2019-2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质学案含解析新人教A版选修.doc

2019-2020 学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何 性质学案含解析新人教 A 版选修
1.类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方程,讨论它的几何性质. 2.能运用双曲线的性质解决一些简单的问题. 重点:双曲线的几何性质.难点:双曲线性质的应用,渐近线的理解. 方 法:合作探究 课 堂 随 笔:

一新知导学 1.在双曲线方程中,以-x、-y 代替 x、y 方程不变,因此双曲线是以 x 轴、 y 轴为对称轴的__________图形;也是以原点为对称中心的__________图形, 这个对称中心叫做__________________.

x2 y2 2.双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的____, 双曲线 2- 2=1(a>0, a b b>0)的顶点是________,这两个顶点之间的线段叫做双曲线的________,它的
长等于__________.同时在另一条对称轴上作点 B1(0,-b),B2(0,b),线段

B1B2 叫做双曲线的 _________ ,它的长等于 ________, a 、b 分别是双曲线的
__________和__________.

x2 y2 3.设 P(x,y)是双曲线 2- 2=1( a>0,b>0)上一点,则 x a b

,y

.

4.双曲线的半焦距 c 与实半轴长 a 的比值 e 叫做双曲线的_________,其取值 范围是_____ .e 越大,双曲线的张口越_________.

x2 y2 b 5.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)位于第一象限部分上一点 P(x,y)到直线 y= x a b a
的距离 d=________________ (用 x 表示),d 随 x 的增大而__________. 这表明,随着 x 的增大,点 P 到直线 y= x 的距离越来越______,称直线 y=

b a

b x2 y2 x 为双曲线 2- 2=1 的一条_________由对称性知, 直线____________也是双 a a b
曲线 2- 2=1 的一条__________. 6.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平 行线,它们 围成一个矩形,其两条__________所在直线即为双曲线的渐近线. “渐近”两 字的含义:当双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线__________接近,接近 的程度是无限的 7.双曲线上两个重要的三角形

x2 y2 a b

(1)实轴端点、虚轴端点及__________构成一个直角三角形,边长满足 c2=a2 +b2,称为双曲线的特征三角形. (2)实轴长与虚轴长________的双曲线叫做等轴双曲线, 其离心率为________, 其两条渐近线互相__________.

椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系 椭圆 焦点在 x 轴 焦点在 y 轴 双曲线 焦点在 x 轴 焦点在 y 轴

图形

对称性 顶点 轴长 离心率

对称轴: 对称中心:

对称轴: 对称中心:

长轴长

,短轴长 , ( )

实轴长

虚轴长 , () ________)

e=

e=


条,

渐近线

其方程为 __________

牛刀小试 1.双曲线 - =1 的顶点坐标是( 25 9

x2

y2

)

A.(±5,0) B.(±5 ,0)或(0,±3) C.( ±4,0) D.(±4,0)或(0,±3) 2.双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为( A.x-y=0 B.x+y=0 C.x±y=1 ) D.x±y=0

3 3.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 的方 2 程是( )

A. - =1 4 5

x2

y2

B. - =1 C. - =1 4 5 2 5

x2 y2

x2 y2

D. - =1 2 5

x2

y2

4.(2015·石家庄期末测试)已知双曲线 2- =1 的右焦点为(3,0),则该双 a 5 曲线的离心率等于( 3 14 A. 14 ) 3 C. 2 D.
2

x2 y2

3 2 B. 4

4 3

5 . (2015· 浙 江 理 ) 双 曲 线 _________.

x2
2

- y = 1 的 焦 距 是 ______ , 渐 近 线 方 程 是

(一)已知双曲线的方程,研究其几何性质 【例一】 求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚 轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.

跟踪训练 1 .以双曲线 y - =1 的一个焦点为圆心,离心率为半径的圆的方 3 程是( )
2 2

2

x2

A.(x-2) +y =4
2 2

B.x +(y-2) =2
2 2

2

2

B.C.(x-2) +y =2 D.x +(y-2) =4

(二)利用几何性质求双曲线的标准方程 【例二】求适合下列条件的双曲线的标准方程: 5 (1)实轴长为 8,离心率为 ; 4 (2)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,实轴长和虚轴长相等, 且过点 P(4,- 10)

后记与感 悟: 3 跟踪训练 2.(1)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x,求双曲线的方程. 2 (2)与双曲线 x -2y =2 有公共渐近线,求且过点 M(2,-2)的双曲线方程.
2 2

