2013版人教A版数学必修2课本例题习题改编

人教 A 版必修 2 课本例题习题改编 湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 597917478@qq.com 1.原题(必修 2 第二十八页例 3)如图,已知几何 体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图。 改编 如图,已知几何体的三视图(单位:cm) .

P

2

2

P

? O?
2

2

2

? O?
2 ? O
侧视图

(Ⅰ)画出它的直观图(不要求写画法) ; (Ⅱ)求这个几何体的表面积和体积. 解: (Ⅰ)这个几何体的直观图如图所示. (Ⅱ)这个几何体是一个简单组合体,它的下部是 一个圆柱(底面半径为 1cm,高为 2cm) ,它的上部 是一个圆锥(底面半径为 1cm,母线长为 2cm,高为 俯视图

2
正视图

2 ? O

?

3 cm) .
所以所求表面积 S ? ? ?1 ? 2? ?1? 2 ? ? ?1? 2 ? 7? (cm ) ,
2
2

P

?? O

所求体积 V ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?1 ? 3 ? 2? ?
2 2

1 3

3 ? (cm3 ) . 3

? O
2.原题(必修 2 第三十页习题 1.3B 组第三题)分别以一个直角三角形的斜边,两直角边所在直线为轴, 其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体, 画出它们的三视图和直观图, 并探讨它们体积之间的关 系。 改编 已知直角三角形 ABC ,其三边分为 a, b, c ,( a ? b ? c ).分别以三角形的 a 边,b 边,c 边 所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,其表面积和体积分别为 S1 , S 2 , S 3 和

V1 ,V2 ,V3 ,则它们的关系为 (

)

A . S1 ? S 2 ? S 3 , V1 ? V2 ? V3
C . S1 ? S 2 ? S 3 , V1 ? V2 ? V3
评析: S1 ? ? (

B . S1 ? S 2 ? S 3 , V1 ? V2 ? V3 D . S1 ? S 2 ? S 3 , V1 ? V2 ? V3

bc 1 bc 1 )(b ? c), V1 ? ? ( ) 2 a , S 2 ? ?ac ? ?c 2 ,V2 ? ?bc 2 , a 3 a 3 1 S 3 ? ?ab ? ?b 2 ,V3 ? ?b 2 c , 选 B. 3
3.原题(必修 2 第三十二页图像)改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得,现用一个 竖直的平面截这个几何体,所得截面可能是:

(1)

(2)

(3)

(4)

解:切面过轴线为(1) ,否则是圆锥曲线为(4) 。本题以立体几何组合体为背景,其实运用圆锥曲线数 学模型。答案(1)(4) 、 4.原题(必修 2 第三十七页复习参考题 B 组第三题)如右上图是正方体的平面展开图,则在这个正方 体中有以下结论①BM 与 ED 平行 ;②CN 与 BE 是异面直线;③CN 与 BM 与 60°角;④DM 与 BN 是异面直 线;以上四个命题中,正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④

解:如左下图,可还原成正方体,由此可判断③④是正确的,答案选 C

改编 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中, 所成 的角为 60? 的直线共有 12 对. 5.原题(必修 2 第三十七页复习参考题 B 组第三题)你见过如图所示的纸篓吗?仔细观察它的几何结 构,可以发现,它可以由多条直线围成,你知道它是怎么形成的吗? 改编 如图所示的纸篓,观察其几何结构,可以看出是由许多条直线围成的旋转体,该几何体的正视图 为( )

(A)

(B)

(C)

(D)

解:选项 A、B、D 中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成,而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与 旋转轴在同一平面的母线以外,没有其他直线。即 A、B、D 不可能,故选 C。 6.原题(必修 2 第五十九页例 3)改编 设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四 棱锥(如右图), 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α ( A.不存在 B.只有 1 个 C.恰有 4 个 D.有无数多个 )

