湖南省怀化三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

湖南省怀化三中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在答题卡上. 1. (5 分)命题“?x∈R,x ﹣2x+4≤0”的否定为() 2 2 A.?x∈R,x ﹣2x+4≥0 B. ?x?R,x ﹣2x+4≤0 2 2 C. ?x∈R,x ﹣2x+4>0 D.?x?R,x ﹣2x+4>0
2

2. (5 分)双曲线 A.y=± x

=﹣1 的渐近线方程是() B.y=± x C.y=± x D.y=± x

3. (5 分)如图,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 = , = .则下列向量中与 相等的向量是()

= ,

A.﹣

+

+

B.

C.

D.﹣



+

4. (5 分)如果 log3m+log3n=4,那么 m+n 的最小值是() A. B. 4 C. 9 5. (5 分)在△ ABC 中,若 a=2, A.60° B.60°或 120° ,A=30°则 B 为() C.30°

D.18

D.30°或 150°

6. (5 分)如图,已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 AD1 与 A1C 所成的角的大小是 ()

A.30°

B.60°
2

C.90°

D.120°

7. (5 分)若不等式|8x+9|<7 和不等式 ax +bx﹣2>0 的解集相同,则 a、b 的值为() A.a=﹣8 b=﹣10 B.a=﹣4 b=﹣9 C.a=﹣1 b=9 D.a=﹣1 b=2

8. (5 分)已知△ ABC 的顶点 B、C 在椭圆

+

=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆

的另外一个焦点在 BC 边上,则△ ABC 的周长是() A.2 B. 4 C. 4

D.8

9. (5 分)在等比数列 an 中 a7?a11=6,a4+a14=5,则 A. B. C. 或

等于()

D.



10. (5 分)椭圆

(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,

F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为() A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案直接填在答题卡上的相应 横线上. 11. (5 分)已知等差数列{an}满足 a5+a6=28,则其前 10 项之和为.

12. (5 分)设变量 x、y 满足约束条件

,则 z=2x+3y 的最大值为.

13. (5 分)已知向量 三点共线,则 k=.

=(k,12,1) ,

=(4,5,1) ,

=(﹣k,10,1) ,且 A、B、C

14. (5 分)设 p、q 是两个命题,若 p 是 q 的充分不必要条件,那么非 p 是非 q 的条件. 15. (5 分)数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为.
n

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知命题 p 方程 2x +ax﹣a =0 在上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 2 x0 +2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求实数 a 的取值范围.
2 2

17. (12 分)设椭圆方程为 x +

2

=1,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 为坐标

原点,点 P 为线段 AB 的中点,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程. 18. (12 分) △ ABC 中, a、 b、 c 是 A, B, C 所对的边, S 是该三角形的面积, 且 (1)求∠B 的大小; (2)若 a=4, ,求 b 的值. 19. (13 分) 如图, 正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直, M 是 CE 和 AD 的交点, A C⊥BC, 且 AC=BC. (1)求证:AM⊥平面 EBC; (2)求直线 AB 与平面 EBC 所成角的大小.

20. (13 分)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,等差数列{bn} 中,b1=2,点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上; (Ⅰ)求 a1 和 a2 的值; (Ⅱ)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn; (Ⅲ)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

21. (13 分)已知 m>1,直线 l:x﹣my﹣

=0,椭圆 C:

+y =1,F1、F2 分别为椭圆 C

2

的左、右焦点. (Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程;

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,△ AF1F2,△ BF1F2 的重心分别为 G、H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.

湖南省怀化三中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在答题卡上. 2 1. (5 分)命题“?x∈R,x ﹣2x+4≤0”的否定为() 2 2 A.?x∈R,x ﹣2x+4≥0 B. ?x?R,x ﹣2x+4≤0 2 2 C. ?x∈R,x ﹣2x+4>0 D.?x?R,x ﹣2x+4>0 考点: 命题的否定. 分析: 根据题意,给出的命题是全称命题,则其否定形式为特称命题,分析选项,可得答 案. 解答: 解:分析可得,命题“?x∈R,x ﹣2x+4≤0”是全称命题, 则其否定形式为特称命题, 为?x∈R,x ﹣2x+4>0, 故选 C. 点评: 本题考查命题的否定,应注意全称、特称命题的否定形式.
2 2

2. (5 分)双曲线 A.y=± x

=﹣1 的渐近线方程是() B.y=± x C.y=± x D.y=± x

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 化方程为标准方程,可得 a,b,代入 y= 可得渐近线方程.