(三)双曲线的离心率 【例三】已知 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦.如果∠PF2Q=90°,求双曲线的离心率.

x2 y2 a b

跟踪训练 3

x2 y2 (1)若双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,则它的离心率为( a b
A. 2 3 B. 2 C. 3 D.2

)

(2)(2015·湖南)若双曲线 2- 2=1 的一条渐近线经过点(3,-4),则此双 曲线的离心率为( ) A. 7 3 5 B. 4 4 C. 3 5 D. 3

x2 y2 a b

(四) 实际应用问题 【例四】如图所示,某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑,挖出的土 只能沿 AP、BP 运到 P 处,其中|AP|=100m,|BP|=150m,∠APB=60°,怎样 运土才能最省工?

跟踪训练 4 如图,B 地在 A 地的正东方向 4km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方 向距离 B 2km 处,河流沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运货物.经测算,

从 M 到 B、C 两地修建公路的费用都是 a 万元/km. 求:(1)河流沿岸 PQ 所在的曲线方程; (2)修建这两条公路的总费用的最小值.

(五)直线与双曲线的位置关系 【例五】已知曲线 C:x2-y2=1 和直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的面积为,求实数 k 的 值.

y x 3 【例六】 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,求双曲 a b 4
线的离心率.

2

2

课时小结

答案 牛刀小试 1 A
2

D B
2

C

5、 2 3;y=±

2 x 2

例一 将 9y -4x =-36 变形为 - =1, 9 4 即 2- 2=1,∴a=3,b=2,c= 13, 3 2

x2 y2

x2 y2

因此顶点为 A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为 F1(- 13,0),F2( 13,0), 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2 b=4, 离心率 e= =

c a

13 b 2 ,渐近线方程 y=± x=± x. 3 a 3

作草图如图: 跟踪训练 1. D 例二 1)标准方程为 - =1 或 - =1. 16 9 16 9 (2)由 2a=2b 得 a=b,∴e= -y =λ (λ ≠0). ∵双曲线过点 P(4,- 10), ∴16-10=λ ,即 λ =6. ∴双曲线方程为 x -y =6. ∴双曲线的标准方程为 - =1. 6 6 跟踪训练 2. (1) - =1 或 - =1 9 81 9 4 例三 1+ 2. 跟踪训练 3 A D
2 2 2

x2

y2

y2

x2

1+ 2= 2,所以可设双曲线方程为 x

b2 a

2

x2 y2

x2 4y2

x2 y2

(2) - =1 2 4

y2 x2

例 4[解析] 设 M 为分界线上任一点, 则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即|MA| -|MB|=|PB|-|PA|=50m,所以 M 在以 A、B 为焦点的双曲线的右支上.易得 |AB| =17 500m ,建立如图所示的平面直角坐标系,得分界线所在的曲线方程 为 - =1(x≥25). 625 3 750 故运土时,在双曲线左侧的土沿 AP 运到 P 处,右侧的土沿 BP 运到 P 处最 省工. 跟踪训练 4:根据题意,曲线 PQ 上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km. 由此知河流沿岸 PQ 所在的曲线为双曲线靠近 B 点的分支.所以 c=2,a=1,
2 2

x2

y2

y2 b= 3,所以河流沿岸 PQ 所在的曲线的方程为 x2- =1(x≥1).
3
?x -y =1, ? 例五(1)由? ?y=kx-1, ?
2 2

消去 y 整理,得(1-k )x +2kx-2=0.
? ?1-k ≠0, 由题意知? 2 2 ?Δ =4k +8(1-k )>0, ?
2

2

2

解得- 2<k< 2且 k≠±1.

所以实数 k 的取值范围为(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1 , 2). (2)设 A (x1,y1),B(x2,y2) , 由(1)得 x1+x2=- 2k 2 2,x1x2=- 2. 1-k 1-k

1 又直线 l 恒过点 D(0,-1),则 S△OAB= |x1-x2|= 2. 2 所以(x1-x2) =(x1+x2) -4x1x2=(2 2) , 2k 2 8 6 即(- , 2) + 2=8.解得 k=0 或 k=± 1-k 1-k 2 由(1)知上述 k 的值符合题意,所以 k=0 或 k=± 6 . 2
2 2 2

a 3 a 9 例六 由题意得 = ,∴ 2= , b 4 b 16
∴16a =9(c -a ),∴25a =9c , 25 5 2 ∴e = ,∴e= . 9 3
2 2 2 2 2

2


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