文科数学高考专题复习训练——概率与统计

文科数学高考专题复习训练——概率与统计
1.(本小题满分 12 分) 城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费;若太少又难以满足乘客需求.某市公 交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人, 将他们的候车时间作为样本分成 5 组,如下表所示(单位:分钟) : 组别 一 二 三 四 五 候车时间 人数 2 6 4 2 1

[0,5)

[5,10)

[10,15) [15, 20)
[20, 25]

(1)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (2)若从上表第三、四组的 6 人中任选 2 人作进一步的调查,求抽到的两人恰好来自不 同组的概率.

1.解:(1)候车时间少于 10 分钟的概率为

2?6 8 ? , ??????4 分 15 15 8 ? 32 人. ?????????6 分 所以候车时间少于 10 分钟的人数为 60 ? 15 (2)将第三组乘客编号为 a1 , a2 , a3 , a4 ,第四组乘客编号为 b1 , b2 .从 6 人中任选两
人有包 含以下基本事件: (a1 , a2 ),(a1 , a3 ),(a1, a4 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ) ,

(a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , b1 ),(a2 , b2 ) ,(a3 , a4 ),(a3 , b1 ),(a3 , b2 ) ,(a4 , b1 ),(a4 , b2 ) , ??????10 分 (b1 , b2 ) , 8 其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 .???12 分 15
概率与统计 2. (本小题共 13 分) 根据以往的成绩记录, 甲、 乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示
频率

频率
0.35

0.45

0.30 0.25

0.29 0.19

0.20 0.15 0.10

a
0.01

0.05

O

甲击中环数

O

乙击中环数

(Ⅰ)求上图中 a 的值; (Ⅱ)甲队员进行一次射击,求命中环数大于 7 环的概率(频率当作概率使用) ;

(Ⅲ)由上图判断甲、乙两名队员中,哪一名队员的射击成绩更稳定(结论不需证明). 2.解: (Ⅰ)由上图可得 0.01 ? a ? 0.19 ? 0.29 ? 0.45 ? 1 , 所以 a ? 0.06 . ----------------------------------4 分

(Ⅱ)设事件 A 为“甲队员射击,命中环数大于 7 环” ,它包含三个两两互斥的事件:甲 队员射击,命中环数为 8 环,9 环,10 环. 所以 P( A) ? 0.29 ? 0.45 ? 0.01 ? 0.75 . (Ⅲ)甲队员的射击成绩更稳定. ----------------------------------9 分 ---------------------------------13 分

概率与统计 3.某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如 图.

(Ⅰ)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小; (Ⅱ)从乙比赛得分在 20 分以下的 6 场比赛中随机抽取 2 场进行失误分析,求抽到恰好有 1 场得分不足 10 分的概率. 1 3 解 (Ⅰ) x 甲= (7+9+11+13+13+16+23+28)=15, 8 1 x 乙= (7+8+10+15+17+19+21+23)=15, 8 1 2 2 2 2 2 2 2 2 s2 甲= [(-8) +(-6) +(-4) +(-2) +(-2) +1 +8 +13 ]=44.75, 8 1 2 2 2 2 2 2 2 2 s2 乙= [(-8) +(-7) +(-5) +0 +2 +4 +6 +8 ]=32.25. 8 甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差比乙的方差大. (Ⅱ)依题意,在 20 分以下的 6 场比赛中乙的得分为:7,8,10,15,17,19. 从中随机抽取 2 场, 这 2 场比赛的得分如下: (7,8), (7,10), (7,15), (7,17), (7,19), (8,10), (8,15),(8,17),(8,19),(10,15),(10,17),(10,19),(15,17),(15,19),(17,19),共 15 种 可能, 其中恰好有 1 场得分在 10 分以下的情形是: (7,10), (7,15), (7,17), (7,19), (8,10), 8 (8,15),(8,17),(8,19),共 8 种可能.所以,所求概率为 P= . 15

概率与统计 4. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4.

(Ⅰ)从袋中随机抽取一个球,将其编号记为 a,然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一 个球,将其编号记为 b,求关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0 有实根的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号记为 m,将球放回袋中,然后从袋中随机取一个
?x-y≥0, ? 球, 该球的编号记为 n.若以(m, n)作为点 P 的坐标, 求点 P 落在区域? 内的概率. ?x+y-5<0 ?

4 解 (Ⅰ)设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根” . 当 a>0,b>0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. 以下第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 基本事件共 12 个:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1), (4,2),(4,3). 事件 A 中包含 6 个基本事件:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3). 事件 A 发生的概率为 P(A)= 6 1 = . 12 2

(Ⅱ)先从袋中随机取一个球,放回后再从袋中随机取一个球,点 P(m,n)的所有可能 情况为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 个.
? ?x-y≥0, 落在区域? 内的有(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),共 4 个, ?x+y-5<0 ? ?x-y≥0, ? 1 所以点 P 落在区域? 内的概率为 . 4 ?x+y-5<0 ?