解答: 解:化已知双曲线的方程为标准方程 可知焦点在 y 轴,且 a=3,b=2, 故渐近线方程为 y= =



故选 A 点评: 本题考查双曲线的简单性质,涉及渐近线的求解,属基础题.

3. (5 分)如图,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 = , = .则下列向量中与 相等的向量是()

= ,

A.﹣

+

+

B.

C.

D.﹣



+

考点: 相等向量与相反向量. 分析: 由题意可得 解答: 解:由题意可得 = + ( ﹣ )=﹣ + = = + , + = + = + + = + ,化简得到结果. = + = + ( ﹣ )

故选 A. 点评: 本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,属于基础题. 4. (5 分)如果 log3m+log3n=4,那么 m+n 的最小值是() A. B. 4 C. 9

D.18

考点: 基本不等式;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 利用对数的运算法则及对数的性质求出 mn 的范围,利用基本不等式求出 m+n 的最 值. 解答: 解:∵log3m+log3n=4 4 ∴m>0,n>0,mn=3 =81 ∴m+n 答案为 18 故选 D. 点评: 本题考查对数的运算法则、对数方程的解法、利用基本不等式求最值. 5. (5 分)在△ ABC 中,若 a=2, A.60° B.60°或 120° 考点: 正弦定理. ,A=30°则 B 为() C.

30° D. 30°或 150°

专题: 计算题. 分析: 利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得 B. 解答: 解:由正弦定理可知 = ,

∴sinB=

=

∵B∈(0,180°) ∴∠B=60°或 120°° 故选 B. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.正弦定理常用来运用 a:b:c=sinA:sinB:sinC 解决角之间的转换关系.属于基础题. 6. (5 分)如图,已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 AD1 与 A1C 所成的角的大小是 ()

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,推出 AD1⊥平面 A1DC,由此能求出结果. 解答: 解:如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 连结 A1D,A1D⊥DC,A1D⊥AD1, ∴AD1⊥平面 A1DC, ∴异面直线 AD1 与 A1C 所成的角的大小是 90°. 故选:C.

点评: 本题考查异面直线所成的角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维 能力的培养. 7. (5 分)若不等式|8x+9|<7 和不等式 ax +bx﹣2>0 的解集相同,则 a、b 的值为() A.a=﹣8 b=﹣10 B.a=﹣4 b=﹣9 C.a=﹣1 b=9 D.a=﹣1 b=2
2

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 解绝对值不等式|8x+9|<7 可得﹣2<x<﹣ ,依题意知,﹣2 和﹣ 是方程 ax +bx﹣ 2=0 的两根,利用韦达定理解之即可. 解答: 解:|8x+9|<7?﹣7<8x+9<7,解得﹣2<x<﹣ , 因为不等式|8x+9|<7 和不等式 ax +bx﹣2>0 的解集相同, ∴﹣2 和﹣ 是方程 ax +bx﹣2=0 的两根,
2 2 2

由韦达定理得:

,解得



故选:B. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,得到﹣2 和﹣ 是方程 ax +bx﹣2=0 的两根是关键, 考查一元二次不等式的解法,属于中档题.
2

8. (5 分)已知△ ABC 的顶点 B、C 在椭圆

+

=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆

的另外一个焦点在 BC 边上,则△ ABC 的周长是() A.2 B. 4 C. 4

D.8

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得△ ABC 的周长. 解答: 解:由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a, 可得△ ABC 的周长为 4a=8, 故选:D. 点评: 本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质,解题的关键是利用椭圆的第一定 义.

9. (5 分)在等比数列 an 中 a7?a11=6,a4+a14=5,则 A. B. C. 或

等于()

D.



考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题.

分析: 根据等比中项的性质可知 a7?a11=a4?a14 求得 a4?a14 的值,进而根据韦达定理判断出 a4 和 a14 为方程 x ﹣5x+6=0 的两个根,求得 a4 和 a14,则
2

可求.

