宁夏石嘴山市第三中学2019届高三数学下学期三模考试试题理

宁夏石嘴山市第三中学 2019 届高三数学下学期三模考试试题 理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~23 题为选 考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸 上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。

5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题

号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合 P ? {?1,1},集合 Q ? {x ? N | x ? 3},则 P Q ? ( )

A.{?1,1, 2} B.{?1, 0,1, 2} C.{?1,1, 2,3} D.{?1, 0,1, 2,3}

2.若复数 z 满足 (i ?1)z ? 4 ? 2i ( i 为虚数单位),则 z ? ( )

A. ?3 ? i

B. 3 ? i

C. ?3 ? i

D. 3 ? i

3 3. 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2 3,cos A= 2 且b<c,

则b=( )

A.3

B.2 2

C.2

D. 3

4. 已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则→BD·→CD=( )

3 A.-2a2

3 B.-4a2

3 C.4a2

3 D.2a2

5.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )

3

3

A. 4 a2 B. 8 a2

6 C. 8 a2

6 D. 16 a2

6. 以双曲线 x2 ? y2 ? 1的焦点为顶点,且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为( ) 45

A. x2 ? y2 ? 1

B. x2 ? y2 ? 1 9

C. x2 ? y2 ? 1 93

D. x2 ? y2 ? 1 99

7. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B

=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=( )

1

1

A.8

B.4

2

1

C.5

D.2

8.三棱锥 P-ABC 中,PA⊥面 ABC,PA=2,AB=AC= 3 ,∠BAC=60°,则该棱锥的外接球的

表面积是( )

A. 12?

B. 8?

C. 8 3?

D. 4 3?

9. 袋子中有四个小球,分别写有“美、丽、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小

球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概

率.利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的随机数,分别用 0,1,2,3 代表“中、国、美、

丽”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下 18 组

随机数:

232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233

由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为( )

A. 1 9

B. 3 18

C. 2 9

D. 5 18

x2 y2

10. 已知椭圆E:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线

4 l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于5,则椭圆E

的离心率的取值范围是( )

A.???0, 23???

B.???0,34???

C.??? 23,1???

D.???34,1???

π 11.若将函数 f(x)=sin(2x+φ )+ 3cos(2x+φ )(0<φ <π )的图象向左平移 4 个单位

长度,平移后的图象关于点???π2

,0???对称,则函数

g(x)=cos(x+φ

)在???-π2

π ,6

???上的最小值

是( )

1 A.-2

3 B.- 2

2 C. 2

1 D.2

? ? 12.设函数 g ? x? ? ex ? 1? e x ? a ( a ?R , e 为自然对数的底数).定义在 R 上的函
数 f ? x? 满 足 f ?? ?x ? ? f? x2? , x 且 当 x ? 0 时 , f ?? ?x? .x 若 存 在

x0

?

? ?

x

?

f

?x? ?

1 2

?

f

?1

?

x

?

?

x

? ?

?

,且

x0 为函数

y

?

g?x? ? x

的一个零点,则实数 a 的取值范围

为( )

? A. ???

e 2

,

??

? ???

B. ? ? e,??

? C. ?? e,??

? D. ?
?

e 2

? , ?? ???

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13. 若二项式

的展开式中的常数项为 ,则 ________

1 14. 已知tan α =-2,tan(α +β )=7,则tan β 的值为________.

15. 已知圆锥的顶点为 ,底面圆周上的两点 、 满足

为等边三角形,且面积为

,又知圆锥轴截面的面积为 8,则圆锥的表面积为_____________.

16.已知数列{an } 满足

a1

?

1 ,且点

(an , 2an?1)(n

?

N* )

在直线

x

?

1 2

y

?1

?

0

上.若对

任意的 n ? N*



1 n ? a1

?

1 n ? a2

?

1 n ? a3

?

?

1 n ? an

?

?

恒成立,则实数 ?

的取值范围为

______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)

设数列{

an

}前

n

项和为

Sn

,且满足

a1

?

r, Sn

?

an?1

?

1 32

(n ?

N?)

.

(1)试确定 r 的值,使{ an }为等比数列,并求数列{ an }的通项公式;

(2 )在(1)的条件下,设 bn ? log2 an ,求数列{| bn | }的前 n 项和Tn .
18.(本小题满分 12 分) 我国 2019 年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注,受到了观众
的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为 2 ,女性观众认为《流浪地球》好 3
看的概率为 1 .某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了 4 名观众(其中 2 男 2 女). 2
(1)求这 4 名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率; (2)设 表示这 4 名观众中认为《流浪地球》好看的人数,求 的分布列与数学期望.
19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥P?ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,四边形ABCD满足AB⊥AD,BC∥AD
BE 且BC=4,点M为PC的中点,点E为BC边上的动点,且EC=λ .
(1)求证:平面ADM⊥平面PBC;

2 (2)是否存在实数λ ,使得二面角P-DE-B的余弦值为3?若存在,试求出实数λ 的值;
若不存在,说明理由.