概率与统计 5. 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出 的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图 如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品.以 X(单位:t,100≤X≤150)表 示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利 润.

(1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率.

5 解:(1)当 X∈[100,130)时, T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 当 X∈[130,150]时, T=500×130=65 000.
?800X-39 000,100≤X<130, ? 所以 T=? ? ?65 000,130≤X≤150.

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. 概率与统计 6. 某市拟举行一项庆典活动. 新闻媒体对此进行了网上调查, 所有参与调查的人中, 持 “支 持” “保留”和“不支持”态度的人数如下表所示: 支持 20 岁以下 20 岁以上(含 20 岁) 800 100 保留 450 150 不支持 200 300

(1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从“支持”态度的人 中抽取了 45 人,求 n 的值; (2)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人看作一个总体,从这 5 人 中任意选取 2 人,求至少有 1 人在 20 岁以下的概率.

800+100 800+450+200+100+150+300 6.解:(1)由题意得 = ,解得 n=100. 45 n 200 m (2)设所选取的人中,有 m 人 20 岁以下,则 = ,解得 m=2. 200+300 5 即从 20 岁以下抽取 2 人,另一部分抽取 3 人,分别记作 A1,A2;B1,B2,B3, 则从中任取 2 人的所有基本事件为(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2), (A2,B3),(A1,A2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3),共 10 个. 其中至少有 1 人 20 岁以下的基本事件有 7 个:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1), (A2,B2),(A2,B3),(A1,A2), 7 所以从中任意选取 2 人,至少有 1 人 20 岁以下的概率为 . 10 概率与统计 7. (本小题满分 12 分) 某国际会议在北京召开, 为了搞好对外宣传工作, 会务组选聘了 16 名男记者和 14 名女 记者担任对外翻译工作,调查发现,男、女记者中分别有 10 人和 6 人会俄语.

(Ⅰ)根据以上数据完成以下 2×2 列联表: 会俄语 男 女 总计 30 并回答能否在犯错的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与会俄语有关? n(ad-bc)2 参考公式:K2= ,其中 n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 参考数据: P (K2≥k0) 0.40 0.25 0.10 0.010 k0 0.708 1.323 2.706 6.635 (Ⅱ) 会俄语的 6 名女记者中有 4 人曾在俄罗斯工作过, 若从会俄语的 6 名女记者中随 机抽取 2 人做同声翻译,求抽出的 2 人都在俄罗斯工作过的概率. 7.解: (Ⅰ)由已知,得 2×2 列联表:
会俄语 男 女 总计 10 6 16 不会俄语 6 8 14 总计 16 14 30

不会俄语

总计

假设是否会俄语与性别无关.由已知数据,可得 K2= 30×(10×8-6×6)2 ≈1.1575<2.706, (10+6)(6+8)(10+6)(6+8)

所以在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断会俄语与性别有关. (Ⅱ)会俄语的 6 名女记者分别为 A,B,C,D,E,F,其中 A,B,C,D 曾在俄罗 斯工作过.从这 6 人任取 2 人有(A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (A,F) , (B, C) , (B,D) , (B,E) , (B,F) , (C,D) , (C,E) , (C,F) , (D,E) , (D,F) , (E, F)共 15 种,其中 2 人都在俄罗斯工作过的是(A,B) , (A,C) , (A,D) , (B,C) , (B,D) , (C,D)共 6 种,所以抽出的女记者中,2 人都在俄罗斯工作过的概率是 P = 6 2 = . 15 5

概率与统计 8.选择填空 1.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面,记所 x 得的数字分别为 x,y,则 为整数的概率是________. y 2.在区域 D: ( x ? 1) ? y ? 4 内随机取一个点,则此点到点 A(1,2)的距离大于 2 的概率是
2 2





A.

1 3 ? 3 2?

B.

3 2?

C.

1 3

D.

1 3 ? 3 2?

3.从长度分别为 1、2、3、4 的四条线段中任意取三条,则以这三条线段为边可以构成三 角形的概率是 .

4 已知 ? ? ( x, y ) x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0 , A ? ( x, y ) x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0 ,若向区域

?

?

?

?

? 内随机投一点 P ,则点 P 落在区域 A 内的概率为(
A. 1 3 2 B. 3 1 C. 9 2 D. 9

)

5 在区间 [?2, 4] 上随机地取一个数 x,若 x 满足 | x | ? m 的概率为

5 ,则 m ? __________. 6

1 解析:将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字 x,y 记作有序实数对(x,y),共 x 包含 16 个基本事件,其中 为整数的有:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,2), y 8 1 1 共 8 个基本事件,故所求的概率为 = .答案: 16 2 2 2.答案:A

3. 1/4 4.

5【答案】

本题考查绝对值不等式以及几何概型的计算。 由题意知 m ? 0 , 则由 | x | ? m 得 ? m ? x ? m , 所以足 | x | ? m 的概率为

5 2

m ? (?m) 2m 5 5 ? ? ,解得 m ? 。 2 4 ? (?2) 6 6


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