2019版一轮理数(北师大版)课件:第四章第六节正弦定理和余弦定理_图文

第四章 三角函数、解三角形 考纲解读 掌握正弦定理、余弦定理,并能解 决一些简单的三角形度量问题. [基础梳理] 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 2 2 b + c -2bccos A ; a= 2 内容 b a sin B =_____ sin A c sin C =2R =_____ 2 2 c + a -2cacos B ; b= 2 2 2 a + b -2abcos C c =________________ 2 定理 (1)a=2Rsin A, b= 2Rsin B, c= 2Rsin C ; 正弦定理 余弦定理 cos A= a 2R,sin C=____ 2R ; (2)sin A= ,sin B=____ 2 R 变形 (3)a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C; (4)asin B=bsin A, bsin C=csin B, asin C=csin A b c b2+c2-a2 __________ 2bc ; cos B= c2+a2-b2 2ac ; __________ cos C= a2+b2-c2 2ab ____________ 2.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下: A为锐角 A为钝 角 或直角图形 bsin A< a< b 两解 关系式 解的个数 a=bsin A 一解 a≥ b 一解 a> b 一解 3.三角形常用面积公式 1 (1)S= a· h (h 表示边a上的高); 2 a a 1 1 bcsin A 1 ac sin B 2 (2)S= absin C= 2 = ; 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径). 2 [三基自测] 1.(2018· 天津模拟)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ ABC的形状是( C ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不能确定 2.在△ABC中,若A=60° ,B=45° ,BC=3 =( B ) A. 4 3 C. 3 B. 2 3 3 D. 2 2 ,则AC 3.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,若A= 2 3 120° ,a=2,b= ,则B等于( D ) 3 π A. 3 π 5π C. 或 6 6 5π B. 6 π D. 6 4.在△ABC中,若B=120° ,AC=7,AB=5,则BC= 3 ________. 5.(2017· 高考全国卷Ⅱ改编)在△ABC中,若acos C+ccos A= 1 1,则b=__________. 考点一 考点二 考点三 正、余弦定理的简单应用|方法突破 [例1] (1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c, ) 3 若c=1,B=45° ,cos A= ,则b等于( 5 5 A. 3 5 C. 7 10 B. 7 5 2 D. 14 解析 答案 考点一 考点二 考点三 (2)△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c, b asin Asin B+bcos A= 2a,则 =( a 2 ) A. 2 3 C. 3 B.2 2 D. 2 (3)在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知 a2-c2=b,且sin(A-C)=2cos Asin C,则b=( A. 6 C. 2 B.4 D. 1 解析 答案 ) 考点一 考点二 考点三 (4)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A= π ,a=1,b= 3,则B的大小为__________. 6 (5)(2018· 苏北四市联考)在△ABC中,已知AB=3,A=120° , 15 3 且△ABC的面积为 ,则BC边的长为________. 4 sin 2A (6)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则 =________. sin C 解析 答案 考点一 考点二 考点三 3 (1)因为cos A= ,所以sin A= 1-cos2A= 5 ?3? 4 2 ? ? 1- 5 = ,所 5 ? ? 以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos A· sin B 4 3 7 2 = cos 45° + sin 45° = . 5 5 10 b c 1 5 由正弦定理 = ,得b= ×sin 45° = . sin B sin C 7 7 2 10 解析 答案 考点一 考点二 考点三 (2)(边化角)由asin Asin B+bcos2A= 2 a及正弦定理得sin Asin b sin B Asin B+sin Bcos A= 2sin A,即sin B= 2sin A,所以 = a sin A 2 = 2.故选D. (3)(角化边)由题意,得sin Acos C-cos Asin C=2cos Asin C,即 a2+b2-c2 sin Acos C=3cos Asin C,由正、余弦定理,得a· = 2ab b2+c2-a2 3c· ,整理得2(a2-c2)=b2.①又a2-c2=b,②联立①② 2bc 得b=2,故选C. 解析 答案 考点一 考点二 考点三 a b π (4)由正弦定理,得 = .把A= ,a=1,b= 3 代入, sin A sin B 6 3 π 2π 解得sin B= .因为b>a,所以B>A,结合题意可知B= 或 . 2 3 3 15 3 1 15 3 (5)由S△ABC= 得 ×3×ACsin 120° = ,所以AC=5, 4 2 4 1 因此BC =AB +AC -2AB· AC· cos 120° =9+25+2×3×5× 2 2 2

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