高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10_4 直线与圆锥曲线的位置关系课件_图文

高考数学 (浙江专用) 第十章 圆锥曲线与方程 §10.4 直线与圆锥曲线的位置关系 五年高考 考点 直线与圆锥曲线的位置关系 ) 1.(2017课标全国Ⅱ文,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为?3 的直线交C于点M(M在x轴 的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为? ( 5 A.? B.2?2 C.2?3 D.3?3 答案 C 本题考查抛物线的方程和性质. 3 ,所以直线MF的倾斜角为60°,则∠FMN=60°.由抛物线的定义得|MF|=| 因为直线MF的斜率为? MN|,所以△MNF为等边三角形.过F作FH⊥MN,垂足为H.易知F(1,0),l的方程为x=-1,所以|OF|=1,| NH|=2,所以|MF|=? 选C. | MF | 3 +2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin 60°=4×? =2?3 .故 2 2 ? 思路分析 利用抛物线的定义得|MN|=|MF|,从而得△MNF为等边三角形,易得点M到直线NF的 距离等于|FH|,进而得解. 解题反思 涉及抛物线焦点和准线的有关问题,应充分利用抛物线的定义求解.本题中直线的倾 斜角为特殊角60°,通过解三角形更快捷.若联立直线和抛物线的方程求点M的坐标,然后求点N 的坐标和直线NF的方程,再利用点到直线的距离公式求解,运算量会比较大. 2.(2017课标全国Ⅰ理,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直 线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为? ( ) A.16 B.14 C.12 D.10 答案 A 如图所示,设直线AB的倾斜角为θ,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A1,B1, ? 则|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,过点F向AA1引垂线FG,得? =? p p ,同理,|BF|=? , 1 ? cos θ 1 ? cos θ 2p 4 则|AB|=|AF|+|BF|=?2 ,即|AB|=? 2 , sin θ sin θ | AG | | AF | ? p =cos θ, | AF | | AF | 则|AF|=? 因l1与l2垂直,故直线DE的倾斜角为θ+? 或θ-? , 2 2 ? ? 则|DE|=? 2 ,则|AB|+|DE|=? 2 +? 2 =? 2 则易知|AB|+|DE|的最小值为16.故选A. 4 cos θ 4 sin θ 4 cos θ 4 16 4 = = ? , 2 2 sin θcos 2θ ? 1 sin 2 θ ? ? sin 2θ ? ?2 ? ? 方法总结 利用几何方法求抛物线的焦半径. 如图,在抛物线y2=2px(p>0)中,AB为焦点弦,若AF与抛物线对称轴的夹角为θ, ? | AE | | AF | ? p 则在△FEA中,cos θ=cos∠EAF=? =? , | AF | | AF | 则可得到焦半径|AF|=? p ,同理,|BF|=? p , 1 ? cos θ 1 ? cos θ 1 +? 1 =? 2 熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如:? | AF | | BF | p 等的帮助很大. 3.(2014辽宁,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切 于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为? ( A.? 1 2 ) B.? 2 3 C.? 3 4 D.? 4 3 答案 D 易知p=4,直线AB的斜率存在,设为k,抛物线方程为y2=8x,与直线AB的方程y-3=k(x+2) 1 2 联立,消去x整理得ky2-8y+16k+24=0,由题意知Δ=64-4k(16k+24)=0,解得k=-2或k=? .因为直线与抛 物线相切于第一象限,故舍去k=-2,故k=? ,可得B(8,8), 又F(2,0),故kBF=? =? ,故选D. 8?0 8?2 4 3 1 2 ? ? 4.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,? ? OA · OB =2 (其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是? ( A.2 B.3 C.? 17 2 8 ) D.?10 ? ? xx xx xx 答案 B 依题意不妨设A(x1,?x1 ),B(x2,-?x2 ),? ? OA · OB =2?x1x2-? 1 2 =2?? 1 2 =2或? 1 2 =-1(舍 去).当x1=x2时,有x1=x2=2,则S△ABO+S△AFO=2? 2 +? =? ;当x1≠x2时,直线AB的方程为y-?x1 = x ? ? 1 2 17 2 8 8 x2 x1 ? x2 1 1 ×2×(? +? )+? 1 ×? 1? = (x-x1),则直线AB与x轴的交点坐标为(2,0).于是S△ABO+S△AFO=? x1 x2 x1 2 2 4 9? ? x 8 9 9 ? =? 时取“=”? 17 2 >3.故选B. +?x2 ≥2? 当且仅当? ,而? x1 x2 x1 x2 =3? 8 8 8 5.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为 坐标原点,则△OAB的面积为? ( A.? 3 3 4 ) D.? 3? ? B.? 9 3 8 C.? 63 32 9 4 答案 D x ? ? ,与y2=3x联立并消去x得4y2-12?3 y-9=0.设A(x1,y1),B 易知直线AB的方程为y=? ? ? 3 4 ? 9 4 1 2 1 2 3 4 3 8 9 4 3? ( y1 ?

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