高中数学 第一章 解三角形 1.2.2 正、余弦定理在三角形中的应用课件 新人教A版必修5_图文

【课标要求】 1.掌握三角形的面积公式,会用公式计算三角形面积. 2.会用正、余弦定理解决三角形中一些恒等式的证明问题. 3.会用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题.

自主学习 基础认识
|新知预习|
三角形面积公式 (1)S=12底×高;
(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA; (3)S=12·r·(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径).

|化解疑难|
解三角形面积问题的注意事项: 求三角形的面积,要充分挖掘题目中的条件,转化为求两边 及夹角的正弦的问题,要注意方程思想在解题中的应用.

|自我尝试|
1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形.( √ ) (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积.( × ) (3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积.( × )

2.在△ABC 中,A=60°,AB=1,AC=2,则 S△ABC 的值为 ()
13 A.2 B. 2 C. 3 D.2 3

解析:S△ABC=12AB·AC·sinA=

3 2.

答案:B

3.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
解析:由 S△ABC=3 3=12BC·CA·sinC=12×3×4sinC 得 sinC = 23,又 C 为锐角.故 C=60°.
答案:B

4.在△ABC 中,a=6,B=30°,C=120°,则△ABC 的面 积是( )
A.9 B.8 C.9 3 D.18 3
解析:由题知 A=180°-120°-30°=30°, ∴sin630°=sinb30°,∴b=6, ∴S=12×6×6sin120°=9 3. 答案:C

5.△ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD=33,sinB=153, cos∠ADC=35,则 AD=____2_5___.

解析:如图,由 cos∠ADC=35,知 B<π2,
从而 cosB=1123,sin∠ADC=45.从而 sin∠BAD=sin(∠ADC -B)=sin∠ADCcosB-sinBcos∠ADC=3635.
在△BAD 中,由正弦定理sAinDB=sin∠BDBAD,得 AD=sBinD∠·sBinABD =25.
答案:25

课堂探究 互动讲练 类型一 三角形面积的计算 [例 1] 在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对 的边,且 3a=2csinA. (1)确定角 C 的大小;
(2)若 c= 7,且△ABC 的面积为323,求 a+b 的值.

解析:(1)因为 3a=2csinA,所以sianA= 2c3.

由正弦定理知sianA=sincC,

所以sincC=

2c ,所以 3

sinC=

3 2.

因为△ABC 是锐角三角形,所以 C=π3.

(2)因为 c= 7,C=π3,
由面积公式得:12absinπ3=323,即 ab=6. 由余弦定理得
a2+b2-2abcosπ3=7, 所以 a2+b2-ab=7,即(a+b)2-3ab=7, 所以(a+b)2=25,所以 a+b=5.

方法归纳
(1)本题采用了整体代换的思想,把 a+b,ab 作为整体,求 解过程既方便又灵活.
(2)三角形面积公式有多种形式,根据题中的条件选择最合 适的面积公式.在解三角形中通常选用 S=12absinC=12bcsinA=12 acsinB,这个公式中含有正弦值,可以和正弦定理建立关系,又 由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外 面积公式中有两边的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、 正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是根据题中的条件 选择正确的变换方向.

跟踪训练 1 在本例中,把“锐角”去掉,其他条件不变. (1)确定角 C 的大小;
(2)若 c= 7,△ABC 的面积为323,求 a+b 的值.

解析:(1)因为 3a=2csinA,

所以sianA=

2c , 3

所以sincC=

2c , 3

从而 sinC= 23.所以 C=π3或23π.

(2)当 C=π3时,由面积公式知
12absinπ3=3 2 3, 即 ab=6, 又由余弦定理,得
a2+b2-2abcosπ3=7, 所以 a2+b2-ab=7. 即(a+b)2-3ab=7, 所以(a+b)2=25.

所以 a+b=5. 当 C=23π时,
由面积公式得12absin23π=3 2 3, 即 ab=6. 又由余弦定理得
a2+b2-2abcos23π=7, 所以 a2+b2+ab=7. 即(a+b)2-ab=7, 所以(a+b)2=13, 所以 a+b= 13.

类型二 平面图形中线段长度的计算
[例 2] 如图,在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的 对边,B=45°,b= 10,cosC=255.
(1)求边长 a; (2)设 AB 中点为 D,求中线 CD 的长.

【解析】 (1)由 cosC=255,C∈(0°,90°),得 sinC=

1-cos2C

= 1-????2 5 5????2= 55, sinA=sin(B+C)

=sinBcosC+cosBsinC

= 22×255+ 22× 55=31010,

由正弦定理得 a=bssiinnBA=

10×3 2

10 10 =3

2.

