高三数学专题复习 第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质及三角函数模型的简单应用试题 文 北师大版

课时作业(十九) [第 19 讲 函数 y=Asin(ω x+φ )的图像与 性质及三角函数模型的简单应用]
(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 1.[2012·安徽卷] 要得到函数 y=cos(2x+1)的图像,只要将函数 y=cos2x 的图像 平移( ) A.(向左)1 个单位 B.(向右)1 个单位 1 1 C.(向左) 个单位 D.(向右) 个单位 2 2 π 2.设函数 f(x)=cosω x(ω >0),将 y=f(x)的图像向右平移 个单位长度后,所得的 3 图像与原图像重合,则 ω 的最小值等于( ) 1 A. B.3 C.6 D.9 3 π? ? ? π ? 3.函数 y=sin?2x- ?在区间?- ,π ?上的简图是( ) 3? ? ? 2 ?

(

图 K19-1 4π 4.如果函数 y=3cos(2x+φ )的图像关于点 ,0 中心对称,那么|φ |的最小值为 3 ) π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2

能力提升 5. [2012·浙江卷] 把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是( )

图 K19-2 6.已知函数 f(x)= 3sinx-cosx,x∈R.若 f(x)≥1,则 x 的取值范围为( ) ? ? ? π A.?x?2kπ + ≤x≤2kπ +π ,k∈Z? 3 ? ? ? ? ? ? π B.?x?kπ + ≤x≤kπ +π ,k∈Z? 3 ? ? ? ? ? ? π 5π C.?x?2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z? 6 6 ? ? ? ? ? ? π 5π D.?x?kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z? 6 6 ? ? ? ?π ? ? 3π ? 7.[2012·南昌二中模拟] 对于函数 f(x)=cos? +x?sin? +x?,给出下列四个结 ?2 ? ? 2 ? 论:①函数 f(x)的最小正周期为π ;②若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2;③f(x)的图象关于 π ?π 3π ? 直线 x=- 对称;④f(x)在? , ?上是减函数.其中正确结论的个数为( ) 4 ? 4 ?4 A.2 B.4 C.1 D.3 8. [2012·山西四校联考]如图 K19-4 所示, 点 P 是函数 y=2sin(ω x+φ )(x∈R, ω >0) → → 图像的最高点,M,N 是图像与 x 轴的交点,若PM·PN=0,则 ω 等于( )

图 K19-4 A.8 C. π 4 π B. 8 π D. 2

9 . [2012· 德 兴 模 拟 ] 函 数 f(x) = 2sin ?

?π x+π ? 对 任 意 的 x∈R , 都 有 5? ? 2 ?
)

f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为(
A.4 C.2π B.4π D.2

π π? ? 10.[2012·济南模拟] 已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ ≤ ?的图像上 2 2? ? 1? ? 的两个相邻的最高点和最低点的距离为 2 2 ,且图像过点 ?2,- ? ,则函数 f(x) = 2? ? ________________. 2 ?π ? 11.已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ )的图像如图 K19-5 所示,f? ?=- ,则 f(0)= 3 ?2?

________.

图 K19-5 π 12. 已知将函数 f(x)=2sin x 的图像向左平移 1 个单位, 然后向上平移 2 个单位后得 3 到的图像与函数 y=g(x)的图像关于直线 x=1 对称,则函数 g(x)=________. 13.给出下列命题: π? ? ? 5π ? ①函数 f(x)=4cos?2x+ ?的一个对称中心为?- ,0?; 3 ? ? ? 12 ? ②已知函数 f(x)=min{sinx,cosx},则 f(x)的值域为?-1, ③若 α ,β 均为第一象限角,且 α >β ,则 sinα >sinβ . 其中所有真命题的序号是________.

? ?

2? ?; 2?

? π? 14.(10 分)[2012·广东名校联考] 已知函数 f(x)=2cos?x- ?-2cosx. 3? ? 5π (1)先列表再用“五点法”画出函数 f(x)在 0, 的简图; 3
(2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,f(A)=1,a= 3,b+c=3(b>c), 求 b,c 的长.

