概率论与数理统计习题及答案

概率论与数理统计习题及答案 习题 一 1 .见教材习题参考答案. 2.设 A,B,C 为三个事件,试用 A,B,C (1) A 发生,B,C 都不发生; (2) A 与 B 发生,C (3) A,B,C 都发生; (4) A,B,C (5) A,B,C 都不发生; (6) A,B,C (7) A,B,C 至多有 2 个发生; (8) A,B,C 至少有 2 个发生. 【解】 (1) A BC (2) AB C (3) ABC (4) A∪B∪C= AB C∪ A B C ∪A BC ∪ A BC∪A B C∪AB C ∪ABC= ABC (5) ABC = A B C (6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C ∪ AB C∪A BC ∪ A B C ∪ ABC = ABC = A ∪ B ∪ C (8) AB∪BC∪CA=AB C ∪A B C∪ A BC∪ABC 3. . 4.设 A,B 为随机事件,且 P(A)=0.7,P(A?B)=0.3,求 P( AB ). 【解】 P( AB )=1?P(AB)=1?[P(A)?P(A?B)] =1?[0.7?0.3]=0.6 5.设 A,B 是两事件,且 P(A)=0.6,P(B)=0.7, (1) 在什么条件下 P(AB (2) 在什么条件下 P(AB) 【解】 (1) 当 AB=A 时,P(AB)取到最大值为 0.6. (2) 当 A∪B=Ω 时,P(AB)取到最小值为 0.3. 6.设 A,B,C 为三事件,且 P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3 且 P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/12,求 A,B,C 至少有一事件发生的概率. 【解】 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC) = 7. 1 1 1 1 3 + + ? = 4 4 3 12 4 52 张扑克牌中任意取出 13 张,问有 5 张黑桃,3 张红心,3 张方块,2 张梅花的概率 是多少? 5 3 3 2 p= C13 C13 C13 C13 / C13 52 【解】 8. (1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】 (1) 设 A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为 75,有利事件仅 1 个,故 P(A1)= 1 1 =( )5 5 7 7 (亦可用独立性求解,下同) (2) 设 A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为 65,故 P(A2)= 65 6 5 =( ) 75 7 1 5 ) 7 (3) 设 A3={五个人的生日不都在星期日} P(A3)=1?P(A1)=1?( 9. .见教材习题参考答案. 10.一批产品共 N 件,其中 M 件正品.从中随机地取出 n 件(n<N).试求其中恰有 m 件(m ≤M)正品(记为 A)的概率. (1) n 件是同时取出的; (2) n (3) n 件是有放回逐件取出的. n ?m n 【解】 (1) P(A)= Cm M CN ? M / C N n (2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有 PN 种,n 次抽取中有 m 次为正品的组合数为 Cm n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从 M 件正 m n?m 品中取 m 件的排列数有 PM 种,从 N?M 件次品中取 n?m 件的排列数为 PN ? M 种, 故 m n?m Cm n PM PN ? M P(A)= n PN 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成 P(A)= n ?m Cm M CN ?M Cn N 可以看出,用第二种方法简便得多. (3) 由于是有放回的抽取,每次都有 N 种取法,故所有可能的取法总数为 Nn 种,n 次抽取中有 m 次为正品的组合数为 Cm 对于固定的一种正、 次品的抽取次序, n 种, m 次取得正品,都有 M 种取法,共有 Mm 种取法,n?m 次取得次品,每次都有 N?M 种取法,共有(N?M)n?m 种取法,故 m n ?m P( A) ? Cm / Nn n M (N ? M ) 此题也可用贝努里概型,共做了 n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为 m 件正品的概率为 M ,则取得 N ?M ? ? M ? P( A) ? C ? ? ?1 ? ? N? ?N? ? m n m n ?m 11. 12. .见教材习题参考答案. 50 只铆钉随机地取来用在 10 个部件上,其中有 3 个铆钉强度太弱.每个部件用 3 只铆 钉.若将 3 只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个 部件强度太弱的概率是多少? 【解】设 A={发生一个部件强度太弱} 3 3 P( A) ? C1 10 C3 / C50 ? 1 1960 13. 7 个球,其中 4 个是白球,3 个是黑球,从中一次抽取 3 个, 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设 Ai={恰有 i 个白球}(i=2,3) ,显然 A2 与 A3 互斥. P( A2 ) ? 故 14. 1 C2 18 4 C3 ? , 3 C7 35 P( A3 ) ? C3 4 4 ? 3 C7 35 22 35 P( A2 A3 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? 0.8 和 0.7,在两批种子中各随机取一粒,求: (1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率. 【解】设 Ai={第 i 批种子中的一粒发芽}, (i=1,2) (1) P( A 1A 2 ) ? P( A 1 ) P( A2 ) ? 0.7 ? 0.8 ? 0.56 (2) P( A 1 (3) P( A 1 A2 15. A2 ) ? 0.7 ?

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