解答: 解:a7?a11=a4?a14=6 2 ∴a4 和 a14 为方程 x ﹣5x+6=0 的两个根,解得 a4=2,a14=3 或 a4=3,a14=2 ∴ = 或

故选 C. 点评: 本题主要考查等比数列的性质.解题过程灵活利用了韦达定理,把数列的两项当做 方程的根来解,简便了解题过程.

10. (5 分)椭圆

(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,

F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质;等比关系的确定. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得,|AF1|=a﹣c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列可 得到 e =
2

= ,从而得到答案.

解答: 解:设该椭圆的半焦距为 c,由题意可得,|AF1|=a﹣c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c, ∵|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列, 2 ∴(2c) =(a﹣c) (a+c) , ∴ = ,即 e = ,
2

∴e=

,即此椭圆的离心率为



故选 B. 点评: 本题考查椭圆的简单性质,考查等比数列的性质,用 a,c 分别表示出|AF1|,|F1F2|, |F1B|是关键,属于基础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案直接填在答题卡上的相应 横线上. 11. (5 分)已知等差数列{an}满足 a5+a6=28,则其前 10 项之和为 140. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题.

分析: 由等差数列的性质可得 a1+a10=a5+a6=28,代入求和公式可得答案. 解答: 解:由等差数列的性质可得 a1+a10=a5+a6=28, 故其前 10 项之和 S10= = =140,

故答案为:140 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,整体代入是解决问题的关键,属基础题.

12. (5 分)设变量 x、y 满足约束条件

,则 z=2x+3y 的最大值为 18.

考点: 简单线性规划. 分析: 本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画 出可行域,然后求出目标函数的最 大值. 解答: 解:画出可行域,得在直线 2x﹣y=2 与直线 x﹣y=﹣1 的交点 A(3,4)处, 目标函数 z 最大值为 18 故答案为 18.

点评: 本题只是直接考查线性规划问题,是一道较为简单的送分题.近年来高考线性规划 问题高考数学考试的热点, 数形结合是数学思想的重要手段之一, 是连接代数和几何的重要方 法. 随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高, 线性规划这一类新型数学应用问题 要引起重视.

13. (5 分)已知向量 三点共线,则 k= .

=(k,12,1) ,

=(4,5,1) ,

=(﹣k ,10,1) ,且 A、B、C

考点: 共线向量与共面向量. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出. 解答: 解:∵向量 ∴ =(k,12,1) , =(4,5,1) , =(﹣k,10,1) ,

=(4﹣k,﹣7,0) ,

=(﹣2k,﹣2,0) . ,

又 A、B、C 三点共线,∴存在实数 λ 使得



,解得



故答案为:﹣ . 点评: 本题考查了向量的坐标运算和向量共线定理,属于基础题. 14. (5 分)设 p、q 是两个命题,若 p 是 q 的充分不必要条件,那么非 p 是非 q 的必要不充分 条件. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 此题利用必要条件和充分条件的定义进行求解; 解答: 解:∵p、q 是两个命题,若 p 是 q 的充分不必要条件, ∴p?q,可得非 q?非 p,所以 非 p 是非 q 的必要不充分的条件; 故答案为:必要不充分的条件; 点评: 此题主要考查必要充分条件的定义及其应用,是一道基础题; 15. (5 分)数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为 1830. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 令 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3 +a4n+4,则 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣ 2+a4n+16=bn+16 可得数列{bn}是以 16 为公差的等差数列,而{an}的前 60 项和为即为数列{bn} 的前 15 项和,由等差数列的求和公式可求 解答: 解:∵ ∴ 令 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,a4n+1+a4n+3=(a4n+3+a4n+2)﹣(a4n+2﹣a4n+1)=2, a4n+2+a4n+4=(a4n+4﹣a4n+3)+(a4n+3+a4n+2)=16 n+8, 则 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=bn+16 ∴数列{bn}是以 16 为公差的等差数列,{an}的前 60 项和为即为数列{bn}的前 15 项和 ∵b1=a1+a2+a3+a4=10 ∴ =1830 ,
n

点评: 本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和,等差数列的求和公式的应用,解 题的关键是通过构造等差数列 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 16. (12 分)已知命题 p 方程 2x +ax﹣a =0 在上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 2 x0 +2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求实数 a 的取值范围.