解:设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个 平面 β . 作与 β 平行的平面 α , 与四棱锥的各个侧面相截, 则截得的四 边形必为平行四边形.而这样的平面 α 有无数多个.答案:D 7.原题(必修 2 第六十二页习题 2.2A 组第八题)如图,直线 AA1,BB1,CC1 相交于点 O,AO=A1O, BO=B1O,CO=C1O,求证:平面 ABC∥平面 A1B1C1. 改编 如图,直线 AA1、BB1、CC1 相交于点 O,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O,形成两个顶点相对、 底面水平的三棱锥,设三棱锥高均为 1,若上面三棱锥中装有高度为 0.5 的液体,若液体流入下面的三 棱锥,则液体高度为_______。 C1 B1 A1

A C

B

解:液体部分的体积为三棱锥体积的

1 7 ,流下去后,液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的 , 8 8

设空出三棱锥的高为 x,则

3 3 x3 7 7 7 = ,所以,x= ,液面高度为 1. 3 2 2 1 8

8.原题(必修 2 第六十三页习题 2.2B 组第四题)如图,透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A1B1C1D1 内灌进一些水,固定容器底面一边 BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面五个命题: 其中所有正确命题的序号是_______,为什么? (1)有水的部分始终呈棱柱形; (2)没有水的部分始终呈棱柱形; (3)水面 EFGH 所在四边形的面积为定值; (4)棱 A1D1 始终与水面所在平面平行;(5)当容器倾斜如图(3)所示时, BE? BF 是定值。 改编 如图,透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A1B1C1D1 内灌进一些水,固定容器底面一边 BC 于地 面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面七个命题,真命题的有_______。 (1)有水的部分始终呈棱柱形; (2)没有水的部分始终呈棱柱形; (3)水面 EFGH 所在四边形的面积为定值; (4)棱 A1D1 始终与水面所在平面平行;(5)当容器倾斜如图(3)所示时, BE? BF 是定值;(6)当容器任 意倾斜时, 水面可以是六边形;(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形。

(1) (2) 解: , , , , , 。 (1)(2)(4)(5)(6)(7)

(3)

(6)

(7)

9. 原 题 ( 必 修 2 第 七 十 九 页 复 习 参 考 题 A 组 第 十 题 ) 如 图 , 已 知 平 面 ? , ? , 且

? ? ? ? A B P C ?, P D ?, , 是垂足,试判断直线 AB 与 CD 的位置关系?并证明你的结论. , ? ? C D
改编 如图,已知平面 ? , ? ,且 ? ? ? ? AB ,PC ?? ,PD ? ? C , (Ⅰ)求证: AB ? 平面 , D 是垂足. (Ⅱ)若 PC ? PD ? 1, CD ? 2 ,试判断平面 ? 与平面 ? 的位置关系,并证明你的结论. PCD ;

解: (Ⅰ)因为 PC ? ? , AB ? ? ,所以 PC ? AB .同理 PD ? AB .又 PC ? PD ? P ,故 AB ? 平 面 PCD . ( Ⅱ ) 设 AB 与 平 面 PCD 的 交 点 为 H , 连 结 CH 、 DH . 因 为 AB ? 平 面 P C D, 所 以

AB ? CH , AB ? DH ,所以 ?CHD 是二面角 C ? AB ? D 的平面角.又 PC ? PD ? 1, CD ? 2 ,所



CD2 ? PC 2 ? PD2 ? 2 , 即 ?CPD ? 900

. 在 平 面 四 边 形

PCHD 中 ,

?PCH ? ?PDH ? ?CPD ? 900 ,所以 ?CHD ? 900 .故平面 ? ? 平面 ? .
10.原题(必修 2 第九十页习题 3.2B 组第一题)已知点 M (2,2), N (5,?2) ,点 P 在 x 轴上,且 ?MPN 为 直角,求点 P 的坐标. 改编:已知点 M (2,2), N (5,?2) , P 在 x 轴上,若 ?MPN 为锐角,则点 P 的横坐标的取值范围是