20.(本小题满分 12 分)
在直角坐标系 xOy 中,直线 y ? x ? 4 与抛物线 C : x2 ? 2 py ? p ? 0? 交于 A , B 两点,且
OA ? OB . (1)求 C 的方程; (2)试问:在 x 轴的正半轴上是否存在一点 D ,使得△ABD 的外心在 C 上?若存在,求
D 的坐标;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)

已知函数 g?x? ? 2 ? ln x , f ?x? ? mx? m ? 2 ? ln x , m ? R .

x

x

(1)求函数 g (x) 的极值;

(2)若 f (x) ? g(x) 在?1, ??? 上为单调函数,求 m 的取值范围;

(3)设 h(x)

?

2e x

,若在?1, e? 上至少存在一个 x0 ,使得

f

(x0 ) ?

g(x0 )

?

h(x0 ) 成立,

求 m 的取值范围.

请考生在第 22、23 二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B

铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.(本小题满分 10 分)选修 4— 4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为

(其中 为参数).以

坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线 的极坐标方

程为



(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;

(2)过点

作直线 的垂线交曲线 于 , 两点,求

.

23.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分)

已知函数

.

(1)求 的最小值;

(2)若不等式

的解集为

,且

,求 的值.

理科数学答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

B

A

C

D

D

D

B

B

C

A

D

D

13.2

14. 3

15. 8( 2 +1)?

17.(本小题满分 12 分)【解析】

16. ? ? 1 2

(Ⅰ)当

n=1

时,

S1

?

a2

?

1 32



a2

?

a1

?

1 32



----------------1 分



n≥2

时,

Sn?1

?

an

?

1 32

,与已知式作差得

an=an+1﹣an,即

an+1=2an(n≥2),

欲使{an}为等比数列,则

a2=2a1=2r,又 a2

?

a1

?

1 32

,∴ r

?

1 32



------------4 分

故数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, 32

所以 an ? 2n?6 ---------------------------6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

bn=n﹣6,∴ |

bn

|?

?6 ??n

? ?

n, 6,

n n

? ?

6 6

,

------------------------8 分

若 n<6,Tn ? ?b1 ? b2 ?

? bn

11n ? n2 ?
2



若 n≥6,Tn ? ?b1 ? b2 ?

? b5 ? b6 ?

? bn

?

n2

?11n 2

?

30 ,

∴ Tn

?

?11n ? n2

?? 2

? ?

n2

?11n

?? 2

, n<6 ? 30, n

?


6

-------------------------------12 分

18.【详解】设 表示 2 名女性观众中认为好看的人数, 表示 2 名男性观众中认为好看的人数,





.

(1)设事件 表示“这 4 名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”, ,

......5 分

(2) 的可能取值为 0,1,2,3,4,

=
∴ 的分布列为 0

, , ,
, , , ,


1

2

3

4



.....12 分

19.(本小题满分 12 分) 【解】 (1)证明:取PB的中点N,连接MN、AN,∵M是PC的中点,N是PB的中点,∴MN∥BC,

1 MN=2BC=2,又∵BC∥AD,∴MN∥AD,MN=AD,∴四边形ADMN为平行四边形.

∵AP⊥AD,AB⊥AD,∴AD⊥平面PAB,∴AD⊥AN,∴AN⊥MN.∵AP=AB,∴AN⊥PB,∴AN⊥平

面PBC,∵AN? 平面ADM,∴平面ADM⊥平面PBC...........5分

(2)存在符合条件的λ .

以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系A?xyz,则P(0,0,2),

D(0,2,0),B(2,0,0),设E(2,t,0),从而P→D=(0,2,-2),→DE=(2,t-2,0),则平

面PDE的一个法向量为n1=(2-t,2,2),
n1·n2 又平面DEB即为平面xAy,其一个法向量为n2=(0,0,1),则cos〈n1,n2〉=|n1|·|n2|=

2

2

1

(2-t)2+4+4=3,解得t=3或t=1,故λ =3或λ =3....12分

20.(本小题满分

12

分)【解析】(1)联立

? ?

x

2

?

2 py

,得

x2

?

2px

?y ? x? 4

? 8p

?0

,则 x1 ? x2

? 2p ,

x1x2 ? ?8 p ,从而 y1 y2 ? ? x1 ? 4?? x2 ? 4? ? x1x2 ? 4? x1 ? x2 ? ?16 .