考点: 复合命题的真假. 专题: 探究型. 分析: 分别求出命题 p,q 成立的等价条件,利用命题“p∨q”是假命题,求实数 a 的取值范 围. 解答: 解:由 2x +ax﹣a =0 得(2x﹣a) (x+a)=0,∴ ∴当命题 p 为真命题时 又“只有一个实数 x0 满足
2 2 2



.即﹣2≤a≤2, ”,

即抛物线 y=x +2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, 2 ∴△=4a ﹣8a=0, ∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∵命题“p∨q”为假命题,∴p,q 同时为假命题, 即 ,

∴a>2 或 a<﹣2. ∴实数 a 的取值范围的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) . 点评: 本题主要考查复合命题真假的应用,求出命题成立的等价条件是解决此类问题的关 键.

17. (12 分)设椭圆方程为 x +

2

=1,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 为坐标

原点,点 P 为线段 AB 的中点,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程. 考点: 轨迹方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 P(x,y)是所求轨迹上的任一点,①当斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+1, A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立直线方程与椭圆方程,结合韦达定理以及
2 2

=



推出 4x +y ﹣y=0,②当斜率不存在时,AB 的中点为坐标原点,也适合方程,求出轨迹方程. 解答: (本小题满分 12 分) 解:设 P(x,y)是所求轨迹上的任一点, ①当斜率存在时,直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 x1+x2=﹣ 得: (4+k )x +2kx﹣3=0,…(4 分) ,y1+y2= ,…(6 分)
2 2



=

得: (x,y)= (x1+x2,y1+y2) ,

即:

…(8 分)

消去 k 得:4x +y ﹣y=0 …(10 分) ②当斜率不存在时,AB 的中点为坐标原点,也适合方程 2 2 所以动点 P 的轨迹方程为:4x +y ﹣y=0.…(12 分) 点评: 本题考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系的应用,注意直线的斜率是否存 在两种情况. 18. (12 分) △ ABC 中, a、 b、 c 是 A, B, C 所对的边, S 是该三角形的面积, 且 (1)求∠B 的大小; (2)若 a=4, ,求 b 的值. 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: (1)根据正弦定理化简已知的等式,然后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导 公式变形,提取 sinA,可得 sinA 与 1+2sinB 至少有一个为 0,又 A 为三角形的内角,故 sinA 不可能为 0,进而求出 sinB 的值,由 B 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (2)由第一问求出的 B 的度数求出 sinB 和 cosB 的值,再由 a 的值及 S 的值,代入三角形的 面积公式求出 c 的值,然后再由 cosB 的值,以及 a 与 c 的值,利用余弦定理即可求出 b 的值. 解答: 解: (1)由正弦定理得: ∴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 代入已知的等式得: , = = =2R,

2

2

化简得:2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB =2sinAcosB+sin(C+B)=2sinAcosB+sinA=sinA(2cosB+1)=0, 又 A 为三角形的内角,得出 sinA≠0, ∴2cosB+1=0,即 cosB=﹣ , ∵B 为三角形的内角,∴ (2)∵a=4,sinB= ∴S= acsinB= ×4c× ,S=5 =5 , , ;

解得 c=5,又 cosB=﹣ ,a=4, 根据余弦定理得:

b =a +c ﹣2ac?cosB=16+25+20=61, 解得 b= . 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,考查了两角和与差的正弦函 数公式及诱导公式,其中熟练掌握公式及定理,牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键. 19. (13 分) 如图, 正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直, M 是 CE 和 AD 的交点, AC⊥BC, 且 AC=BC. (1)求证:AM⊥平面 EBC; (2)求直线 AB 与平面 EBC 所成角的大小.

2

2

2

考点: 直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用. 分析: (1)建立空间直角坐标,利用向量法证明线面垂直. (2)利用向量法求线面角的大小. 解答: 解:∵四边形 ACDE 是正方形,所以 EA⊥AC,AM⊥EC, ∵平面 ACDE⊥平 ABC, ∴EA⊥平面 ABC, ∴可以以点 A 为原点,以过 A 点平行于 BC 的直线为 x 轴, 分别以直线 AC 和 AE 为 y 轴和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz. 设 EA=AC=BC=2,则 A(0,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,E(0,0,2) , ∵M 是正方形 ACDE 的对角线的交点, ∴M(0,1,1)…3 =(0, 1,1) , 0)=(2,0,0) , ∴ , , =(0,2,0)﹣(0,0,2)=(0,2,﹣2) , =(2,2,0)﹣(0,2,

∴AM⊥EC,AM⊥CB, ∴AM⊥平面 EBC. …(5 分) (2)∵AM⊥平面 EBC,∴ ∵ =(0,1,1) , 为平面 EBC 的一个法向量,

=(2,2,0) , .

