高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法例题与探究含解析北师大版必修

2.2 从位移的合成到向量的加法 典题精讲 例 1 下面给出了四个式子: ① AB + BC + CA ; ② OA + OC + BO + CO ; ③ AB - AC + BD - CD ; ④ NQ ? QP ? MN ? MP . 其中值为 0 的是( A.①② ) B.①③ C.①③④ D.①②③ 思路解析: AB + BC + CA = AC + CA =0; OA + OC + BO + CO =( CO + OA )+( BO + OC )= CA + BC = BA ; AB - AC + BD - CD = CB + BC =0 ; NQ ? QP ? MN ? MP = NP ? PN =0. 答案:C 绿色通道: (1) 解决向量的加减法的有关问题时,要结合几何图形的特征,善于应用 AB + BC = AC 和 AC - AB = BC 解决. (2)化简含有向量的关系式一般有两种方法:①利用几何方法通过作图实现化简;②利用代 数方法通过向量加法的交换律, 使各向量“首尾相连”, 通过向量加法的结合律调整向量相 加的顺序,有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量. 变式训练如图 2-2-4,已知四边形 ABCD 是梯形,AB∥CD,E、F、G、H 分别是 AD、BC、AB 与 CD 的中点,则 EF 等于( ) 图 2-2-4 A. AD + BC B. AB + DC C. AG ? DH D. BG ? GH 思路解析:连结 BD 交 EF 于点 M,则有 EF = EM ? MF = 1 1 AB + DC = AG ? DH . 2 2 答案:C 例 2 用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形. 思路分析:要证四边形是平行四边形,只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义, 只需证其一组对边对应向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题,首先应转化为符号语言 描述. 答案:已知:如图 2-2-5 所示,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于 O,且 AO=OC,DO=OB. 1 图 2-2-5 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明:根据向量加法的三角形法则,有 AB = AO + OB , DC = DO + OC . 又∵ AO = OC , DO = OB , ∴ AO + OB = DO + OC .∴ AB = DC . ∴ AB ∥ DC , AB = DC , 即 AB 与 DC 平行且相等.∴四边形 ABCD 是平行四边形. 绿色通道:用向量法解决应用问题的步骤为: (1)将应用问题中的量抽象成向量; (2)化归 为向量问题,进行向量运算;(3)将向量问题还原为应用问题. 变式训练一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,航船实际航行方向与水流方向 成 30°角,求水流速度和船的实际速度. 思路分析:可以用向量表示速度,然后用向量加法合成速度即可. 解:如图 2-2-6,设 OA 表示水流速度, OB 表示船垂直于对岸方向行驶的速度, OC 表示 船的实际速度, 图 2-2-6 则∠AOC=30°,| OB |=5 km/h. ∵四边形 OACB 为矩形, ∴| OA |= | AC | ?5 3, tan30? | OC |= | OA | 5 3 ? ? 10 , cos30? 3 2 即水流速度是 5 3 km/h,船的实际速度为 10 km/h. 问题探究 问题 1 已知向量 a、b,试探索|a+b|与|a|+|b|的大小. 导思:利用向量加法的几何意义来分析.因为向量包含长度和方向,所以在比较向量长度的 2 大小时,要考虑其方向. 探究: (1)当 a、b 至少有一个为零向量时,有 a+b=0+a 或 a+b=0+b, ∴|a+b|=|0+a|=|a|+|b|或|a+b|=|0+b|=|a|+|b|. ∴|a+b|=|a|+|b|. (2)当 a、b 均为非零向量时,作 OA =a, AB =b,则 a+b= OB . 图 2-2-7 若 a、b 不共线,如图 2-2-7 所示, 则点 O、A、B 不共线,则点 O、A、B 构成△OAB. 由三角形任意两边之和大于第三边得| OA |+| AB |>| OB |. 即|a+b|<|a|+|b|. 若 a、b 同向共线时,如图 2-2-8 所示, 图 2-2-8 则点 O、A、B 共线.此时| OA |+| AB |=| OB |,即|a+b|=|a|+|b|. 当 a、b 异向共线时,如图 2-2-9 所示, 图 2-2-9 则点 O、A、B 共线. 此时如图 2-2-9(甲)所示,有| OA |=| OB |+| AB |,则|a|=|a+b|+|b|. 如图 2-2-9(乙)所示,有| OA |+| OB |=| AB |,则|a|+|a+b|=|b|. ∴|a+b|<|a|+|b|. 综上所得,|a+b|≤|a|+|b|. 由本题还可得结论:|a+b|≥||a|-|b||. ∴对于向量 a、b,有如下结论: ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 下面看此结论的应用. 例如:已知|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值是__________,最小值是__________. 思路分析:由题意,得|12-8|≤|a+b|≤12+8,4≤|a+b|≤20. 答案:20 4 3

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