________
解: 用向量的数量积判别: MP ?NP ? 0 ,易求答案为 m ? 6 或 m ? 1 11.原题(必修 2 第一百页习题 3.2A 组第九题)求过点 P(2, 3) ,并且在两轴上的截距相等的直线方程。 改编 1 求过点 P(2, 3) ,并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是 解: 依题意, 直线的斜率为 1 或直线经过原点, ∴直线的方程为 y ? 3 ? x ? 2 或 y ? 或 3x ? 2 y ? 0 . 改编 2 直线 l 经过点 P(2, 3) ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线 l 的方程. 解:依题意,直线 l 的斜率为±1,∴直线 l 的方程为 y ? 3 ? x ? 2 或 y ? 3 ? ?( x ? 2) ,即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ?5 ? 0 . 12.原题(必修 2 第一百零一页习题 3.2B 组第五题)若直线 l 沿 x 轴向左平移 3 个单位,再沿 y 轴向上 平移 1 个单位后,回到原来的位置,试求直线 l 的斜率. 改编: 若直线 l 沿 x 轴向右平移 3 个单位,再向上平移 4 个单位后,得到的直线与原来的位置在水平 方向上相差 2 个单位,则原直线的斜率为 4或0.8 13.原题(必修 2 第一百一十页习题 3.3B 组第七题)已知 AO 是 ? ABC 边 BC 的中线,求证: .

3 即 x , x ? y ?1 ? 0 2

| AB |2 ? | AC |2 ? 2(| AO |2 ? | OC |2 )
改编 已知在三角形 ABC 中,D 是 BC 边的中点,且 AB=8,BC=8,AC=6,则 AD= 解:

34
求 1, 证 :

14. 原 题 ( 必 修 2 第 一 百 一 十 页 习 题 3.3B 组 第 八 题 ) 已 知 0 ? x ? 1 , ? y ? 0

x2 ? y 2 ?

2 x 2 ? 1 ? y 2 ? ( 1 ?x ) ? y 2 ? ( 1 ? 2) ? ( 1 ? ( ) x y

2

) ? 2 2

改编 长方形 ABCD 的顶点坐标是 A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P 是坐标平面上的动点,若 AP2+BP2+CP2+DP2 的值最小,则点 P 的位置在( ) A.长方形的顶点处 B.AB 边的中点处 C.两条对角线的交点处 D.三角形 ABC 的重心处

解:设 P(x,y), 2+|BP|2+|CP|2+|DP|2=x2+y2+(x-a) 2+y2+(x-a) 2+(y-b) 2+x2+(y-b) 2=4(x-a/2) 2+4(y-a/2) 2+a2+b2 |AP| 当 P(a/2,b/2)时,|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2 最小,选 C。 15.原题(必修 2 第一百一十 五页复习参考 题 B 组第七题 )设 a, b, c, d? R,求证:对于任意

p, q ? R,
改编 设

(a ? p ) 2 ? (b ? q ) 2 ? (c ? p ) 2 ? (d ? q ) 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2

a, b, c, d ? R , a,b,c,d

为 常 数 , 其 中 ?2a ? b ? 3? ? ?2c ? d ? 3? ? 0 , 对 于 任 意 实 数 。

x ,

?a ? x ?2 ? ?b ? 2 x ? 3?2 ? ?c ? x ?2 ? ?d ? 2 x ? 3?2的最小值为

解:可设 A(a,b) ,B(c,d) ,C(x,2x+3) ,由 ?2a ? b ? 3? ? ?2c ? d ? 3? ? 0 ,知 A,B 在直线 y=2x+3 两侧,

?a ? x ?2 ? ?b ? 2 x ? 3?2 ? ?c ? x ?2 ? ?d ? 2 x ? 3?2的最小值为 | AB | = ?a ? c ?2 ? ?b ? d ?2
若 圆 x ? y ? 2mx ? m ? 4 ? 0 与 圆
2 2 2

