C、D 四个点,其中任意两点的距离都不相同,考虑具有如 下性质的平面 ? :A、B、C、D 中有三个点到 ? 的距离相同,另外一个点到 ? 的距离 是前三个点到 ? 的距离的2倍,这样的平面的个数是 A.15 B.23 C.26 D.32

非选择题部分(共 100 分) 注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用 黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11、(2012 浙江理)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于 3 ___________cm . 12、如图 B D 是边长为 3 的 A B C D 为正方形的对角线,将 ? B C D 绕直 线 A B 旋转一周后形成的几何体的体积等于

13、己知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形,其尺寸如图所示,则其侧视图的周长为 _______________
D1 A1 B1 N D M A B C C1

14、( 2012 四川理)如图,在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, M 、 N 分别是 C D 、 C C 1 的 中点,则异面直线 A1 M 与 D N 所成角的大小是____________. 15、四棱锥 P ? A B C D 的顶点 P 在底面 A B C D 上的投影恰好是 A ,其正视图与侧视图都是 腰长为 a 的等腰直角三角形。则在四棱锥 P ? A B C D 的任意两个顶点的连线中,互相 垂直的异面直线共有______对 16、图 2 中的实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图,其中四边形 ABCD 是边长
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为 1 的正方形. 若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点, 它落在长方体的平面展形图内的概 1 率是 ,则此长方体的体积是________. 4

D

C

M
N

A E 第 17 题
17、 如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 是矩形, 平面 ABCD ? 平面 ABE , 已知 AB ? 2 ,
3 ,且当规定主(正)视方向垂直平面 ABCD 时,该几何体的左(侧) 2 视图的面积为 .若 M 、 N 分别是线段 DE 、 CE 上的动点,则 AM ? MN ? NB 2 AE ? BE ?

B

的最小值为



三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 M,N 分别是 AF,BC 的中点).

(1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求二面角 A-CF-B 的余弦值; (3)求多面体 A-CDEF 的体积.

19、(本小题 14 分)已知矩形 ABCD,AD=2AB=2,点 E 是 AD 的中点,将△DEC 沿 CE 折起到△D’EC 的位置,使二面角 D'-EC -B 是直二面角。 (Ⅰ) 证明:BE⊥CD’;
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(Ⅱ) 求二面角 D'-BC -E 的余弦值,

20、(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, AE ? 平面 CDE ,已知 AE ? DE ? 3 , F 为线段 DE 上的动点. (Ⅰ)若 F 为 DE 的中点,求证: BE // 平面 ACF ; (Ⅱ)若二面角 E ? BC ? F 与二面角 F ? BC ? D 的大小相等,求 DF 长.

(第 20 题图) 21、(本小题满分 15 分)如图,在三棱拄 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 侧面 BB1C1C ,已知
BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ?

?
3

(Ⅰ)求证: C1 B ? 平面ABC ; (Ⅱ)试在棱 CC1 (不包含端点 C , C1 ) 上确定一点 E 的位置,使得 EA ? EB1 ; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,求二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角的正切值.
A A1

B

22、
C E C1

B1

(本小题满分 15 分)如图,在直角梯

形 ABCP

中 , AB ? BC ? 3 , AP ? 6 ,

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5

CD ? AP 于 D , 现将 ? PCD 沿线段 CD 折成 60 的二面角 P ? CD ? A , E , F , G 分 设
0

别是 PD , PC , BC 的中点. (Ⅰ) 求证: PA // 平面 EFG ; (II)若 M 为线段 CD 上的动点,问点 M 在什么位置时,直线 MF 与平面 EFG 所成 角为 60 ? . A D E . . F B . G B P F A M G C D P

E

C

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6

平阳县鳌江中学 2013 届高三一轮复习全能测试 参考答案及 评分标准 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C D C D C B D 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分。 11、1 12、 18? 13、 14、90? 15、6 16、 3 17、 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、 (本小题满分 14 分)解:

由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE-BCF,且 AB=BC=BF=4,

DE=CF=4 2,∠CBF= .
(1)证明:连接 BE,易知 BE 通过点 M,连接 CE. 则 EM=BM,CN=BN,∴MN∥CE,又 CE? 平面 CDEF,MN?平面 CDEF,∴MN∥平面 CDEF.

π 2

(2)作 BQ⊥CF 于 Q,连接 AQ, ∵平面 BFC⊥平面 ABFE,平面 ABFE∩平面 BCF=BF,AB? 平面 ABFE,AB⊥BF,∴AB⊥ 平面 BCF, 又 CF? 平面 BCF, AB⊥CF, BQ⊥CF, ∩BQ=B, CF⊥平面 ABQ, AQ? 平面 ABQ, ∴ 又 AB ∴ ∵ ∴AQ⊥CF,故∠AQB 为所求二面角的平面角.
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在 Rt△ABQ 中,tan∠AQB=