∴cos



=60°.

∴直线 AB 与平面 EBC 所成的角为 30°.…(12 分)

点评: 本题主要考查向量法证明线面垂直以及利用向量法求线面角的大小,运算量较大. 20. (13 分)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,等差数列{bn} 中,b1=2,点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上; (Ⅰ)求 a1 和 a2 的值; (Ⅱ)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn; (Ⅲ)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;数列的函数特性;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)由于 an 是 Sn 与 2 的等差中项,可得 2an=Sn+2,分别令 n=1,2 即可得出 a1,a2; (II)设等比数列{an}的公比为 q,则 = =2,利用通项公式 即可得出;由

于点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上 ,可得 bn+1=bn+2,即 bn+1﹣bn=2,利用等差数列的通项公 式就看得出. (III) ,利用“错位相减法”即可得出.

解答: 解: (I)∵an 是 Sn 与 2 的等差中项,∴2an=Sn+2, 当 n=1 时,2a1=a1+2,解得 a1=2; 当 n=2 时,2a2=a1+a2+2,∴a2=2+2=4. (II)设等比数列{an}的公比为 q,则 ∴ =2×2
n ﹣1

= =2,

=2 .

n

∵点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上, ∴bn+1=bn+2,即 bn+1﹣bn=2; ∴bn=2+(n﹣1)×2=2n. (III)
2 3 n+1



∴Tn=1?2 +2?2 +…+n?2 , 3 4 n+1 n+2 2Tn=1?2 +2?2 +…+(n﹣1)?2 +n?2 ,

∴﹣Tn=2 +2 +…+2 ∴

2

3

n+1

﹣n?2

n+2

=

﹣n?2

n+2

=2

n+2

﹣4﹣n?2

n+2

=(1﹣n)?2

n+2

﹣4,



点评: 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及前 n 项和公式、 “错位相减法”等基础知 识与基本技能方法,属于难题.

21. (13 分)已知 m>1,直线 l:x﹣my﹣ 的左、右焦点.

=0,椭圆 C:

+y =1,F1、F2 分别为椭圆 C

2

(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,△ AF1F2,△ BF1F2 的重心分别为 G、H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的应用;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)把 F2 代入直线方程求得 m,则直线的方程可得. (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .直线与椭圆方程联立消去 x,根据判别式大于 0 求得 m 的 范围,且根据韦达定理表示出 y1+y2 和 y1y2,根据 , =2 ,可知 G( , ) ,

h(



) ,表示出|GH| ,设 M 是 GH 的中点,则可表示出 M 的坐标,进而根据 2|MO|

2

<|GH|整理可得 x1x2+y1y2<0 把 x1x2 和 y1y2 的表达式代入求得 m 的范围, 最后综合可得答案. 解答: 解: (Ⅰ)解:因为直线 l:x﹣my﹣ 所以 = ,得 m =2,
2

=0,经过 F2(

,0) ,

又因为 m>1,所以 m= , 故直线 l 的方程为 x﹣ y﹣1=0. (Ⅱ)解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .



,消去 x 得

2y +my+
2

2

﹣1=0 ﹣1)=﹣m +8>0,知 m <8,
2 2

则由△ =m ﹣8(

且有 y1+y2=﹣ ,y1y2=

﹣ .

由于 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,故 O 为 F1F2 的中点, 由 , =2 ,可知 G( , ) ,H( , )

|GH| =

2

+

设 M 是 GH 的中点,则 M( 由题意可知 2|MO|<|GH| 即 4< 而 x1x2+y1y2=(my1+ 所以( + ) (my2+
2



) ,

即 x1x2+y1y2<0 )+y1y2=(m +1) (
2



)<0,即 m <4

又因为 m>1 且△ >0 所以 1<m<2. 所以 m 的取值范围是(1,2) .

点评: 本题主要考查椭圆的几何性质,直 线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时 考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.


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