16. 原 题 ( 必 修 2 第 一 百 二 十 九 页 例 3 ) 改 编

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4my ? 4m 2 ? 8 ? 0 相切,则实数 m 的取值集合是
2 2 2

.
2

解:∵圆 ( x ? m) ? y ? 4 的圆心为 O1 (m,0) ,半径 r1 ? 2 ,圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2m) ? 9 的圆心为
2 2 半径 r2 ? 3 , 且两圆相切, O1O2 ? r1 ? r2 或 O1O2 ? r2 ? r1 , (m ? 1) ? (2m) ? 5 ∴ ∴ O2 (?1,2m) ,
2 2 或 (m ? 1) ? (2m) ? 1 ,解得 m ? ?

12 2 或 m ? 2 ,或 m ? 0 或 m ? ? ,∴实数 m 的取值集合是 5 5

{?

12 2 , ? , 0, 2} . 5 5

17.原题(必修 2 第一百三十页例 4)改编 某圆拱型彩虹桥,跨度为 20 米,高为 4 米,要用 19 根铁 索等距离分布悬挂桥面,则其中一侧第 m 根铁索的长度 f(m)= _______米。
2 2 解: 14.5 ? ( m ? 10) -10.5

18. 原 题 ( 必 修 2 第 一 百 三 十 三 页 习 题 4.2A 组 第 九 题 ) 求 圆 x ? y ? 4 ? 0 与 圆
2 2

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 12 ? 0 的公共弦的长。
改编 两圆 C1 :x2+ y2-1=0 和 C2:x2+ y2-8x+12=0 的公切线长为_______。 解:

B A C1 D C1 C2 A D (1)
C1 :x2+ y2=1,C2: (x-4)2+ y2 = 4, |C1 C2|=4

B C2

(2)

2 2 2 2 图(1) :|AB|= 4 ? ( 2 ? 1) = 15 ;图(2) :|AB|= 4 ? ( 2 ? 1) = 7 ,即公切线长 15 和 7 。

19.原题(必修 2 第一百三十三页习题 4.2B 组第三题)已知圆 x +y =4,直线 l: y=x+b.当 b 为何值时, 2 2 圆 x +y =4 上恰有 3 个点到直线 l 的距离都等于 1. 2 2 改编 已知圆 x +y =4, 直线 l: y=x+b. 圆上至少有三个点到直线 l 的距离都是 1,则 b 的取值范围是 _____。 解: ? ? 2, 2 ?

2

2

?

?

20.原题(必修 2 第一百四十四页复习参考题 B 组第二题)已知点 M ( x, y ) 与两个定点 M 1 ,M 2 距离的 比是一个正数 m ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形(考虑 m ? 1 和 m ? 1两种情形) 。 改编 1 已知两定点 A(?2,0) , B(1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的面积等 于( ) A. ? B. 4? C. 8? D. 9?

解 : 设 点 P 的 坐 标 是 ( x, y ) . 由 PA ? 2 PB , 得

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 , 化 简 得

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ,∴点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆,∴所求面积为 4? ,故选(B).
改编 2:由动点 P 向圆 x ? y ? 1 引两条切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B ,?APB =60 ,则动点 P
2 2
0

的轨迹方程是

.
0 0

解:设 P( x, y ) .∵ ?APB =60 ,∴ ?OPA =30 .∵ OA ? AP ,∴ OP ? 2 OA ? 2 ,∴ x 2 ? y 2 ? 2 , 化简得 x ? y ? 4 ,∴动点 P 的轨迹方程是 x ? y ? 4 .
2 2 2 2

21.原题(必修 2 第一百四十四页复习参考题 B 组第三题)求由曲线 x ? y ?| x | ? | y | 围成的图形的面
2 2

积。 改编 由曲线 x ? y ? 2 | x | ?2 | y | 围成的图形的面积为_______。
2 2

解:围成的图形如图,面积为 8 ? 4?


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