初中数学竞赛精品标准教程及练习:型如的证明

初中数学竞赛精品标准教程及练习(42)
型如 ? ? 的证明
一、内容提要 型如

1 a

1 b

1 c

1 1 1 ? ? 的证明,通常是证明它的等价命题 a b c

第一种 转化为线段的比例式

1 1 1 c c c b?c a?b b ? ? ? ? ? 1(1) ? ? (2) ? ? (3) a b c a b a b a c
(1) 可证

c b , a a

和两个同分母的分式分别相等,例如

m n , p p

当 m+n=p 时等式成立 (2)可证明 c,a,b-c,b 四条线段成比例,关鍵是作出 b-c 的差 (3)可证明 a+b,a,b,c 四条线段成比例,关鍵是作出 a+b 的和 第二种 转化为线段的乘积式

1 1 1 ? ? ? bc+ac=ab(4) a b c
常用两个图形的面积和等于另一个图形的面积 二、例题 已知:在梯形 ABCD 中,AB∥CD,O 是 AC 和 BD 的交点,OE∥AB 交 BC 于有 E D C
(4) 例1.

1 1 1 ? ? AB CD OE 1 1 1 OE OE ? ? ? ?1 分析: ? AB CD OE AB CD A OE OE CE BE 证明 , 分别和 , 相等即可(下略) AB CD BC BC
求证:
?
例2.

O

E

B

已知:在△ABC 中,∠ACB=120 ,CD 是角平分线

E

求证:

1 1 1 ? ? CA CB CD
C

分析一:

1 1 1 CA ? CB CB ? ? ? ? CA CB CD CA CD
分析二:

A

D

B

延长 AC 到 E,使 CE=CB,可证△BCE 为等边,BE∥ C CD

1 1 1 CD CB ? CD ? ? = ? CA CB CD CA CB
A D

E

在 CB 上截取 CE=CD, 可证△CDE 为等边三角形,DE∥CA 分析三:

B

1 1 1 ? ? ? CA×CD+CB×CD=CA×CB CA CB CD

可由 S△CAD+S△CBD=S△CAB 证得

1/5

证明:∵S△CAD+S△CBD=S△CAB ∴

1 1 1 CA×CDSin∠ACD+ CB×CDSin∠BCD= CA。x CBSin∠ACB 2 2 2
C
? ?

∵Sin120 =Sin60 , ∴CA×CD+CB×CD=CA×CB ∴

1 1 1 ? ? CA CB CD
例3. 求证:

A

D

B

已知:△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4

1 1 1 ? ? AB AC BC 1 1 1 BC BC BC AC ? BC ? ? ? ?1 ? ? 分析: ? AB AC BC AB AC AB AC BC AD ? 在 AC 上取 CD=BC,证明 即可,要创造相似三角形,作角平分线 AB AC
CE,连结 DE,得△ACE∽△ABC,再证 CE=DE=AD 证明:在 AC 上取 CD=BC,作角平分线 CE,连结 DE 显然△CDE≌△CBE,∠DCE=∠BCE=2α ∠CDE=∠B=2α , D ∵∠A=α ,∴∠DEA=α ∴CE=ED=DA A ∵△ACE∽△ABC,

C

E

B

CE AC AD AC AC ? CD AC ? ? ? , , BC AB BC AB BC AB AC ? BC AC ? , BC AB AC ? BC BC BC BC ? ? , 1- AC AB AC AB 1 1 1 ? ? ∴ AB AC BC
∴ 例4. 已知:点 C 和点 D 分别内分、外分线段 AB 为同一个比 即 AC∶CB=AD∶DB=κ (称 C,D 调和分割 AB)

求证: 分析:

1 1 2 ? ? A B AC AD AB C 1 1 2 AB AB ? ? ? ?2 ? AC AD AB AC AD AB AB ?1 ? 1? ? AC AD AB ? AC AD ? AB ? ? AC AD CB DB ? ? AC AD

D

2/5

?

AC AD ? =κ CB DB

(证明步骤是分析的倒逆) 例5. 如图已知:△ABC 中,BC=a,高 AD=h,内接正方形 EFGH 边长为 m

1 1 1 ? ? a h m 1 1 1 分析: ? ? ? hm+am=ah, 可用面积公式证 a h m
求证: 证明:∵S△AEF+S 梯形 EFGH=S△ABC ∴

A

1 1 1 EF ? AK ? ( EF ? BC ) HE ? BC ? AD 2 2 2

E K

F

即 m(h-m)+(m+a)m=ah, mh+ma=ah 两边除以 ahm, 得

1 1 1 ? ? a h m

B

H

D G

C

三、练习 42 1. 四边形 ABCD 中,∠A=∠C=Rt∠,P 是 BD 上的一点,PM⊥AB, PN⊥CD,M,N 是垂足,求证:

MP NP ? ?1 AD BC 1 1 1 ? ? BC CA DE

2. △ABC 中,CD 是角平分线,DE∥BC 交 AC 于 E,则

3. 经过平行四边形 ABCD 的顶点 D 的一直线交 BC 于 M,交 AB 的延长线于 N,求证

BC AB ? ?1 BM BN
4. 已知:△ABC 中,D,E 分别在边 AB,AC 上,且 DE∥BC 求证:(1∶S△BAE)+(1∶S△BEC)=1∶S△BED 5. △ABC 中,∠C=60 ,角平分线 CD=t,
?

求证

1 1 3 ? ? a b t

6. △ABC 内一点 P,PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,D,E,F 是垂足,设 a,b,c 边上的 高分别为 ha,hb,hc 求证

PD PE PF ? ? ?1 ha hb hc
1  1 1 ? ? a b c
有两个交点,与横轴有一个

7. 已知 2a=7b=14c

求证

8. 已知:直线 y=bx+c (b ≠0), 与抛物线 y=ax2(a≠0) 交点,它们的横坐标分别为 x1,x2,x3 且 b2-4ac>0 求证:

1 1 1 ? ?  x1 x 2 x3

3/5

9. Rt △ ABC 斜 边上 的高 CD = h , 那么

1 1 1 ? 2 ? 2 2 a b h
10. 过△ABC 内一点 P 分别作三边的平行 线 DE∥BC,FG∥AB,HK∥AC

A

E K

BF CE AK ? ? ?1 求证:① BC CA AB DE FG HK ? ? ?2 ② BC AB AC

F

B
11. P 在等边△ABC 外接圆的弧 BC 上取点

H

D G
K

AC G E P

PA 交 BC 于 M,求证

1 1 1 ? ? PB PC PM
B

D

12. PA,PB 切⊙O 于 A,B,直线 PO 交⊙O 于 M,N,交 AB 于 C

1 1 2 ? ? 求证 PM PN PC 1 1 2 ? ? R r A d
11
A R

F

H

C

13. 已知半径分别为 R,r 的⊙O 和⊙O1 外切于 P,点 P 到外公切线 AB 的距离为 d, 则

13
C d r B

O

P

O1

B P

M

C

练习 42 参考答案: 4.利用等高的两个三角形面积的比等于它们的底的比 1. S△ABC=

1 abSinC 2

2. 连结 PA,PB,PC 由

PD PD ? BC ? …… ha ha ? BC
的两个根,由韦达定理得

8. x1,x2 是方程 bx+c=ax2

1 1 b ? ?? x1 x 2 c

且 x3 是 bx+c=0 的根…… 9. 射影定理 11.用 S△PBM+S△PCM=S△PBC 12. AM,AN 是△PAC 的内,外角的平分线。

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