AB 4 = = 2,则 BQ 2 2

cos∠AQB=

3 3 ,故所求二面角的余弦值为 . 3 3

1 (3)多面体 A-CDEF 的体积 V=2×VA-CEF=2×VC-ABF=2× 3

S△ABF·BC= .
19. (本小题满分 14 分)解:(Ⅰ)∵AD=2AB=2,E 是 AD 的 中点, ∴△BAE,△CDE 是等腰直角三角形,∠BEC=90°,即 又∵平面 D'EC⊥平面 BEC,面 D'EC∩面 B EC=EC ∴BE⊥面 D'EC,∴BE⊥CD’. ?????4 分 (Ⅱ)法一:设 M 是线段 EC 的中点,过 M 作 MF⊥BC 垂足为 F,连接 D’M,D'F,则 D'M⊥EC. ∵平面 D'EC⊥平面 BE C ∴D'M⊥平面 EBC ∴MF 是 D'F 在平面 BEC 上的射影,由三垂线定理得:D'F⊥BC ∴∠D'FM 是二面 D'-BC-E 的平面角.????8 分 在 Rt△D'MF 中, D ' M ?
1 2
tan ?D' FM ? D' M MF ?

64 3

EC ?

2 2

, MF ?

1 2

AB ?

1 2

2 cos ?D' FM ?

3 3

,
3? 3

∴二面角 D’-BC—E 的余弦值为

???????????????????14 分,

法二:如图,以 EB,EC 为 x 轴、y 轴,过 E 垂直于平面 BEC 的射线为 z 轴,建立空间直角 坐标系. 则 B ( 2 ,0,0), C (0, 2 ,0), D' (0, 设 平 面 BEC
2 2 , ) 2 2

?????8 分 D'BC 的 法 向 量 为

的 法 向 量 为 n1 ? (0,0,1) ; 平 面
2 ,0), D ' C ? (0, 2 2 ,? ), 2 2

n ? ( x2 , y2 , z 2 ) BC ? ( ? 2 ,

?n ? BC ? 0 ? 2 ? ?n2 ? D ' C ? 0 ?

?? 2 x2 ? 2 y 2 ? 0 ? 取 x2=l???12 分 ? 2 2 ? y ? z ?0 2 2 ? 2 2

得 n2 ? ?1,1,1?,? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

?

3 3

∴二面角 D'-BC-E 的余弦值为

3 ??????14 分 3
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20、(本小题满分 14 分) 证明:(Ⅰ)连结 AC , BD 交于 O ,连 OF ,如图 1
? F 为 DE 中点, O 为 BD 中点,? OF // BE ,????3 分
OF ? 平面 ACF , BE ? 平面 ACF ,

B

A M H G E F D

N

? BE // 平面 ACF .??????3 分

C (Ⅱ)如图 2,过 E 作 EH ? AD 于 H ,过 H 作 MH ? BC 于 M ,连结 ME ,同理过 F 作 FG ? AD 于 G ,过 G 作 NG ? BC 于 N ,连结 NF ,
? AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE , ? AE ? CD ,? CD ? AD , AE ? AD ? A , AD , AE ? 平面 DAE ,

第 20 题图 2

? CD ? 平面 DAE , EH ? 平面 DAE ,? CD ? EH , CD ? AD ? D , CD , AD ? 平面 ABCD , EH ? 平面 ABCD , ? HE ? BC , BC ? 平面 MHE , ? ? HME 为二面角 E ? BC ? D 的平面角, ? ????

4分 同理, ? GNF 为二面角 F ? BC ? D 的平面角,
? MH // AB ,? MH ? 3 2 ,又 HE ?

3 2 2



? tan ? HME ?
? tan ? GNF ?

1 2

,而 ? HME ? 2 ? GNF ,
5 ? 2 ,?

GF GN

?

5 ? 2 , GF ? 3 10 ? 6 2 ,又 GF // HE ,

?

DF DE

?

GF EH

,

? DF ? 6 5 ? 12 .

????4

分 解法二: (Ⅱ)? AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,
? AE ? CD ,? CD ? AD , AE ? AD ? A , AD , AE ? 平面 DAE ,

? CD ? 平面 DAE ,如图 3 建立坐标系,

用心 爱心 专心

9

则 E ( 3, 0 , 0 ) , F ( a , 0 , 0 ) , C ( 0 ,3 2 , 0 ) , A ( 3 , 0 ,3 ) , k D ( 0 , 0 , 0 ) 由 DC ? AB 得 B ( 3 , 3 2 , 3 ) ,ks**5u????2 分

设 n 1 ? 平面 ABCD ,且 n 1 ? ( x , y , z ) ,由 ? 分 设 n 2 ? 平面 BCF ,且 n 2 ? ( x , y , z ) , 由?
? n ? BC ? 0 ? 2

? n ? DC ? 0 ? 1

?y ? 0 ? ? ? n 1 ? (1, 0 , ? 1) ?1 ?x ? z ? 0 ? n 1 ? DA ? 0 ?

?x ? z ? 0 ? ? ? n 2 ? ( 3 2 , a , ? 3 2 ) ????1 分 ? n 2 ? CF ? 0 ? ax ? 3 2 y ? 0 ?