图 K19-6

15.(13 分)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ <π )的最小正周期为π ,且函数 ?π ? f(x)的图像过点? ,-1?. ?2 ? (1)求 ω 和 φ 的值; π (2)设 g(x)=f(x)+f -x,求函数 g(x)的单调递增区间. 4

难点突破 16.(12 分)已知函数 f(x)=sinω x·cosω x+ 3cos ω x-
2

3 (ω >0),直线 x=x1,x 2

π =x2 是 y=f(x)图像的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为 . 4 (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图像向右平移 个单位后, 再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原 8 ? π? 来的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x)的图像, 若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间?0, ? 2? ? 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围.

课时作业(十九) 【基础热身】

? 1? 1.C [解析] 因为 y=cos(2x+1)=cos2?x+ ?,所以只需要将函数 y=cos2x 的图像 ? 2? 1 向左移动 个单位即可得到函数 y=cos(2x+1)的图像. 2 π 2.C [解析] 将 y=f(x)的图像向右平移 个单位长度后得到的图像与原图像重合, 3 π 2π 则 = k,k∈Z,得 ω =6k,k∈Z,又 ω >0,则 ω 的最小值等于 6,故选 C. 3 ω
3 ? π? ? π? ?π ? 3.A [解析] 令 x=0 得 y=sin?- ?=- ,淘汰 B,D,由 f?- ?=0,f? ?=0, 2 ? 3? ? 3? ?6? 淘汰 C,故选 A. 2π 2π ? 4π ? 4.A [解析] 由题意得 3cos?2× +φ ?=0,∴cos +φ =0,即 +φ =kπ + 3 3 3 ? ? π π π ,φ =kπ - ,k∈Z.取 k=0 得|φ |的最小值为 . 2 6 6 【能力提升】 5.A [解析] 函数 y=cos2x+1 图像上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,得到函数 y=cosx+1 的图像;再将函数向左平移一个单位长度,得到函数 y=cos(x+1)+1 的图像; 最后把函数向下平移 1 个单位长度即得到函数 y=cos(x+1)的图像,可以看成是函数 y= cosx 向左平移一个单位得到 y=cos(x+1)的图像,可用特殊点验证函数的大致位置. ? π? ? π? 6.A [解析] 因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sin?x- ?,由 f(x)≥1,得 2sin?x- ? 6? 6? ? ? π π 5π π ? π? 1 ≥1,即 sin?x- ?≥ ,所以 +2kπ ≤x- ≤ +2kπ ,k∈Z,解得 +2kπ ≤x≤π 6? 2 6 6 6 3 ? +2kπ ,k∈Z. 1 7.D [解析] 化简得 f(x)= sin2x,可知①③④正确,故选 D. 2 8.C [解析] 依题意得 PM=PN,PM⊥PN,所以△PMN 是等腰直角三角形,又斜边 MN 2π π 上的高为 2,因此有 MN=4,即该函数的最小正周期的一半为 4,所以 =8,ω = ,选 ω 4 C. 9.D [解析] 由题知 f(x1)为最小值,f(x2)为最大值,则可知|x1-x2|的最小值即为函 T 1 2π 数的半个周期 = · =2.故选 D. 2 2 π 2 ?π x π ? 10 . sin ? + ? [ 解 析 ] 据 已 知 两 个 相 邻 最 高 及 最 低 点 距 离 为 2 2 , 可 得 6? ? 2

?T? +(1+1)2=2 2, ?2? ? ?
2π π ?π x+φ ?. 解得 T=4,故 ω = = ,即 f(x)=sin? ? T 2 ? 2 ? 1 ? ? 又函数图像过点?2,- ?, 2? ?

