高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程达标训练新人教A版选修4_420171121387

四 柱坐标系与球坐标系简介 更上一层楼 基础·巩固 1 如图 1-3-5,极坐标方程 ρ =asinθ (a>0)所表示的曲线的图形是( ) 图 1-3-5 2 思路解析:如果没有记住它的图形,不妨化其为直角坐标方程 : ρ =asin θ , ρ = ρ asin θ ,x +y =ay,x +(y2 2 2 a 2 a2 a a )= ,图形显然是以(0, )为圆心, 为半径的圆.选 C. 2 2 2 4 ) 答案:C 2 极坐标方程分别是 ρ =cosθ 和 ρ =sinθ 的两个圆的圆心距是( A.2 B. 2 C.1 D. 2 2 思路解析: 本题有两种解法.第一种解法是直接在极坐标系中,根据给定的方程判断出两圆心的 极坐标分别是( 1 1 ? 2 ,0)和( , ),这两点间的距离是 .第二种解法是将方程化为直角坐标 2 2 2 2 2 2 方程,因为ρ 不恒为 0,可以用ρ 分别乘方程两边,得ρ =ρ cosθ 和ρ =ρ sinθ ,极坐标方程化 为直角坐标方程为 x +y =x 和 x +y =y,它们的圆心分别是( 答案:D 3 在极坐标系中,点 P(2, A.1 B.2 2 2 2 2 1 1 2 ,0),(0, ),圆心距是 . 2 2 2 11? ? )到直线 ρ sin(θ - )=1 的距离等于( 6 6 C.3 D.1+ 3 ) 思路解析:可化为直角坐标,利用点到直线的距离公式求解. ∵xP=2cos 11? 11? = 3 ,yP=2sin =-1,∴P 点的直角坐标为( 3 ,-1). 6 6 又直线ρ sin(θ - ? 3 1 )=1 化为直角坐标方程为 y- x-1=0, 2 6 2 1 ∴点 P 到直线的距离 d=|- 1 3 · 3+ ·(-1)-1|=1+ 3 . 2 2 答案:D 4 下列方程各表示什么曲线? (1)y=a,答_____________;(2)ρ =a,答_____________;(3)θ =a,答_____________. 思路解析:方程表示什么样的曲线,主要看清楚方程的形式,找到方程中的变量之间的关系.首 先得熟悉直角坐标系下的特殊曲线的方程. 答案:(1)在直角坐标系下,y=a 表示与 x 轴平行的直线 (2)在极坐标系下,ρ =a 表示圆心在极点,半径为 a 的圆 (3)在极坐标系下,θ =a 表示过极点,倾斜角为 a 的射线 5 画出极坐标方程(θ - ? ? )ρ +( -θ )sinθ =0 的图形. 4 4 思路解析: 若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方 程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线. 答案:如图,将原方程分解因式得(θ ∴θ 6 ? ? =0,即θ = 为一条射线,或ρ -sinθ =0 为一个圆. 4 4 A(ρ 1,θ 1) 和 B(ρ 2,θ 2) 两 点 的 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 是 ? )(ρ -sinθ )=0, 4 证 明 过 sin(? 2 ? ?1 ) ? ? sin(? ? ?1 ) ?2 ? sin(? 2 ? ? ) ?1 . 思路分析:虽然所证明的方程看起来比较复杂,但是,只要理清求曲线方程的步骤,问题是不难 解决的. 证明:设 M(ρ ,θ )为直线 AB 上一点, ∵S△AOB= S△AOM= 1 ρ 1ρ 2sin(θ 2-θ 1), 2 1 ρ ρ 1sin(θ -θ 1), 2 1 S△BOM= ρ ρ 2sin(θ 2-θ ), 2 又 S△AOB =S△AOM+S△BOM, ∴ρ 1ρ 2sin(θ 2-θ 1)=ρ ρ 1sin(θ -θ 1)+ρ ρ 2sin(θ 2-θ ), 2 即 sin(? 2 ? ?1 ) ? ? sin(? ? ?1 ) ? 2 ? sin(? 2 ? ? ) ?1 . 2 2 7 在平面直角坐标系中,已知点 A(3,0),P 是圆 x +y =1 上一个动点,且∠AOP 的平分线交 PA 于 Q 点,求 Q 点的轨迹的极坐标方程. 思路分析:先建系,再由面积求. 解:以圆心 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 Q(ρ ,θ ),P(1,2θ ). ∴S△OAQ+S△OQP=S△OAP. 1 1 1 ·3ρ sinθ + ρ sinθ = ·3·1·sin2θ . 2 2 2 3 整理得ρ = cosθ . 2 ∴ 8 从原点 O 引直线交直线 2x+4y-1=0 于点 M,P 为 OM 上一点,已知|OP|·|OM|=1,求 P 点的极 坐标方程. 思路分析: 先把直线化为极坐标方程,由于 P 点的运动与 M 点有关,可以利用转移法来解决问题. 解:以 O 为极点,x 轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为 2ρ cosθ +4ρ sinθ -1=0. 设 M(ρ 0,θ 0),P(ρ ,θ ),则 2ρ 0cosθ +4ρ 0sinθ -1=0. ?? ? ? , ?? ? ? 0 , ? 0 1 1 又? 知? 1 .代入 2 cosθ + 4 sinθ -1=0, ? ? ?? 0 ? ? 1, ?? 0 ? ? , ? ∴ρ =2cosθ +4sinθ ,这是一个圆(ρ ≠0). 综合·应用 9 点 A、B 在椭圆 x2 y2 ? =1 上,O 为原点,OA⊥OB. a2 b2 (1)求证: 1 1 ? 为定值; 2 OA OB 2 (2)求△AOB 面积的最大值和最小值. 思路解析: 此题看起来与极坐标方程没有什么关系,但是当把椭圆方程化为极坐标方程后,就可 以发现 OA 与 OB 长度的关系了;在△AOB 中利用正弦定理的面积公式也容易找到其面积的最大 值和最小值. (1)证明: 椭圆半长轴长为 a,半短轴长为 b,以

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