设 n 3 ? 平面 BCE ,且 n 3 ? ( x , y , z ) , 由?
? n ? BC ? 0 ? 3 ?x ? z ? 0 ? ? ? n 2 ? ( 2 ,1, ? x ? 2y ? 0 ? n 3 ? CE ? 0 ? ? 2 ) ????1 分

设二面角 E ? BC ? F 的大小为 ? ,二面角 D ? BC ? F 的大小为 ? ,
| n1 ? n 2 | | n1 | ? | n 2 | | n3 ? n2 | | n3 | ? | n2 |

? ? ? , | cos ? n 1 , n 2 ? |? | cos ? n 3 , n 2 ? | ,?
| 12 ? a | 5

?

? 6 ?

? a ? ? 12 ? 6 5 ,

? 0 ? a ? 3 , ? a ? 6 5 ? 12 . ???????

3分 21、(本小题满分 15 分)证(Ⅰ)因为 AB ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BC1 在 ? BC1C 中, BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ?
BC1 ?

?
3

由余弦定理有

BC ? CC1 ? 2 ? BC ? CC1 ? cos ?BCC1 ???? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? cos
2 2

?
3

?
A

3

故有 而

BC ? BC1 ? CC1 ???????? C1 B ? BC ?
2 2 2

A1

BC ? AB ? B 且 AB, BC ? 平面 ABC
? C1 B ? 平面ABC

B B1

(Ⅱ)由
EA ? EB1 , AB ? EB1 , AB ? AE ? A, AB, AE ? 平面ABE

C

E

C1

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10

从而 B1 E ? 平面ABE 不妨设

且 BE ? 平面ABE 故 BE ? B1 E
2 2

CE ? x ,则 C1 E ? 2 ? x ,则 BE ? 1 ? x ? x
2 3

又? ?B1C1C ?

?

则 B1 E 2 ? 1 ? x 2 ? x 从而 x ? ?1 (舍负)

在 Rt ? BEB1 中有 x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 ? 4 故 E 为 CC1 的中点时, EA ? EB1

法 二 : 以 B 为 原 点 BC , BC1 , BA 为 x, y, z 轴 , 设 CE ? x , 则
z

??? ???? ??? ? ? ?

B (0, 0, 0),E (1?

1 2

x ),B ( 1, 3, 0), (0, 0, ? A 1

2)

由 EA ? EB1 得
A A1

??? ???? ? EA ? EB1 ? 0 即
( 1 2 ( 1 2 x ? 1)( 1 2
2

x ? 1, ?

3 2

x, 2)(

1 2

x ? 2, 3 ?

3 2

x, 0) ? 0

B B1

y

x ? 2) ?

? 3 ? x? 3 ? x? ? 0 2 ? 2 ? ? ? 3

C E C1

x

化简整 理得

x ? 3x ? 2 ? 0

x ?1 或 x ? 2

当 x ? 2 时 E 与 C1 重合不满足题意 当 x ? 1 时 E 为 CC1 的中点 故 E 为 CC1 的中点使 EA ? EB1 (Ⅲ)取 EB1 的中点 D , A1 E 的中点 F , BB1 的中点 N , AB1 的中点 M 连 DF 则 DF // A1 B1 ,连 DN 则 DN // BE ,连 MN 则 MN // A1 B1 连 MF 则 MF // BE ,且 MNDF 为矩形, MD // AE 又? A1 B1 ? EB1 , BE ? EB1
1 2
MF ? 1 2 BE ? 1 2 CE ? 1 2
A M A1

故 ?MDF 为所求二面角的平面角
2 2

B N

F B1

在 Rt ? DFM 中, DF ?

A1 B1 ?

(? ?BCE为正三角形)
C E

D C1

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11

1 2 ? tan ?MDF ? 2 ? 2 2 2

22、 (Ⅰ)证明:取 AD 中点 O ,连接 GO , OE , 易得四边形 OGFE 为梯形,有 OE 在平面 EFG 上,又 PA // OE , 结合 PA ? 平面 EFG , OE ? 平面 EFG ,得 PA // 平面 EFG ;????????6 分 (Ⅱ)分别以 OG , OD , OP 为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz ,有
OG ? ( 3 , 0 , 0 ) , OE ? ( 0 ,
3 3 , 4 4 3) .

?3 x ? 0 ? n ? OG ? 0 ? ? ? ?3 设 平 面 EFG 的 法 向 量 为 n ? ( x , y , z ) , 则 根 据 ? 3 ? n ? OE ? 0 ? y? ? 4 ?4
y ? 3 ,得到 n ? ( 0 ,

3z ? 0

,取

3 , ? 1) .
3 2 ? ? ,? 3 3 , 4 4 ?) ,

设点 M ( ? ,

3 2

, 0 ) ( 0 ? ? ? 3 ) ,于是 MF ? (
n ? MF

有题知 sin 60 ? ?
n ? MF

,

?

3 4

3?
2

3 4 9 16

3



3 2

? 2? ( 3 2

,解得 ? ?
? 9 16 ?3

3 2



? ?) ?

∴点 M 在 CD 的中点时, MF 与平面 EFG 所成角为 60 ? .??????????15 分

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