2

(2)由余弦定理得
c2=(3 2)2+( 10)2-2×3 2× 10×255=4, 所以 c=2,又因为 D 为 AB 的中点,所以 BD=1. 在△BCD 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2×BD×BC×cosB
=12+(3 2)2-2×1×3 2× 22=13, ∴CD= 13.

方法归纳,
三角形中几何计算问题的解题思路 (1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点,善于 应用正弦定理、余弦定理,只需通过解三角形,一般问题便能很 快解决. (2)此类问题突破的关键是仔细观察,发现图形中较隐蔽的 几何条件.

跟踪训练 2 如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD, AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求 BC 的长.

解析:在△ABD 中,设 BD=x, 则 BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA. 即 142=x2+102-2·10x·cos60°, 整理得 x2-10x-96=0, 解之 x1=16,x2=-6(舍去). 由正弦定理得sin∠BCCDB=sin∠BDBCD,
所以 BC=sin11635°·sin30°=8 2.

类型三 三角形中三角恒等式的证明问题
[例 3] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b, c.求证:a2-c2 b2=sins?iAn-C B?.

【解析】 法一 由余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA, b2=a2+c2-2accosB, 得 a2-b2=b2-a2+2c(acosB-bcosA), 即 a2-b2=c(acosB-bcosA), 变形得a2-c2 b2=acosB-c bcosA=accosB-bccosA.

由正弦定理
sianA=sibnB=sincC, 得ac=ssiinnCA,bc=ssiinnCB, 所以a2-c2 b2=sinAcosBsi-nCsinBcosA=sins?iAn-C B?.

法二 sins?iAn-C B?=sinAcosBsi-nCcosAsinB
=ssiinnCAcosB-ssiinnCBcosA =ac·a2+2ca2c-b2-bc·b2+2cb2c-a2 =a2+2cc22-b2-b2+2cc22-a2 =2?a22-c2 b2?=a2-c2 b2. 所以原等式成立.

方法归纳, 三角恒等式中,一般同时含有边和角,证明时既可以化边为 角,也可化角为边,然后进行三角变换或者代数变换,通常依据 式子的特征合理选择变化角度.

跟踪训练 3 在△ABC 中,求证:ab--ccccoossBA=ssiinnBA.

证明:左边=ab--cc??ab22++22abcccc22--ba22?? =a2-2ca2+b2·b2-2cb2+a2
=ba=ssiinnBA =右边, 所以ab--ccccoossBA=ssiinnBA.

|素养提升|
1.解三角形问题中常用的公式 三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外,常见 的公式还有: (1)l=a+b+c(l 为三角形的周长). (2)A+B+C=π. (3)S=12aha(a 为 BC 的边长,ha 为 BC 边上的高). (4)S=a4bRc(R 是三角形外接圆的半径).

2.运用三角形面积公式时应注意的问题 (1)解与三角形面积有关的问题,常需要利用正弦定理、余 弦定理,解题时要注意发现各元素之间的关系,灵活运用公式. (2)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形 面积的和.

|巩固提升| 1.如图,在四边形 ABCD 中,已知 B=C=120°,AB=4,
BC=CD=2,则该四边形的面积等于( )
A. 3 B.5 3 C.6 3 D.7 3

解析:连结 BD,在△BCD 中,由余弦定理,得 BD2=22+

22-2×2×2·cos120°=12,即 BD=2 3.

∵BC=CD,∴∠CBD=30°,

∴∠ABD=90°,

即△ABD 为直角三角形.



S

四边形

ABCD



S△BCD



S△ABD



1 2

×2×2×sin120°+

1 2

×4×2 3=5 3.

答案:B

2.在△ABC 中,若 AB=2,AC2+BC2=8,则△ABC 面积 的最大值为( )
A. 2 B.2 C. 3 D.3
解 析 : ∵AC2 + BC2≥2AC·BC , ∴AC·BC≤4 , cosC = AC2+2ABCC·B2-C AB2,∴cosC≥12,∴0°<C≤60°.△ABC 的面积 S=12 AC·BC·sinC,由基本不等式,可知当且仅当 AC=BC=2 时,面 积有最大值 Smax=12×2×2× 23= 3,故选 C.
答案:C

3.在△ABC 中,bc=20,S△ABC=5 3,△ABC 的外接圆半 径为 3,则 a=________.

解析:∵S△ABC=12bcsinA=5 3,bc=20,

∴sinA=

3 2.

∵△ABC 的外接圆半径为 3,

∴由正弦定理知sianA=2 3,

∴a=2 3sinA=2 3× 23=3.

答案:3


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