∵ OA ? OB ,∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? 4? x1 ? x2 ? ? 16 ? 0 ,

即 ?16 p ? 8p ?16 ? 0 ,解得 p ? 2 ,故 C 的方程为 x2 ? 4 y ..........5 分

(2)设线段

AB 的中点为 N ? x0 , y0 ?

由(1)知,

x0

?

x1

? x2 2

?2,

y0

?

x0

?4?6



则线段

AB

的中垂线方程为

y ? 6 ? ??x ? 2?

,即

y ? ?x ?8

.联立

?x2 ?

? 4y

,得

?y ? ?x ?8

x2 ? 4x ? 3 2? ,0 解得 x ? ?8 或 4 ,从而△ABC 的外心 P 的坐标为 ?4, 4? 或 ??8,16? .

假设存在点 D?m,0??m ? 0? ,设 P 的坐标为 ?4, 4? ,

∵ AB ? 1?12 ? x1 ? ?x2 2 ? 4x1x2 ? 2 ? 16 ? 64 ? 4 10 , ∴ PA ? PN 2 ? AN 2 ? 4 3 ,则 DP ? ?m ? 4?2 ?16 ? 4 3 .∵ m ? 0 ,∴ m ? 4 ? 4 2 .

若 P 的坐标为 ??8,16? ,则 PA ? PN 2 ? AN 2 ? 4 15 ,

DP ? ?m ? 8?2 ?162 ? 4 15 ,则 P 的坐标不可能为 ??8,16? .

? ? 故在 x 轴的正半轴上存在一点 D 4 ? 4 2,0 ,使得△ABD 的外心在 C 上...........12 分

21

解::(1)因为

g?(x)

?

?

2 x2

?

1 x

?

x?2 x2

.由

g?(x)

?

?

2 x2

?

1 x

?

x?2 x2

?

0



x0

?

2,

所以 x0 ? 2 为函数 g(x) 的极小值点 g(x)极小值 ? g(2) ? 1 ? ln 2

……4 分

(2)

f

(x)

?

g(x)

?

mx

?

m x

?

2 ln

x

,?[

f

(x)

?

g ( x)]?

?

mx2

? 2x x2

?

m

.

因为 f (x) ? g(x) 在?1, ??? 上为单调函数,所以 mx2 ? 2x ? m ? 0 或 mx2 ? 2x ? m ? 0

在?1, ??? 上恒成立

mx2

?

2x

?

m

?

0 等价于

m

?

2x 1? x2

在 ?1, ??

恒成立,

??

2x 1? x2

?

2 x? 1

,

? ? ?

x

2 ?

1

? ? ?

max

? 1????m ? 1 .

? mx 2

? 2x ? m ? 0 等价于 m(1?

x2 ) ? 2x, 即

x ? x?

m

? 2x 1? x2



?1,

?

?

恒成立,而

1

2 ?

x x

2

??0,1?, m

?

0.

综上, m 的取值范围是 ???,0? ?1, ??? .

……… 8 分

(3)构造函数 F(x) ? f (x) ? g(x) ? h(x) ? mx ? m ? 2ln x ? 2e ,

x

x



m

?

0

时,

x

?[1,

e],

mx

?

m x

?

0,

?2 ln

x

?

2e x

?

0

,所以在[1,

e]

不存在

x0

使得

f

(x0 )

?

g(x0 )

?

h(x0 ) 成立.当 m

?

0 时,

F ?( x)

?

m

?

m x2

?

2 x

?

2e x2

?

mx2

?

2x ? x2

m

?

2e

因为 x ?[1, e],?2e ? 2x ? 0, mx2 ? m ? 0 ,所以 F?(x) ? 0 在[1, e] 恒成立,



F ( x)

在[1, e] 单调递增,

F (x)max

?

me

?

m e

?

4,

所以只需

me

?

m e

?

4

?

0

,解之得

m

?

4e e2 ?1





m

的取值范围是

? ??

4e e2 ?1

,

??

? ??

.

………

12 分

22、【解析】:(Ⅰ)直线 的参数方程为

(其中 为参数)消去 可得:







,得

........5 分

(Ⅱ)过点

与直线 垂直的直线的参数方程为:

( 为参数),代入





,设 , 对应的参数为 , ,则

...........10 分

23、解:(1)

上单调递增,所以

......5 分

(2)因为

,令

,所以

,则 在

上单调递减,在

,则

;令



则. 所以不等式
, 所以

,故

的解集为

,又不等式

.............10 分

的解集为 ,且


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