2

1 故 f(2)=sin(π +φ )=-sinφ =- . 2 π π π ?π x π ? 又- ≤φ ≤ ,解得 φ = ,故 f(x)=sin? + ?. 6? 2 2 6 ? 2 2 2π 2π π ? 2π ? 11. [解析] 由图像可得最小正周期为 .所以 f(0)=f? ?,注意到 与 关于 3 3 3 2 ? 3 ? 7π ?2π ? ?π ? 2 对称,故 f? ?=-f? ?= . 12 ? 3 ? ?2? 3 π π π 12. 2sin x+2 [解析] 将 f(x)=2sin x 的图像向左平移 1 个单位后得到 y=2sin 3 3 3 π (x+1)的图像,向上平移 2 个单位后得到 y=2sin (x+1)+2 的图像.又因为其与函数 y 3 π π =g(x)的图像关于直线 x=1 对称,所以 y=g(x)=2sin (2-x+1)+2=2sin (3-x)+2 3 3 π π =2sinπ - x+2=2sin x+2. 3 3 5 π 5 π π ? 5 ? 13. ①② [解析] 对于①, 令 x=- π , 则 2x+ =- π + =- , 有 f?- π ? 12 3 6 3 2 ? 12 ? ? 5 ? =0,因此?- π ,0?为 f(x)的对称中心,①为真命题;对于②,结合图像知 f(x)的值域 ? 12 ? 1 2? ? 为?-1, ?; 对于③, 令 α =390°, β =60°, 有 390°>60°, 但 sin390°= <sin60° 2 2? ? = 3 .故③为假命题,所以真命题为①②. 2 π π 14.解:(1)f(x)=2cosxcos +sinxsin -2cosx 3 3 = 3sinx+cosx-2cosx= 3sinx-cosx 3 1 ? π? =2 sinx- cosx=2sin?x- ?. 6? 2 2 ? 列表: π 2π 7π x 0 6 3 6 y -1 0 2 0 描点、连线可得函数 f(x)的图像如下:

5π 3 -2

π 1 ? π? (2)∵f(A)=1,即 2sin?A- ?=1,∴sinA- = . 6 6 2 ? ? π π 5π π π π ∵0<A<π ,∴- <A- < ,∴A- = ,∴A= , 6 6 6 6 6 3 2 2 2 1 b +c -a 2 2 由 cosA= = ,即(b+c) -a =3bc,∴bc=2, 2 2bc ? ?b=2, 又 b+c=3(b>c),∴? ?c=1. ?

15.解:(1)由题可知 ω =



2π = =2, T π

π π 又由 f =-1 得 sin2· +φ =-1,得 sinφ =1, 2 2 π ∵0<φ <π ,∴φ = . 2 π (2)由(1)知 f(x)=sin2x+ =cos2x, 2 π ∴g(x)=cos2x+cos -2x=cos2x+sin2x 2 π = 2sin2x+ . 4 π π π 令 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + , 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 8 8 3π π? ? 故函数 g(x)的单调增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 8 8? ? 【难点突破】 1 1+cos2ω x 3 1 3 16.解:(1)f(x)= sin2ω x+ 3 × - = sin2ω x+ cos2ω x=sin2 2 2 2 2 2 π ω x+ , 3 π π 2π π π 由题意知,最小正周期 T=2× = ,T= = = ,所以 ω =2, 4 2 2ω ω 2 π ∴f(x)=sin4x+ . 3 π π (2)将 f(x)的图像向右平移 个单位后, 得到 y=sin4x- 的图像, 再将所得图像所有 8 6 π 点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y=sin2x- 的图像. 6 π 所以 g(x)=sin2x- . 6 π π π 5 令 2x- =t,∵0≤x≤ ,∴- ≤t≤ π . 6 2 6 6 ? π? 方程 g(x)+k=0 在区间?0, ?上有且只有一个实数解,即函数 y=g(x)与 y=-k 在 2? ? 1 1 ? π? 区间?0, ?上有且只有一个交点,由正弦函数的图像可知- ≤-k< 或-k=1. 2? 2 2 ? 1 1 ∴- <k≤ 或 k=-1. 2 2


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